二次曲线系的研究.docx

曲长系一、直假系过直线片AH3j+G=0与占&"生>+&=0的交点的直线系方程：a÷B,)H-C1.+(2x+B,y÷Ci>=O3为参数)二、曲祭圆G：6(x,)，)=O与圆G：K«力=°I,过圆G与圆g的交点的全部圆方程可设为4(X)')+"；(乂>')二°2.过圆G与直线/：Ky)=°的交点的所以网方程可设为K(XM+"5v)=°三、二次曲依系定理一：给定五点,其中三点在直线I上，另外两点不在I上,那么经过这五点的二次曲饯是唯一的，并且是退化的二次曲妓即两条五葛.定理二：给定五个点，其中任何三点都不共姣，那么过此五点有且仅有一条二次曲线.推论一：假设圆锥曲线G:f(,.丫)=叫。2：3，)')=0有四个不同交点，那么过两曲线交点的曲线方程为：fi(XjV)+侦(X.)=O.线Ii(XJY)=a+.v+C1.=。及/?(.)=,.r+B,y+C2=O与圆推曲妓C:/(xy)=O有四个不同交点，那么过这四个交点的曲线系方程为：f(x,),)+M(x,y)1.2(x>>')=0.设四直线“(x.y)=O及/2：/式.,)=0与井：/式工,)=0及1."4(xy)=0有四个不同的交点，那么过这四个交点的曲线方程为：(.y)1.i(a.y)+t(X.y)4(X.y)=O.推论四：*i=123)为不共线三点，直线=1,23巴=R)的方程为：1.i(x.y)=Aix+Biy+C1=0那么曲线系为：(X,y)1.2(X.51)+22(x.y)(X.>')+1.(.v,y)1.(,y)=O例I.曲线:+5=1直线u=4与X轴交于r，A4为椭侧的两顶点，在直线上任取一点P.连接AR&P分别与椭圆交于M.N连MN,求证，WV过X轴上的定点。方法1(I：达定理硬前)P(4,p)A(-2.0)A(2,0)M(0,ytt)N(MyN)AfP:Px-6y+2p=0A2P:P.x-2y-2p=0与椭圆?+'=|联立得21x2+P2X2+4p2x+4p2-108=04n2-108zO-=(-2)×xu27+p2',"4/+108'4/+108ZM2(“T2)-24/、同理I4+,2'4八句(-24t72/12(4f2-K)8)2(4/-12)_-2(4/'-108)(-24/)-2(4/2-12)72/MN,14八12-4产+108)+4r2+IO8*4/+12'(4r2+108)(4r+12)令y=0(-24z72/1-2(4/2-108)(-24/)-2(4r-12)72i(4r2+124r+108JA-(4/2+108)(4/2+12)x=1.故MN过X轴上的定点(1,0)计算St如此之大假设拓展到一般形式干脆就是死曲线+%=1.直线/=加与X轴交丁丁，4人为椭网的两顶点，在直线上任取一点P，连接AP.&P分别与椭圆交于M,N连N,WN交X轴于点Q(“0)求4Px-(”+)y+r=O21.iix-(m-a)y-ui=OMN:kx-ykn=04A,:y=0J/÷T=1(Ir，7+,+aab用双直线A。，A/和椭圆»I表示双直线Ai«x-W+a)y+a/)(£T-("j-a)y-ai)=(Ax-y-£)yxyk=/(-/(n-0)+/(m+0)比拟系数y.""=(-'"("1.a)+""'"+。)tn=az得用两直线与圆锥曲线的四个交点表示通过四个交点的另外两条直线，从而挑出主要系数即可大大削减计算量。例2椭圆5t=,过椭圆上dg）随意做椭圆两条弦4旦4/，AM=FF,求证：直线V的斜率为定值用椭圆和双直线A兄4表示双直线（其中A4为椭圆切线）3AyEx-y+-k=OA2F-kx-y+-+k=OA修涔-1=0F.kix-y+m=()x2V2+-1=043假设推广到一般椭圆上点可视为两个点电合的状况，作共切线即有曲线系方程引理圆O中的弦P。的中点何，过M任作两弦A8.C。弦人。与BC分别交PQ干E.F求证ME=MF以，M为原点，。为X轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系圆心。(OB)半径为X2+(y-b)：=r':J1.1.-y=0CD.kix-y=(i双直线BCAD方程为(+(y-b)i-r)+(V-y)(M-y)=令)'=°那么(x2+b2-)+ftk1.k2x=O(/1+用&)寸+4/)=0两根为曰"的横坐标.r1+X1=OME=MF有了这个引理回到例题1AiQzzQCQDA2QJPTPTJ,Q=,Q即aJaJ二.mam-anna'二十几行到卜几行到几行的E版