二次函数和特殊四边形综合问题.docx

二次函数与特殊四边形综合问题一、知识准备：融物线与直线形的结合表形式之一是，以I1.物线为"体，探讨是否存在一当点，使其他构成某些特殊四边形，有以下常风的根本形式(1)IMm上的点能否构成平行四边形(2)*物线上的点能否构成矩形，类形，正方形(3)抛物n上的点能否构成梯形.特殊四边形的性质与是解决这类问的根基，而待定系数法，敷奉结合，分类时轮是解决这类问题的关健二、例题精折【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图,拈物纹，=-+6+。与直线)，=:工+2交于；。两点，其中点。在.丫轴上，点。的坐标为(3.g)。点P是)，釉仃侧的抛物线上一动点,过点P作。E_1.r轴于点E,交C。于点尸.(1)求她物税的解析式：(2)假设点尸的横坐标为，”，当，”为何伯时，以。,CP,尸为顶点的四边形是平行四边形清说明理由。(3)假设存在点P,使NPC尸=45°,请自接写出相应的点P的坐标【解答】(1)；直线y=x+2经过点C,.C(0.2)；他物线>=-/+/«+c羟过点C(0,2),D(3,)2=cj7P=-7»2一=-3'+劝+c,21c=2：.附物纹的解析式为y=-Xi+：*+2(2).点P的横坐标为，”且在抛物线上I1(m.-m'+/?+2).F(m.-m+2)22：PFHeO，：.+PF=Co斌,以O.C,P,”为顶点的四边形是平行四边形当0<，”<3时1.it=->n:+wj+2-(+2)=-m:+3/m22.*.-m2+3"，=2.解得：“4=1.m2=2即当J=I或2时，四边形OCP尸是平行四边形当】23时,PF=(w+2)-(-/?/-,+2)=n2-3/n22ff-3n=2,解得：“=士N?=(舍去)W当/M1=-y时，四边形（XJFp是平行四边形.PM=CM=ICF又.PF-nf+3"?-in2+36=：m解得：n1=-,m,=0(舍去)；.P(1.,二).22213同理可以求得：另外一点为&于,77)618【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】例二.(2013荆州)如图,：如图,出城y=-5v5与X轴、y轴分别交于A、B两点.两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动(运动到。点停顿)：对称轴过点A且原点为M的抛物戏y=a(x-k)2+h(a<0)始终经过点E.过E作EGHOA交抛物线于点G,交AB于点F,连结DE,DF、AG.BG.设D、E的运动逑度分别是1个单位长度/秒和5个单位长度/杪，运动时间为t杪.U)用含，代数式分别表示BF、EF.AF的长：(2)当t为何值时，四边形ADEF是菱形判断此时AFG与AAGB是否相似,并说明理由：(3)当AADF是口角三角形，且拗物线的顶点M恰好在BG上时，求拗物战的解析式.考二次函数绘合题点：分(I)首先求出一次函数y=-7&班与坐标轴交点A.B的坐标，然后解H角三维形析：求出BF、EF、AF的长:(2)IIIEFIIAD,且EF=AD=t.则四边形ADEF为平行四边形,假设QADEF是菱形.则DE=AD=I.JhDE=2OE,列方程求出t的值：如答图1所示，推出/BAG=/GAF,NABG=ZAGF=30',证明AAFG与AAGB相似.(3)当AADF是直角三角形时,行两种情形,需要分类讨论：假设NADF=9(如答图2所示.首先求出此时t的但：其次求出点G的坐标，利用特定系数法求出直规BG的解析式，得到点M的坐标；破后利用顶点式和特定系数法求出微物线的解析式：假设NAFD=90.如答图3所示.解跑网路与一样.W解：在直线轿析式y=中，令x=0,ftj=3:令y=0，得=1.答：/.A(1.0).B(0.3)OA=I.OB=3.IanNOAB=3/.ZOAB=60。，.AB=2OA=2.,.EG1.IOA,'ZEFB=ZOAB=60*.；.EF=_典1.吗BF=2EF=2t.tan603.AF=AB-BF=2-21.(2)6EF1.1.AD,且EF=AD=I,，四边形ADEF为平行四边形.假设UADEF是菱形，则DE=AD=t.的DE=20D,即：1.=2(1-t).解得=.1二1对，四边形ADEF是菱形.此时AAFG与4AGB相似.理由如下：如答图1所示，连接AE,1.1四边形ADEF是菱形.ZDEF=ZDAF=W).ZAEF=30,.由他物我的对称性可知,AG=AE,ZAGF=ZEF=3O,.R(BEG'1.,.EG=2,3,IanNEBG=3BE/.ZEBG=Mr./.ZABG=ZEBG-ZEBF=SO'.在AAFG与AAGB'P,VZBAG：/GAF.NABG=ZAGF=Sff.&AG-AGB.(3)当AADF是直角三角形时,此时AF=2DA,即2-21.=2,解得.当,OE=OB-BE考.E(0,.G(2>.设直线BG的解析式为y=kx+b.将B(O,31.G(2,岑)代入科:b=3G心.解得k=-g，bM.2k+b=y4.y=-a4令=,得y=3,4.M(I,.4设撤物线解析式为y=a（X-|）2弯3点E（0,哼）在拗物线上,.返i1.亚亚.解2-0244,尸-吏1）2但&"2诋西.,44422.BE=3=-OE=OB-BE=.E(0.零.G(2.串.设也找BG的解析式为y=kx+b,将B(0,5),G(2,害)代入得:fb=32k+b=如，解得k=-孚，t>=3.-z-5.y=-23x+3.*令x=,得y=华设微物线解析式为y=am（.邛）.（X-I）2+2联，点E（0,雪）在抛物畿上,.*i1.考.解褥a=-喑.y=-23()后运-23:+43+3.55555综上所述，符合条件的抛物浅的解析式为：产一争吟杏或y=-+43+3.555点此处是中考压轴胆，涉及二次区数的图象与性质、一次函数的图型与性质、特定系数评；法、相似三角形、解口角三角形、菱形等知识点.第(3)H.有两种情形存在，需要分类讨论，防止渐解.【抛物线上的点能否构成梯形】例三(2008年成都市)如图.在平面直角坐标系XOy中,()AB的蹊点A的坐标为(10.0).顶点B在第一象限内，且A8=36,SinNoAB=咚.(1)黄设点C是点B关于K轴的对称点.求经过0、C、R三点的抛物城的函数表达式：(2)在(D中,抛物线上是否存在一点P,使以P.0.C、A为顶点的四边形为梯形假设存在.求出点P的坐标：假设不存在,请说明理由:(3)假设将点0、点A分别变换为点Q(-2k,0).点R(5k.0)(k>1.的常数)，设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物城与y轴的交点为N,其顶点为Y,记AQV(的曲枳为SSaMW，AQWr1JimfHSsaw求Sqmnqnx解：(1)如图，过点8作8O_1.。A于点O.在RI48Q中.vAB=35.sinZOA=y：,×V'j/.BtJ=IAf1.sinZOAB=35×y=3.三又由勾股定理，"C得|皿=1人用2-|8忧=(35)2-32=6.,0DI=侬TAD1.=IO-6=4.点H在第一象限内.二点B的坐标为(4,3).点B关于X轴对称的点C的坐标为(4.-3).设经过O(OQ),C(4,-3),4(10,0)三点的撤物线的函数表达式为y=r2+b式aO).fi6r+4fe=-3a8,由<=>100f1.+IOft=O,5b=.4.经过QGA三点的她物线的函数表达式为一:*.(2)假设在(1)中的拗物线上存在点尸，使以只O,C,A为顶点的四边形为悌形.点C(4,-3)不是弛物税y=(-1的顶点，/.过点C作直投OA的平行线与她物线交于点P1.则自然Cf的函数表达代为y=-3.而点C(4,-3),.R(6,-3).在四边形*K)C中，CIO,显然;C用R1.o4点R(6,-3)是符合要求的点.假设A鸟CO.设直规。的函数发达式为y=Ar1X.将点C(4,-3)代入，4,=-3.i=-.4直线CO的函数表达式为丫=一2X.4于是可设且践八2的函数表达式为Y=-W*+.4将点A(Io,0)代入.ft)-10+Z>1=0.-=y直规Ag的函数表达式为y=-v+y-315J=X+由42n-4-60=0,即(X-IOXx+6)=0.1251,84而点A(IOQ),.J(-6J2).过点P2作6£_1.X轴于点£.则区E1.=I2.在Rt八EE中，由勾股定理，WAP2=P2Ef+AEf=I22+I62=20.而ICoI=IQ罔=5.二在四边形与OG1.中,人Co,但A4r.点鸟(一6,12)是符合要求的点.假设08CA.设直税C4的函数表达式为y=V+bi.将点A(100),C(4,-3)代入，得，10"+"=0n*=34k+仅=-3f.权=-5./.直畿CA的函数表达式为y=,v-5.宜城OP,的函数表达式为V=.I>,=-v由；n-1.4x=0,即Mr-14)=0.1,3y="-rX84而点O(M),二4(14,7).过点P、作P1.J_X轴于点F,则IAN=7.在R1.AOR尸中.用勾股定理,得I。图=JA肝+1。呼+=74.ftC4=AFi=35.在四边形CA中,opi/CA,但|。制.；.点4(14,7)是符合要求的点.综上可知，在(1)中的微物线上存在点R(6,-3),R(-612),&(14,7),使以上O.C.A为顶点的四边形为梯形.(3)由题知,她物线的开口可能向上,也可能向下.当抛物我开口向上时,则此抛物线与y轴的负半轴交于点N.可设施物税的函数融达式为y=a(x+2k)(x-5k)(a>0).,即y=ax2-3iikx-10«:?=x-1)-ak1.如图.过点M作MG1X轴干点G.(-20),R(5k,(),Gjh)N()-104/卜贝|上一专"炉QOI=2k,QRI=7k,OG=h.749(2G=-,ONI=1(W2,.WGI=-aki.S.1.1.=1|Q/?|OM=；x7kx1.0«F=35<M.=1.(2()+15+3x-7x1.3三-wi.2188J4Ssqmi：SMR=(?/:(354')=3:20.当他物线开口向下时,则此地物线与)，轴的近半轴交于点N.同理，M得Sqnm:Sqnk=3:20.踪上可知，SzIOMW的(ft为3:20三、形成提升训练E如图,她物线V=-2-2a-3与X轴交A.B两点(A点在B点左侧).直线/与她物线交于A、C两点.其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式：(2)P是戳段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛勘战于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点,在X轴上是否存在点F,使A、C,F.G这样的四个点为璐点的四边形是平行四边形如果存在.求出所仃满足条件的F点坐标：如果不存在，请说明埋由.2、如图，对称轴为£1线X=1的拊物线经过点A(6,0)和B(0,1).(1)求她物线解析式及顶点坐标：(2)设点E(x,F)是拊物规上一动点，且位于笫四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF的面积S与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范冏当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAH是否为菱形是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形假设存在，求出点E的坐标：假设不存在，语说明理由.3：如图,二次南数尸-/+ax+的图像与*轴交于川-，0)、6(2,0)两点，且与y轴交2于点G(1)求该抛物线的解析式，并判断"灰1的形状：(2)在/轴上方的撤物战上有一点。，且以彳、C、I)、方四点为顶点的四边形是等股梯形，清百接耳出。点的眼标：(3)在此抛物线上是否存在点凡使得以4、C.B、。四点为顶点的四边形是直角梯形假设存在,求出P点的坐标:假设不存在,说明理由.