二次根式的运算知识点与经典试题讲义.docx

:次根式的运算学问点及经典试虺学问点一：二次根式的柒法法用，=<«0,n0),即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相果.要点诠林：<1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，肯定要留意：公式中a、b部必需是非负数；(2)该法则可以推广到多个二次根式相果的运算，M向Mya=yaxaiai1(1>0,20,ai>0,0)(3)若二次根式相乘的结果能化管必需化管，如=4.学问点二、积的算术平方根的性质，4>=47-4>(o,、仿o),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平地的积要点诠释：(1)在这招性质中，a、b可以是效，也可以是代数式，无论是数，还是代敷式，都。雷消/(),、方。才修用此式进行计*或化债，假如不，这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了1(2)二次根式的化简知是格被开方数分解因数，把含有“：形式的移到根号外面.(3)作用，积的算术平方根的性质对二次保式化传(4)步骤：对被开方数分伊因数或分解因式，结果写成平方因式源以非平方因式Bih(FX()*J用积的算术平方根的性质=A(dO,O),利用行=Id=F(一个皴的平方的算术平方根等于这个数的肯定值)W被开方家中的一些因式移到根号外1(5)横开方数是整如总整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化前学问点三、二次根式的除法法制，条书(a(),>O),即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相敝要点诠林：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值瓶回应4殊曾意，其中“0,、历>0,因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次程式的运算结果暮足鱼化倚，量终结果中分母不能带根号.学问点四、商的算术平方根的性质形=今(.aO,/;>0).即高的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的*术平方机要点诠群：(D利用，运用次性朋也可以进行二次穗式的化简，运用时仍要留意符号问.对于公式中被开方数a、b的取值范BI应帏蛛宙;».其中00,b>0,因为b在分母上，故b不能为0.(2)步骤：利用商的算术平方根的性质:"不(.a0,/>>()分别对"I.、京利用积的算术平方根的性质化管蒯网不能有假号，假如分母有根号要分母有理化.即(C)2=(20)(3)被开方数是分JBde分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简学问点五：最简二次根式1.定义I当二次根式意以下两条：(D被开方数不含分母I(2)被开方数中不含能开得尽方的因效或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做量筒二次根式.在二次根式的运算中，典的结果必需化为1二次根JU三5t要点诠株：(D前二次根式中被开方数不含分母;(2)量管二次根式技开方数中每一个因数成因式的次数都小于根指数2,即每个因数Je因式从次数只能为1次2 .把二次根式化成量管二次根式的一般步1.(D把根号下的带分数或肯定值大于1的敷化成假分数，把肯定值小于1的小数化成分散，(2)被开方数是多项式的要进行因式分解,(3)便被开加ft不含分母I(4)将被开方效中能开得尽方的因敷旧因式，用它们的算术平方程代善后移到根号外I(5)化去分母中的根号,(6)的分.3 .把一个二次根式化管.应依据被开方数的不同形式，实行不同的变形方法.事实上只是做两件事：一是化去检开方数中的分母或小数I二是使被开方数中不含俺开得尽方的因数Ja因式.学问点六'同类二次根式1 .定义I几个二次根式化成最管二次根式后，假如被开方数相同，么这几个二次税式就叫做同类二次棋式要点诠择：(D推断几个二次根式是否是同类二次根式，必需先将二次根式化成最简二次程式，再看被开方敷是否相M(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2 .合并同类二次根式合并同类二次横式，只把系敷相加流，根指敷和被开方敷不交.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠择：(1)根号外面的因式就是这个根式的靠数I(2)二次根式的系敷是Ir分效的要变成假分数的形式I(3)不是同类二次根式，不能合并学问点七、二次根式的加成.二次根式的加城实项就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成面二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次粮式，仍我写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，鳖式加减运算中的交换律、结合律及去括号、毒括号法则仍旧适用.二次板式加流运算的步(D将每个二次穗式部化简成为最简二次根式I(2)推g些二次根式是同类二次穗式，把同类的二次程式结合为一Ia1.(3)合并同类二次根式.学问点八、二次板式的混合运算F1二次根式的混合运算是对二次根式的累除及加减运算法则的僚合运用.要点诠择：(1)二次根式的海合运算:依次与实数中的运算依次一样，先集方，后集除，终算加Nt,有括号要先算括号里面的I(2)在实效运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍旧适用,(3)二次程式混合坛篇的结果应写成量传形式，这个形式应是管二次极式，或几个非同类量简二次式之和或差，或是有现左规律方法指呆*二次根式的运算，主要探讨二次根式的果除和加.(D二次根式的集除，只僭将被开方数进行乘除，其依据是，而而疑3b0)t,，楙Nab>Q(2)二次根式的加X类似于式的加X.关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化管，再把同类二次根式合并.二次横式运算的结果应尽可能化倚.势典例他透析，类型一,二次根式的乘除运算MX历IAxVS.xUF百4xUF=.E1、计算石x，1.VEX'反解：石j7=病1将X必匹5小51122、计算1(1).二I-.E(ab>0)路点拨，干1»利用/6Vb便可干得出答案.12f2裤：了=V3=74=2,&Jun=JF，屈=辰(3)%Ji1.R二炉="2,心次=2显.3、化债J91.6,716x81,曲Ix100,(*C,反思路点拨：利用点=及石S20,620)干IS化管即可.解：J96a×加=3x4=12；¢6：=而×Tri=4X9=36；81×100三1.XV1.OO=9×o=9O,(5)754=79x6物夕»V?X"夕«V?×V?X护=3y举一反三【交式1】推断下列各式是否正确，不正确的请予以改正，(DH)×(-9)三×9iRX在“xGx必tGx而T显T解：(D不正确.改正，J(Y)X(-£三T4×9-i×79b2×3-6不正确改正Sx55=/X5=25x25=112=167=47.64b3I9x5xV,(3)V双：«)V169/.4、化倚t。I=r(aab>0)思路点拨：干利用bJb就可以达到化简之目的.区4=色网里E=里PrF_*解：(I)V648(2)V93=9i%(三)64y3=64的5*169=115913尸举一反三9-x9-xk'-?x+4【交式1】已知'Jx-61*？，且X为偈数，求(Hx)Y?一1的值.a«.出路点拨：式子Vg=而，只有aM0,b>0时才能成立.因此得到INO且-6>0,即6VW9,又因为X为偶数，所以x=8.9-x0解：由Att得x-6>Qfx9,Px>6.6<x9.TX为IHt.x=8/(x-4)(-jy1.-4-4Brt=(1.+x)V(x+】XXT)-(1.+)v7+T=(+x)J(X+1)=J(1.+xXx-4).当E时,原式的值=Ji前W.nift1*In3m3-3n33mTn5、计算加寸才(-wV)÷V2?(b>0,n>0)t(2)V-203-÷(23)XJm-(a>0).nin*Inn*2mn*nn解：3蔗标r÷物门W=FX尸W'3(m+n)(m-n)a3XJ(2)M5=-2V2am+m-n,类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，修些是量前二次根式？寿些不是？请说明理由.my_皂(1.)T21.(2)V3i(3)YX1.(4)xr+1.1.(5)32wi(6)÷6o+9i(7)2.思路点拨：推断一个二次根式是不是量筒二次程式，*看它是否，意量U二次根式的两个条件I(1)被开桢不含分母I(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式I不清去其中任何一条的二次根式都不是传二次根式_叵解：GTi和2都是量简二次粮式,其余的都不是，理由如下：02的被开方数是小数，能身成分敷，含有分母,摄的被开方数中都含有分母I和小忑G的被开方数中分别含有能开得军方的因数和因式.总结升华：对于量传二次根式的推断，肯定要把其实质，厩要留意其中的“似是而非”，还央留意其中的“似非而是"，特蛛象,，应这样的式子，带才很大的事性，更应特别当心.7、把下列各式化成量倚二次程式.爵(1)/24,k(3)2,；：d”(>0)f用思路点拨：把横开方数分解因数成分解因式，再利用积的算术千方根的性项及AT=3NO进行化面.(2_2x3T66解：三23×6三7?×J=261”3»3x3-Jp31版=JI=J=好作忖5,(4)45aZ>="JJb=7?56=%疯,犀3a£”,二历7历，Y3x3V?3.类型三、同类二次粮式8、假如两个倚二次根式"守4+7和J20-b+6是同类二次根式,那么a、b的值是()A.a=2.b=1.B.a=1.»b=2Ca=1.b=-1.D.a=1.,b=1.思路点拨；依据同类二次根式的识别方法，在量倚二次福式的前提下，被开桢相同.3-6三2解：依据题得4-3=2o-b+6f三1解之，»b=1,故选D.总结升华：同类二次根式必需清意两个条件，(D根指数是2：(2)被开方敷相同，由此可以得到关于a、b的二元一次方程坦，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与任合并的是()A.27B./C,6.D.后思路点拨:Ir先要把不是管二次根式的化成最筒二次根式,然后比较它f的被开方数是否相同,假如相同.就能进行合并，反之，JI!不能合并.解屈=蚯而康.邛,1.gqJJb啊Q,i总结升华：同类二次根式的推断，关健是奥够蜩M确地化二次根式为1B二次根式.【变式2】若量倚根式痂育与根式屈口iN是同类二次根式，求a、b的值.思路点拨：同类二次根式是指几个二次株式化成简二次梭式后，被开方数相同I实上，根式缶从了+必不是筒二次根式，因此把/加/一£+必2化简成b2-+6,才由同类二次根式的定义得3-b=2.2a-*6=4a+3b.解：首先把根式标二H后化为20bj-,+663.3(2-1.+6)sb.J-j4a+36=2-b+6jM+4b=6由怠得%-b=2,3-0=2,：.i,b=.类型四、二次根式的加减运算9、计算我+屈.底-师思路点第一步，将不是面二次根式的项化为JWO二次根式I其次步，将相同的量筒二次根式进行合并.解：战+屈=20+30=(2+3)及-50A-疯1.<4石=(DaT'6总结升华：肯定要留意二次根式的加X要做到先化倚，再合并.举一反三【变式1】计第(1)3''-9J+3-2(2)(3+2j)+(712->,)(3严叫+3葛+/+屈,G&-俘喟.Ii解：3a9寸弓+3反=12万-3J4Q=(12-3旬出=15凡(2)(,A+>20)+(12-,)=48+73+-J12-1.=4'/-;+2,/-1.+2'/?-=6V3221+3+J.5+,5=423+V3+-+SV5=(吗&+(济+5)万=我+4¾2=(I-g)石+(2+1卜石4+匹忤-斓S+?1邛+；石+3石.【交式2】已知后2236,求(族-/料-(吊吊+5"')的值.(结果精确到0.0D3412II解：原式=44-5#>-1>#>-5也=MV*5X2.236*0.45.类型五,二次根式的混合运算10, HT:(1.)(V6+vz3)×J5(4#-3及)+2/.思路点拨：二次根式仍旧清意整式的运算规律，所以干可用整式的运算规律.解：(&+6)X='而×也+&X'-'三J18+J24三3J2+2'P-13(4卡-3点)+2/4揖+20-3&+2/=2,斤211、计算(6+6)(3-75)I(2)(Jio+')(710-7).(3)(3-2f1.(3÷2f=思路点拨：二次侵式的多项式集以多项式运算在乘法公式送算中仍旧成立.解：(1)(754«)(3-75)=3'-('/5)1+i8-e75=13-3B(2) ('7")(Tio-)三(vzi),-(A)1.O-7=3.(3) «2诉F类型六,化简求值12、已知+Tx6y+10=0,求(3+V>,)-(*TxUx)的值.思路点拨：本意首先将已知尊式进行变形，把它配成完全平方式，得(2XT)Xy-3)1=0,即x-3,y=3.其次，依Ie二次横式的加减运算，先把各项化成量筒二次根式，再合并H类二次梭式，终代入求值.裤：4x,+-4-6y+10=04x1-4x+1.+y,-y+9=0(2x-1.),+(y-3),=0x三二,尸3BJ而怎屈g=2x+、丫rv÷5/D=XVx6v11/r/32当X=二，尸3时，2×V22«T+37举一反三【变式1】先化倚，再求值.（6x'Jx+>）-（4yV+-6）,其中x=2,y=27.好：JI式=6v+3-(4v4'v)=(6+3-4-6)v'',当XXE7时，原式='乐7=1立【卯】.已知X=J,求（要-金）V的值.类型七'二次根式的应用与探究，13、一个底面为30cX30s长方体玻璃容器中装,水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、玄为Ioc铁幡中，当帙精装清水时，容中的水面下降了20c,铁桶的底面边长是多少米？解：设底面正方形铁桶的层面边长为X,Jgx,×10-30×30×20,x1.-30×30×2,x=3O×30×72=3O>.答：铁桶的底面边长是306厘米.14、如图所示的RtZiABC中，ZB=90,点P从点B起先沿BA边以1鹿米/秒的速度向点A移动I网时，点Q也从点B起先沿BC边以2及米/秒的速度向点C移动.问：几秒后APBQ的面积为35平方JK米？PQ的定育是多少厘米？（结果用管二次根式表示）15、探究过程，视察下列各式及其设证过程.J1.尾同理可得I通过上述操究你能指测出IaV3i=(a>0),并改证你的结论.W.岳/S=旦a-+_Jj-a(3-1)aa.Yr+月产+口总结升华：解答此类问题的特点是依据题目给出的条件,找寻内在联系和f粉神，然后落IB所求同J8的结果，有利于提高第!合分析实力.【交式I】对于目“化简求值，rt+V+2,其中a'g"，甲、乙两个学生的解答不同堆的解答是错误的？为什么？Ra募习21.1二次根式:1.便式子Qr有谶义的条件是.2.当时，屈T+1.-2.t有怠义.3 .若"T一有意义，则”，的取值范围是.4.当X时，J(I-Xy是二次根式.5 .在实效范围内分解因式；X4-9=./-2&X+2=,6 .若无=2x,则、的取值低鼻是.7.已知J(X-2)2=2t,则、的取值花围是.&化传；-2a-+1(x-I)的结果是.9.当1.<x5时,10 .把旧的根号外的因式移到根号内等于.件是.11 .使等式yJ(x+1.)(x-1.)=x-.+1.成立的条12 .若-,+1.与JTr赤口互为相反数，JH(-w=13 .在式子木(XAO).在(y+1.(y=-2),J-2x(.r0).3.r'+1.x+y,二次根式育()A.2个B.3个C4个D.5个14 .下列各式肯定是二次根式的是()A.Q.B.凡C.02+1.15 .若2-0<3,用J(2-4-J(-3)2等于(2a-1.16 .若A=J(a?+4)»则a=()(一+4丫17 .若01.,则拓F化向后为()A.(«1)-IB.(1-)J1.-)A.5-2aB.1.-2C.2a-5D.A.2+4B.a2+2C.(-I)F三D.(1.-w)711-18 .能使等式后=-=成立的X的取值范是)A.r2.B.x0C.n2D.x2)A.0B.4a-2C.2-4nD.2-加19 .计算：J(2a-1.f+J(1.-2af的值是4f-220 .下面的推导中起先出傅的步是().23=2'×3=T2(1)-23=J(-2)2×3=i2(2).23=.2=-2A-(O(3)B.(2)C.(3)D.(4)(4)21 .若JX-+-4>+4=0,求Xy的值22 .当“取什么值时，Rft式由+1取3小，并求出这EM23.化面，(1)2700(5)嚼(6)海报21.2.次根式的乘除1.当0,0时，Jcii=2若忻T和仔R都是.W1.二次根式,则/=,/:=3.计算：2×3=369=.4.计算：(48-3H)÷3=.5.长方形的宜为JJ,面积为2#,则长方形的长妁为(精确到0.01).6.下冽各式不是管二次根式的是()A.J'+1.B.J2x+1C.V1.-D.J.1.y7 .已知>0,化管二次根式X后的正确结果为()A.B./7C.-7D.G8 .对于全部实效“力，下列等式总健成立的是()A.Nii+而)=a+bB.ya2b2=a+bC.a2+Z>2)=ai+bD.Q(a+b)=a+b.9 .-2/和-30的大小关来是()A.-23>-3B.-2J-3C-23=-3>D.不能确定10 .对于二次根式Jx2+9,以下说法中不正11的是)A.它是一个非负数B.它是一个无理敷C,它是最简二次根式D.它的小311 .计集，(1) .2×32(2).57×35疝NM)(a0,b0)(4).yu'b,'÷Jciba>0.b-0)(5)J(6)->0卜3后12.化如(1.).(n0,fr0)(2).-ji(3).7-413.把根号外的因式移到根号内ITA(2)(,-)J721.3二次根式的加战1 .下界根式中，与是同类二次根式的是)A.后2 .下面说法正确的是()A.被开方敷相同的二次横式肯定是同类二次根式B.2B.#与厢是同类二次*WC.与不是同类二次程式V50式3 .与。豆不是同类二次根式的是(投4 .下列根式中,是量简二次根式的是(D.同类二次根式是IWfi数为2的根).(2Z?B.120-12C.yx2-y'D.).2-1.R-2x+1.B.±2C.2D.+4)A.33-3B.3C.15.若1yxy2,则j4-4x+f+JF+2x+1化倚的结果是（C.36 .若闹+29#=10,则的值等于）A.47 .若/的整数部分为一小数部分为y,则Gt-.v的值是（D.38 .下列式子中正确的是().小+6=币B.-Ja2-bz=a-bC.a>fx-byx=(a-b)fx在乎=仆+币=仆+29 .在JiZTiI而中，与77是同类二次根式的是.10 .若量简二次根式气国君与炳国是同类二次程式，»«=一,b=11 .一个三角形的三边长分期为疯，2cn.i8cn,则它的局长是ca.12 .若量传二次根式g+1与6-1是同类二次根式,财“=13 .已知=+Iy=7-,ny+xyi=14 .已知*=V,JU-V2-A+1=15 .(3-2p(3÷2f'=2(2+3瓶，-48(2).48-54÷2+(3-3)j1.+-(3).(7+4J)(7-43)-(35-1.)2(O.(1+2)：(1+3)"(1-2)'(1-3)：(7"+)-(7"-)=Q+#后虫+4)17.已知t«+-=1+<»求/+4T的值18.已知tx.1为实数，且yx-1.+1-x+3,化知y-3-7.v2-8y+1.6.19.已知x-3y+x2-9(N)?=0,求对J的值.