二阶常系数线性微分方程的解法word版.docx

第八章8.4讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如y+py'+qy=f()(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中P、g均为实数，/(K)为已知的连续函数.假如/“)三0,则方程式(1)变成y9+py,÷qy=0(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将探讨其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1 .解的叠加性定理1假如函数力与”是式的两个解，则y=Gv+G)也是式的解,其中GG是随意常数.证明因为X与乃是方程(2)的解,所以有N+M+qy=().Vi+RV；+；1,=0将y=C1V1+C2y2代入方程的左边，得(C1.yf+C,><)+p(C1.y；+C,y)+<(C1y1+C2.y2)=C1.(y'+py+<7V1)+G(y:+py,2+qy1)=O所以y=C1y1+C2y2是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有登加性.登加起来的解从形式看含有G,g两个随意常数,但它不肯定是方程式(2)的通解.2 .线性相关、线性无关的概念设力.，,为定义在区间1内的11个函数,若存在不全为零的常数小右,儿，使得当在该区间内有A,y1.+k2yi+儿y,三0,则称这n个函数在区间1内线性相关,否则称线性无关.例如1.CoS,sin在实数范围内是线性相关的，因为I-cos1x-sin.r三0又如1,X,/在任何区间(a,b)内是线性无关的，因为在该区间内要使k1.+k2x+kix2三O必需尢=刈=&=0.对两个函数的情形,若上=常数，则受，线性相关,yi若事X常数，则）1，y,线性无关.丫23 .二阶常系数齐次微分方程的解法定理2假如,与心是方程式（2）的两个线性无关的特解，则y=c1.y,+（G,G为随意常数）是方程式（2）的通解.例如，+y=0是二阶齐次线性方程，X=SinK,y、=CoSK是它的两个解，且X=IanxW常数，心即y,.v2线性无关，所以y=Gy1.+Gy2=Gsb1x+C2CoSX（C，G是随意常数）是方程P+y=o的通解.由于指数函数y=e"（r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，依据指数函数的这个特点，我们用V=厂来试着看能否选取适当的常数r,使y=/满意方程.将尸”求导，得=r-.=rVn把乂Ey代入方程（2）,得(r:+pr+q)e,=O因为e-0,所以只有r'+pr+q=O(3)只要r满意方程式(3),门”就是方程式的解我们把方程式叫做方程式的特征方程,特征方程是一个代数方程，其中r2.r的系数与常数项恰好依次是方程(2)匕义.V的系数.特征方程的两个根为=y%,因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.当犷-的>0时，不是两个不相等的实根.-p+yp2-P-yP22，-2X=e匕R=e一是方程(2)的两个特解，并且&=常数，即,与力线性无关.依据定理2,得方)2程的通解为y=C/"+Cb当>-4q=0时，as是两个相等的实根.G=一个这时只能得到方程的一个特解/还需求出另一个解心，且比工常数,设区=。)，即>'Xyi=e%()%=enj,(M,+r1.u),)；=e,',(ur+2im,+rt2u).将%代入方程,得+2ru'+rJ"+p(“'+c)+g“=O整理,得e,'u*+(2+p)u,+(r：+prt+q)u=O由于e"*H(),所以+(2r1.+p)u,+(r12+prt+t)u=O因为4是特征方程(3)的二重根，所以r1"+pr1.+q=O,2rt+p=0从而有it"=O因为我们只需一个不为常数的解,不妨取“=x,可得到方程(2)的另一个解y1=xer".那么，方程的通解为y=Cte+C1.xe,'x即y=(C,+C,x)e,1当/-4g<0时,特征方程(3)有一对共腕复根=,+f,A=a-i(万HO)于是H=尸,叫力=产日利用欧拉公式ei'=COSA+/sinK把y,y2改写为y1=e'a'=em*=em(s"+isinx)y2=e<i=eme-if1.,=er(cos所isbx)M外之间成共辐关系,取_.Vi=-(>,+)=eCOS,I>2=三(防一.¥2)=。6疝佻方程(2)的解具有卷加性,所以其，力还是方程(2)的解，并且&=WF吟=ia11A工常数，所以方程的通解'eCOg>1为y=(C1.cosx+C2six)综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下：(1)写出方程(2)的特征方程r+pr+q=O(2)求特征方程的两个根八百(3)依据弓石的不怜悯形，按下表写出方程的通解.特征方程+pr+q=O的两个根小4方程y+py'+g.v=0的通解两个不相等的实根rir2y=""*两个相等的实根1=4y=(G+jM”一对共挽及根r1.2=atiy=ea,(C1.cosx+C2sinx)例1求方程./+2.<+5.，=0的通解.解：所给方程的特征方程为r2+2r+5=0r1.=-+2i,r2=-1-2/所求通解为y=e1.(C1.cos2.v+C2sin2.v).例2求方程票+2%S=O满意初始条件S1.=4,S1.=-2的特解解所给方程的特征方程为r1+2r+1.=0O=G=T通解为S=(G+G)°将初始条件S1.=4代入,得G=4,于是S=(4+CRe对其求导得S,=(C,-4-Ck,将初始条件S1.1.-2代入上式,得Q=2所求特解为S=(4+2)e'例3求方程了+2，-3，=0的通解.解所给方程的特征方程为+2r-3=()其根为r1.=-3.r2=I所以原方程的通解为)，=C1e-,+C,e,二、二阶常系数非齐次方程的解法1 .解的结构定理3设.V*是方程的一个特解，Y是式(1)所对应的齐次方程式的通解，则)，=y+)，*是方程式的通解.证明把y=y+/代入方程的左端：(Y"+)，*")+巩丫'+)'*')+4Y+.、")=(Yh+pY,+F)+(y<+py*'+g.v*)=O+/(X)=/(x)，=").*使方程(D的两端恒等,所以F=y+y*是方程(1)的解.定理4设二阶非齐次线性方程的右端/")是几个函数之和，如y*+py'+qy=1.(x)+fi().(4)而y1与>：分别是方程y,÷py,+qy=1()与<+py'+qy=Z3(X)的特解，那么)，；+)；就是方程的特解，非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2. /=a匕(X)型的解法f(x)=e,Pn(x),其中2为常数，-(X)是关于X的一个m次多项式.方程(1)的右端/是多项式匕(X)与指数函数H乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为y*=Qx)*,其中QX)是某个多项式函数.把尸=Q(K)dW=MQ(X)+Q'(x)e"V*=把QN+220'()+Q,(x)ei1.代入方程(1)并消去得Q(x)+(2+P)Q'(*>+(万+p+<f)Q(x)=Pmx(5)以下分三种不同的情形，分别探讨函数Q(X)的确定方法：(1)若4不是方程式(2)的特征方程/+pr+q=O的根，即下+6+”0,要使式的两端恒等,可令QX)为另一个加次多项式。”：QE(X)=b0+btx+b2-+bnxm代入(5)式,并比较两端关于X同次耗的系数,就得到关于未知数包,而,的J+1个方程.联立解方程组可以确定出Aa=Oj.M.从而得到所求方程的特解为.v*=Q3(2)若Zi是特征方程/+pr+q=O的单根，即尤+以+q=0,24+p*0,要使式成立,则Q(t)必需要是，次多项式函数，于是令Q(K)=XQB(X)用同样的方法来确定。KX)的系数“=(3)若2是特征方程/+pr+g=O的重根，即2+/M+</=0,2+p=0.要使(5)式成立,则QYx)必需是一个"，次多项式，可令Q()=X'。“仆)用同样的方法来确定。“的系数.综上所述，若方程式中的f(加匕汽则式的特解为y*=Fqiu(X)J'其中QM是与PM同次多项式，4按A不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的市根依次取0,1或2.例4求方程的一个特解.解/是/U)型，且4(r)=3"=-2对应齐次方程的特征方程为/+2r=O,特征根根为=OF=-2.2=-2是特征方程的单根，令y*=xv3,代入原方程解得故所求特解为户=一1叱n.例5求方程,y"-2)=(-1)，的通解.解先求对应齐次方程y-2y'+y=0的通解.特征方程为r-2r+1.=(),r1=r=(C,+C2x)e*.齐次方程的通解为再求所给方程的特解=1.(x)=X-I由于a=1是特征方程的二重根,所以y*=.(x+b)e'把它代入所给方程,并约去e*得6v+2=x-1比较系数,得于是62所给方程的通解为)，=f+y'=(C1+CxX2+X3)ex263./(x)=ACOS6+Bsin皿型的解法f(x)=Acos+/JsinMV,其中A>B、0均为常数.此时,方程式(D成为+1.,y'÷=-Acosftiv+/Jsin-(7)这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式的特解P也应属同一类型，可以证明式的特解形式为y*=a(cosm+fesinv)其中公为待定常数*为一个整数.当土ri不是特征方程，+*+q=0的根，取0；当上ei不是特征方程/+pr+q=O的根，4取1；例6求方程r"+2F-3),=4sinx的一个特解.解r=1»±&i=±i不是特征方程为尸+2r-3=O的根，衣=0.因此原方程的特解形式为y=wcos.r+bsinx于是.y,=-sinx+力COSx>,*"=-aCOSx-$inx将y*.V叫y*"代入原方程，得-4«+2=0'-Ia-Ab=A解得a=.b=原方程的特解为：y=-cosx-inx例7求方程y,-2y,-3y=e,+sin.v的通解.解先求对应的齐次方程的通解上对应的齐次方程的特征方程为r1-2r-3=0r1.=-,r,=3r=C1.ei+C2ej,再求非齐次方程的一个特解)，*.由于/(x)=5CoS2x+e，依据定理4,分别求出方程对应的右端项为fi(X)=<?'.f2(x)=sin.1的特解y；、y,则)，*=)，；+£是原方程的一个特解.由于2=1,±i=±均不是特征方程的根，故特解为y*=y1.-+y29=ae'+(cosx+CSinx)代入原方程,得-4<ft-(4h+2c)cos.v+(21)-4<)sinx=e'SinX比较系数,得-4<z=14h+2c=02-4c=1解之得”=一=A.c=_".于是所给方程的一个特解为I,11y=一一e+CosxS1.nx41()5所以所求方程的通解为y=Y+y'=GeT+C,e'+-jcosa-