二面角习题及答案.docx

二面角2I.如图三梭锥P-ABCt1.j,PCJ_平面ABC,PC=方D是BC的中点，且AADC是边长为2的正三的形，求二面角RAB-C的大小.解求以BD为核.BDE与BDC为面的二面角的发数“2.如图在三极链SABC中，SA_1.底面ABC,AB1.BC,DE乖口平分SC,且分别交AC,SC于D、E.XSA=AB.BS=BC.解：3.如图：ABCD是矩形，AB=8,BC=4,ACBD相交于O点，P是平面ABCD外一点,PO±ftABCD.PO=4.M是PC的中点.求二面角M-BD-C大小.解：AABC马ABCD所在平面垂且AB=BC=BD,ZABC=ZDBC=1200.求：面角A-BD-C的余弦值，解：5.正方体AC.M,N分别是BBDD1的中点.求裁向AMCN与面ABeD.CCDD所成的角。解:6 .如图AC1.1.f1.iBCD.BD±Ift1.ACD,假谀AC=CD=1.ZABC=30',求二面角C-B-D的大小。解:7 .三棱锥A-BCD'',/BAC=/BCD=90",ZDBC=30",AB=AC=K,AD=4,求二面角A-BC-D的度数.解：9.如下图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,NA=60",PC1.平面ABCD.PC=a,E是PA的中点.(1)求证平面BDEJ_平面ABCD.求点E到平面PBC的距离.求:面由A-EB-D的平面角大小.解析：1().如图.正方体ABCDAIB1.CIDI的极长为1.E,F分别在棱AB、BC.G在对角_1_找BDI±.且AE=4.BF=2.DIG：GB=I：2.求平面EFG与底而ABCD所成的二面角的大小.11 .如图，设ABC-AIB1.C1.是直三梭柱，E、F分别为AB、A1.B1.的中点，fiB=2AAI=IuAC=BC=a.(1)求证:AF1.AIC求：面角C-AF-B的大小12 .如图"C/)-A1.BICn是长方体，AB=2.M=AQ=1.求二平面人用C与ABC/所成：面角的大小.13 .在正方体MeD-4心G。中，KW网，WeCG.且'""W"4GW=-CC14.求：平面AKM与ABCD所成角的大小.14.如图.珞边匕为a的正：.角形ABC按它的高AD为折数折成一个二面角C-AO-C.(I)FW设二面角C-AD-C是底二面向，求CC的长:(2)求人C与平面Ca)所成的角:(3)快设二面角仁一AO-C的平面地为120”,求二面角A-UC-O的平面角的IE切值.P参考答案解：由条件，D是BC的中点：.CD=BD=2又AADC足正三角形AD=CD=BD=2D是AABC之外心又在Be上：.AABC是以NBAC为直角的三角形，：.AB1.AC.又PCJ.SiABCE±AB（三垂雄定理）NPAC即为二面角P-AB-C之平面角.易求/PAC=30°2,解：BS=BC.又DE垂直平分SC：.BE±SC.SCJ.向BDE：.BD±SC,又SAJ_IffiABC：.SA±BD.BD_1.面SAC：.BD1.DE.UBD1.DC那么NEDC就是所要求的平面向设SA=AB=a.那么BC=SB=2a且AC=&易证ZkSACsZDEC：.ZCDe=ZSAC=60°3、解：取OC之中点N,那么MNPo：POj面ABCDMN1.tijABCD且MN=PoJ2=2,过N作NR1.BD于R.连MR.D那么NMRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE1.BD于S那么RN=ICE在R(BCaCE=CDBCBD4RN=-有tanZMRN=RN2ZMRN=atan524.解：过A作AE1.CB的廷长战于E.连结DE，：而ABC1.MBCD：.AE1.ffiBCDE点即为点A在面BCD内的射影：.EBD为AABD在向BCD内的射影设AB=a那么AE=DE=ABSin60"=-1-a2AD=cosZABD=,245二SinZABD=4.cI、15152D1.IUISabd=-a*×-=a-乂BE=彳a2482.cI3I62oar11f=a-a=abde2228.COSO=三1.=正SSABD5SABeD-a=T6取CC的中点M;连结DW那么平行四边形DMCN是四边形AMCN在CCDD上的射影.0123DMCM=3一正-66.解：作DF_1.AB于F,CE1.ABE.AC=CD=IZABC=30°ad=2.bc=3,AB=2.BD=2在RIABC中,B=处空=3AB同理DF=ADBDIxIABAE=ac2-Ce-=；EF=2-I-=-22CD?=CE2+DF?+EF2-2EF-DFcos7、解：由条件BAC=9(,AB=AC.设BC的中点设为O,那么OA=OC=后即所求角的大小为a11xos苧DC=BCtan30°=2、GX苧=2BC=23.AD2=AO:+OC2+CD:-2AOCDcosO解之得：COSe=-I：.=1.509,解析：(I)设OJAC.BD的交点,连结EO.YABCD是菱形.二。是AC.BD的中点.；E是PA的中点，；.EOPC，XPC1(J11ABCD.1.EO1.iFSiABCD.EOU平面BDE,平面BDE_1.平面ABCD.(2)EOPC,PCU平面PBC,EO/'IzIftiPBC.于是点O到平曲PBC的即肉等于E到平面PBC的距禹.作OFj_BC于F.EO，平面ABCD,EOPC.PCU平面PBC二平面PBC_1.平面ABCD,于是OF_1_平面PBC.OF的长等于O到平面PBC的距离.aaV3由条件可知，OB=2,of=5X2=4a,那么点E到平面PBC的距离为4a.(3)过0作OG1.EB于G,连接AGVOE±AC,BD±AC.'AC,平面BDE.AG上EB(三垂线定理),NAGO是二面角A-EBD的平面角1I3OEOB3IVOE=2PC=2a,OB=2a.EB=a.OG=EB=4a又AO=2a.AO2323AtanZAGO=OG=3ZAGO=arctan3.评析此题考察了面面垂直判定与性侦，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.10、设G在底面ABCD上的射影为H,HGBD.GHGB2.丽=丽=§2GH=3作HMEF于M.连GM,由三垂线定理知GM1.EF,瑾么/GMH=。就是平面BFG与GH度面ABCD所成的二面角的平面角，tanD=HM.卜面求HM的值.建立如下图的比角坐标系,据题设可知.直线EF的方程为J-Q4-OI-2=4,即4x-6y1.=0.由点到直线的距离公式可得4x-6×-I.IIiIHMI=','4'+6=6而,26jJ4、1TJ4、'百.tg"=311=11,O=arcg”.说明运用解析法来求HM的值是本例的奇妙所在.Ik分析本小题考察空间几何垂直的概念和二而角的度量等学问.解(I)YAC=BC,E为AB中点，ACE1.ABXVABC-AIB1.Ci为A柱，.CEJ_面AA1.BB连结EF,由于AB=2AA1AAIFE为正方形AF1AIE.从而AF-1.A1.C设AF与AIE交于O,连结CO,由于AFJ_AIE,如AFJJfiiCEA1.AZCOE即为二面角C-AF-B的平面向YAB=2AA1.=2a.AC=BC=aY2a2-d/.CE=2atOE=2a.1.anZCOE=2=2.*:面向CAFB的大小是arctan2.12、解析：.平面ABCD平面A4GA,二平面八BC与平面AgGA的交线I为过点为且平行于AC的直线.电线1就是二平面ABIc与ABCiB所成二面角的枝.又4'_1.平面A4GA,过A作AHjJ于H,连结AH.那么NAZ列为.面向八一/一%的平面tanZHA1.=arctan11-arctan角.可求得2.因此所求角的大小为2或2DC=DC,=-a14、解折：(I)假设NCDC=90°,：AC=a.2.CC,=-a2(2).AD1.DC',AD1.DC.AD1.平面值"C.NACO为Aa与jyj-1AC平面DeC所成的角，在RIADC'中，一-2,."AC=3。，于是ZAe'O=6(F取CU的中点E,连结AE、DE.'IX:'=1)C,C=AC,：.AE1.CC,DE1.CC./AED为二面向A-CC-O的平面角.ZCDC=I2(F.CD=CD=-aDE=1.aAD=a2,7.4,在RtAED中，23)-r-«r.tanAED=-f=23.DEI