二项分布经典例题 练习题.docx

二项分布1.次独立重复试雕一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即八及X,每次试验中P(4)=p>0我们将这样的试验称为“次独立重复试验，也称为伯努利试验.(I)独立重复试改满意的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的,其次：各次试验中的事务是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果。(2)次独立重复试验中事务A恰好发生人次的概率,(X=)=C>4(1.-p)"io2,二项分布若随机变量X的分布列为P(X=A)=，尸，其中0<p<1.p+g=I.A=02.则称X听从参数为n,p的二项分布，记作XB(n.p)1.一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，假如取出的次品不再放回,求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布。3.甲乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为乙每次击中目标的概率为？.（1）记甲击中目标的此时为一求二的分布列及数学期里，（2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.【巩固练习】1. （2012年揖才（浙江理）已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取（无放回,且每球取到的机会均等）3个球,记I®机变量X为取出3球所得分数之和.（I）求/的分布列；（11）求X的数学期望£0）.2. （2012年高考（支庆理）（本小题满分13分，（I）小问5分，（11）小问8分.）甲、乙两人轮番投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,始终到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为I，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（I）求甲获胜的概率；(11)求投篮结束时甲的投篮次数4的分布列及期望3.设篮球队八及进行竞赛，每场竞赛均有一队胜，若有一队胜4场则竞赛宣告结束，假定A.8在每场竞赛中获胜的概率都是：，2试求须要竞赛场数的期望.3. (2012年高考(辽宁理)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视状况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是依据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷”.(I)依据已知条件完成下面的2x2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”及性别有关？*体育迷体育迷合计明女IO55合计（三）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采纳随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中断体育迷”人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期柒E（X）和方差）X）.5. （2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为:、且各轮问题能否正确回答互不影响.（I）求该选手被淘汰的概率；（11）该选手在选拔中回答问题的个数记为4,求随机变意的分布列及数数期望.（注：本小题结果可用分数表示6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种状况下，分别求直至取得正品时所需次数；的概率分别布.(1)每次取出的产品不再放回去I(2)每次取出的产品仍放回去,(3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. (2007山东)设b和C分别是先后抛掷一枚嵌子得到的点数,用随机变量表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).(0求方程2+bx+c=0有实根的概率,(id求；的分布列和数学期望；8. (本题满分12分)某商场为吸引顾客消费推出一项实一惠活动.活动规则如下:消费额每满1.oo元可转动如：二步B图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假、：/定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元I停在C区域不返券.例如，消费218元,”可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.(D若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率：（三）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参及了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.9.（本题满分12分）中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山实行，为了搞好接待工作，组委会打算在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175C1.n以上（包括175cdi）定义为“高个子”，身高在175cn以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担当“兼职导游二湖北理工学院湖北师范学院（1）依据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）假如用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从全部“高个子”中选3名志愿者,用二表示所选志愿者中能担当“兼职导游”的人数，试写出4的分布列，并求；的数学期里.10某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,，8,其中X5为标准A,X为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件I乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准(I)已知甲厂产品的等级系数Xi的概率分布列如下所示：M5678P0.4ab0.1且Xi的数字期望EX=6,求a,b的值；（三）为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.11.受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润及该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间近年)0<x1.1.<x<2x>20<x2x>2轿车致证(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题；(D从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(II)若该厂生产的轿车均能传出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X,的分布列：(III)该厂预料今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应当产生哪种品牌的轿车？说明理由.巩固练习答案1 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等学问点.(1) 1的可能取值有:3,4,5,6.故,所求力的分布列为5615521=-at42H422!134520IO42422T(11)所求*的数学期望£(力为：ES=.【答案】(I)见解析；(11).2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望及相互独立事务的概率,考查运用概率学问解决实际问题的实力,相互独立事务是指两事务发生的概率互不影响,留意应用相互独立事务同时发生的概率公式.解:设4,用分别表示甲、乙在第人次投篮投中,则,*e(.2,3)(D记“甲获胜”为事务c,由互斥事务有一个发生的概率及相互独立事务同时发生的概率计算公式知，P(C)=P(At)+p(aB1A2)+P(A1.B1.A1BiAi)=P（八）+P(X)P(瓦)p(4)+pR)p(瓦)p（三）p(瓦)p（八）三+2xx2v2x3 3233(2皤的全部可能为：1,2,3由独立性知：Pe=I)=P（八）+可区4)=；+3!=：P(12)=P(X瓦4)+P(A瓦.8j=+gg+C;J=IP(*3)=P(丽两HIjgjq综上知，4有分布列;123P23299从而,f<=1.×2×+3×=-(次)3.解：(1)事务“X=4”表示，八胜4场或8胜4场(即8负4场或A负4场)，且两两互斥.P(X=4)=Cjx(I)4x0+Cj×(1.)0×4I(2)事务“X=5”表示，八在第5场中取胜且前J场中胜3场，或8在第5场中取胜且前4场中胜3场(即第5场,负且4场中八负了3场)，且这两者又是互斥的，所以P(X=5)=g*)审T+1Cj,()4"=.(3)类似地，事务“X=6”、“X=7”的概率分别为P(X=6)=；以+(J-+K拈)畤N=QP(X=7)=;*+3%吗产=A竞赛场数的分布列为Z45671.,2164而516516故竞赛的期望为E(X)=4×+5×-÷6×-÷7×=5.8125(场)16161616这就是说，在竞赛双方实力相当的状况下，平均地说，进行6场才能分出输赢.4 .【答案及解析】(D由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中，“体育迷”有25人,从而2X2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100由2X2列联表中数据代入公式计算,得：,n(nnn22-ni2112i)2100×(30×10-45×15)2100i=3.0：n1+n24.n+1n+275×25×45×5533因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”及性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为'由题意，4,从而X的分布列为：X0123n272791r646464E(X)=np=3×-=-i,44139D(X)=np(1.-p)=3×-×-=-7-【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望E(X)和方差D(X),考查分析解决问题的实力、运算求解实力,难度适中.精确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.5 .(I)解法一：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事务为A/*=1.2.3),则，.该选手被淘汰的携率=P(元+A1+44A)=/不)+P(A)代无)+i(A,)WW=1.+i2+1.×M=1.1.555555125(I)解法二：记“该选手能正确回答第，轮的问题”的事务为Aa=I,2,3),则，.该选手被淘汰的概率P=I-P(AA,A,)=I-P（八）P(A,)P(AJ82512一25=2-53-5(11)4的可能值为123,P(=2)=P(A)=a,（八）)=P(=3)=P(ArA2)=P（八）P(&)=乎H.I-8,12.E=×,-+2×+3×52525.二的分布列为123P25825122557256 .(1)X的全部可能值为1,2,3,4,X的分布列为P(X=1)=710,P(X=2)=31079=730,P(X=3)=3102978=7120,P(X=4)=310×291/8=1/120(2) X的全部可能值为1,2,3,4X的分布列为P(X三k)=，k=112,3»(3) X的全部可能值为1,2,3,4X的分布列为P(X=1)=7/10,P(X=2)=310x8/10=6/25,P(X=3)=310x2/10x9/10=27/500,P(X=4)=310210x1/10=3/500.7 .解：(I)由题意知，本题是一个等可能事务的概率,试验发生包含的基本领件总数为6x6=36,满意条件的事务是使方程有实根，则4寸24应0,即也24下面针对于c的取值进行探讨当c=1时，b=2,3,4,5,6；当c=2时，b=3,4,5,6；当c=3时，b=4,5,6；当c=4时，b=4,5,6：当c=5时，b=5,6；当c=6时，b=5,6,目标事务个数为5+4+3+3+2+2=19,因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为粤(I1.)由题意知用随机变量表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到=0,1,2依据第一问做出的结果得到则PK=O)=1Z,P(=1)三=1,P(=2)=33o?oIo3o的分布列为4O12P17361181736的数学期望E=0×11+11.+2=1.,36IS368 .设指针落在A,B,C区域分别记为事务A,B,C.则P（八）="P(8)="P(C)="632(I)若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.P=P（八）+P(B)=-+=-632即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是不(11)由题意得，该顾客可转动转盘2次.Bfi机变量X的可能值为0,30,60,90,120.5分P(X=O)=Ix1.=I;224P(X=30)=3*=；;P(X=6O)=×1×2+×=-;2O33IXp(X=00)=-×-2=-369P(X=120)=7=O636,10分所以，随机变量X的分布列为，P0306090120X435913611分其数学期望EX=O-+3O×-+6O×-+90×-+120×-=40431893612分9、解：(1)依据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：.2分(2)由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，.依据分层抽样抽取的6人中“高个子”为人，“非高个子”为人；则至少有1人为高个子的概率P=1-6分(3)由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则的可能取值为0,1,2,3；故，»»»即6的分布列为I12分1().解：(I)因为=6.所IrI5O.4+6+7b+8O.1.=6JW6rt+7b=3.2.又由Xi的概率分布列得0.4+H0.1=1,即+=0.5.a=0.3,b=0.2.解得J(m+7b=3.2,+)=05(II)由已知得，样本的频率分布表如下，X2345678/0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数Xz的概率分布列如下，Xr345678P0.30.20.20.10.10.1所以fX,=3P(X,=3)÷4P(X,=4)+5P(X,=5)÷6P(X,=6)+7P(X,=7)+8P(X,=8)=3x03+4x0.2+5x0.2+6x0.1+7x0.1+8x0.1=4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(III)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6,价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产目的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性.（111）EXI=IX，+2x3+3x2=2.86（万元）255010EX?=1.8X±+2.9X蒋=2.79（万元）EXt>EX2所以应当生产甲品牌汽车。