二项式定理十大典型例题配套练习.docx

精锐教育学科教师辅导讲义学员1号：年级：离二课时数：3学员姓名：辅等科目：敷学学科数师:数学内网1 .二呱式定僵：(a+b)=C>w+Cy,b+Can',b,+C>"(meN")1.2 .根本概念：二®½UffiRF式：右边的多旗式叫做必+切”的二项展开工二®!式系数:展开式中各项的系数G(r=0,1,2,G)BMR：共"+】)呗，是关于“与匕的齐次多®!式1处展开式中的第，+1350”方叫做二项式展开式的遢双用幻=Cx"'表示3 .注关点：顶效：展开式中做共有(+1)坝«序：注Je正确选择”,/，J1.JC序不制&改(“+)”与S+a)是不同的由R：“的指数从逐坝震到()，是降幅排如的指数从。逐项灌到“，是升格排列各狈的次敬和等于系数：注一回区分二项式系数与呗的系敷，二BH式系数依次是UCC:，U项的系数是。与/，的系蚊t包括二In式系效工4 .常用的结论：令。=|力=M(1.+.r)"=C+C>+C>2+C>,+.-.+C,X(6r)令。=I,b=.(1-W=C：-Gx+Cjx2-.+C*+(-1.)C1X(11f)5 .性质：二项式系蚊的对麻性：与苜末两端“对距离"的两个二JK式系徽相导，即c：=C：,C=C二BWt系蚊和：令。=1、则二®I式系数的和为Oe+d+.+U+c：=2",变形式C：+C：+Q+C=2"-1.MJM的二8J式系敷和=偶数助的二顼式系数和：在二3U½H中.令“=14=-,5j|C-C>C；-C；+.+(-irc；=(1.-ir=(),从而懒：¢+¢+U+W'+=G+C+C'"+=g2"=2"T询物Q的恭数和与旧敷顶的系数和：(«+-)n=C>V+C1.an-'x+Cy-V+.+C1V=%+aix'+a2x2+anx,(A+)n=C>0r+C'uaxn'+C-a-1.t-2+C>a0=axn+aix1+a1.x'+%令X=I,R1Ja0+1+11,+«3.+a=(+1)"令X=-I,则-+,-a3+«=(-1.)n+得,4+%+4.+=”上产!21(奇数项的系数和)一得9+%+4,+q=Ww驯数项的系数和)二血RIKs大bI：如果二BU式的格指敷，是f1.WKJ.则中同一®1的二®!式系数C：取气最大值。n-1n*1.如果二1®式的睢散“是奇敷时，则中程两Iff1.的二蛔系敷汀,汀冏时取利1Q系敬的耿BU:求5+版)'展开式中IR大的磔，一般采用待定系效法.IS展开式中各WJjRIR分别为,A,“.IftMSr+1.BUSJ,应有：，；：，从ff1.三±P%专题一WB1.-:二呗式定整的逆用；例：c+c6+c6+q6"T=.解：(I+6)”=C：+C6+C：6+C：6+-+C：6与的If一些差距，.y+C>6+C6+C6"=bc6+C>62+C6")6=1.C+C6+C>62+C7-6-1)=-(I+6-U=-(7"-I)666练：C>3C-+9C>+3Cy=.解：设S1.=e+3d+9C,:+.+3"TC.则3S1,=¢3+/+C：3、+C1.3"=C：+C：3+C；32+C；3÷-+C3*-1.=(1.+3-1.S(1.÷3)"-1.4,'-1.一"-3-3-型二：利用通BQ公式求d的系数；例：在二®1式(出+"),的展开式中SWR第3m的系数为45.求含有/的®I的系数解：由条件知C：'=45,ff1.C>45,-m-90=0,解得=一出舍去)或n=1.().由I2IOr21(-r97；T=C1,0(x1),0r(x7)r=C,>'r,由MI-3+：r=3.解得r=6,*»则含有1的®第7BU7；.,=C1>,=210/JWR为21().练：求(/-二-)"展开式中N的系敷2a-解：7；.,=q()9r(-r=C>,8-27-rxr=C;(-),s-3令18-3r=9闻r=34人乙4故的系敷为砥一步=一日at=：利用胃助公式求常SR1.n；例：求二项式(丁+尸尸的展开式中的制R狈2v解：工尸GKX2产'(苏)'=G虱夕J等,令20-gr=0,Wr=8,所以7>G1'=盍练：求二Jff1.jj2x-1)<的晨升式中的常ImI解：Tr,t=C(27-1.)r(-)r=(-1.)rC；24r.v6-2r,令6-2r=0,Wr=3,所以7；=(-11以=一20Zx2练：假设(/+!)的二则开式中第5®J为常数Iff1.则=一.X解：Z=U(F)I(!=Cfz2,令2,1.12=O,W/»=6.X型四：利用建磔公工再讨论而一定青理敷顶；例：求二项式展开式中的有理®IiI27-，,7_解：*=G(/厂'(-)'=(T)G7.令Z(0r9得=3或r=9.6所以当厂=3时，咚:=4,=(-1),-4=-846当=9时，=30=(-),c;=-,.Of1.ats：奇徽m的二呗式JRet和EwHW9二项式系敷和；例：假设(J7-)展开式中丽顶系敷和为-256,求.解：设(JF-I),晨升式中各JMjR敷依次设为仆仆明令K=-I,则有他+4+4=0.，令K=I,则有。厂q+/+(T)"1.1.=2二W(D-W2(+%+4+)=-2",q+/+%+=2rt有意得-2'1.=-256=-2.二9练：假设（出+括丫的展开式中.所有的奇费皿I的系敷和为1024.求它的中同呱。解：.C+W+C>+C>+=C+C+=2".2"T=1024,解得”=11所以目两个以分别为=6=7,G=C：（dp'（）s=462x。=462x零9S!:最大系敷，*X9I;例：（+2x）",假设展开式中JrS项.第6项与第7B5的二阳式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系1是多少解：仁+。：=2仁二二2山+98=0.解出=7或=14,当”=7时，丽式中二W1.式累敷最大的!睚7；和”.7;的系数=仁（。42'=:.，7；的系数=（；）'2'=70.当=14时，展开式中二K式对Re的1婕7；7；的系数=C；（；）'2'=3432.练：在（"+）：的展开式中，二®!式系数最大的项是多少解：二项飒阴WRJHUR2，?，则中间一In的二Jn式系散大，即刀”=?；“，也就是第+皿.I2练：在-J=）"的展开式中，只有第5旧的二项式霰大，则展开式中的制RiM是多少解：只育第5皿的二项式最大，则鼻+1=5,即=8.所以展开式中常.迎为第七1即好屋(y=7练：A出在的展开式中，累数最大的顿I1.M解：因为二项式的寤指敷7是奇数，所以中同两第4.5项I的二呗式系敷相通，且日时取格偎大值，从而有T1=Va%'的JR1.IiM1.7；=C：aEIMRit七练：假设展开式前三顶的二狈式系敷破于79,求g+2x)"的展开式中系敢*大的狈解：由C>C：+C：=79,解出"=12展设7；.I1.roR大，g+2x)"=(JRI+4工产.4A.124'U.2C124Q4化.到94MrM10.4,又0r<12t.'.r=10,展开式中系敬C1.,24rC17,4ri,大的IW为.7I1=1.2C1.1.f41.V=16896，。练：在(1+2X严的展开式中系敷最大的1®是多少解：假设T“叫R大.-.7,1=C1.2r*r'解得c!nrc-'2r*',A.)a，+21>2(m-r)化制到63*aM73,又.OMrM1.O,.=7.晨开式中累数最大的Ia为(=Cz2'x'=15360.)9七：含有三In变两项；例：求当(/+3.v+2);的展开式中的一次呗的系数解法：(+3a+2),=I(x2+2)+3.v1,.7；.,=C；(.t:+2)w(3x)r,当且仅当，=I的，匚,的展开式中才再、的一次狈，此时，“=(=(V+2)3x,所以X得一次项为Ge：2'3X它的累数为CC2*3=24O.解法：(J+3x+2)S=(X+1)，(X+2)S=(C>s+C；x"+C)(G'.+42+-+C2s)故展开式中含X为q,C2,+Q,a24=24O.r,8Hf式中X的系敷为240.练：求式子(凶+1-2)的南!顺解：(+R-2)'=(乖(IaI设第+1.狈为常IwI,58心=9(一1卜/(，/=(一1广最|卡”，«IaI6-2r=0.r=3,/.T；41=(-I),C=-20.ff1.A：两个二IM式相橐；例：求(I+2x),(1.-x/展开式中的系数.解：(1+2»的展开式的通项是C>(2x)M=C，2%F,(I,。4的展开式的通项是C；(一x)"=C：其中，”=OJ2,3,=0.1,234,令,"+=2,则，=0且=2,w=I且=1.,m=2.1b?=O,1.1.t(1.+2),(1.-.r)4的展开式中丁的系数等于C2°C(-1.)2+C"GP+C22C(-1.)0=-6.练：求(1+火)“(1+)"'展开式中的常数项.Vv_Imn4w>k解：(1+力+7严展开式的通项为C户x'=GQV其中，"=0.1,2,6=0.1,2、10,当且仅当4"7=3",即''二"'或'"='或"6'n=0,/J=4,=8,时得展开式中的常数项为+Cy>+cv>=4246.练：已知(I+x+F)。+二)"的展开式中没仃常数项GMi1.2zt8,=.X解：展开式的通项为Cx*"1."=C：尸通项分别与前面的三项相乘可得.IC：1.,C：1.”,C：i.展开式中不含常数项,2“8n4r且4r+1I1.j4r+2,即4,811.zj3,7且2.6,.n=5.岫(九：奇徽顶的系数和与偶敷旧的系敷和；例：在(X-)*w1的二项展开式中,含/J奇次解的项之和为S,当X=21.S=.解：设。-应尸"'=4+。1，+/2+&M+-V2c'*(T-)m*=4-1+2-<+%6户©-f2(r+qF+6V+6f)=。-正严-O正严.(x-产展开式的奇次琳项之和为5(幻=，(X-0严-(x+严I当X=M.S(2)=-(2-)s,*-(2+6严I=-I=-2'*22M+:僮法；例：设二皿式(3蛇+1)的展开式的各JB累数的和为.所有二JH直系数的和为S.I8设+$=272即朽韧解：IRift(3a÷-)"=<+1.x+<x2+wnx",有>=q>+q+S=C：+-+C,；=2".X令1.=4",RP+=2724"+2'=272=>(2"+17×2s-16)=OM2*=162n=-17(),.=4.练：假设I3«-9)的展开式中各IM系敷之和为64,则展开式的常额B为多少解：令X=1.5a37-=的展开式中各崛HR之和为2"=64,所以”=6,则展开式的常政狈为C37),(-J=)'=-54().x练：若(1一2*严=%+qf+M+&V+”产(XWR)则卜会+舞的值为解：令X=；,可得/+>生4.+笨=0,吟+争+.+舞=F在令X=O可得=1,因而争空+.+舞=T练:苏(X-2)5=5.v,+4.v*+ayxi+aixz+ix,+%,则q+%+%+%+as-.解：令*=。得a”=-32.令*=1得q,+/+/+/+C+/=-1.a1.+a2+«,+«4+5=31.f1.!+-：整除性；例：证明：3*2-8-95wN1.能被64整标证：32*2-8-9=9",i-8-9=(8+1.)*1.-8n-9=C.8'+C1.8"+-+C81+C,8,+C1'-8n-9=CM8"“+C38”+C：8?+8(+1)+1-8-9=C18""+C,i,h8+C；.；82由于各Jn均翩M9»3:",2-8»-9(nr')能被64整除1、(X-I)U展开式中'的0次0系数之和是1、设R)=21MA1.次项系蚊之和是里Wa=(-2)"2=-10242、C：+3C：+3y+3nC=2,2、43、("+9)M的展开式中的毒理W是展开式的第典3、3,9,15.214, (2x1.F展开式中各®!系敷绝对值之和是4,/),展开式中各®!系敷系霰绝对值之和实加2/1V展开式JHR之和，故令x=1.,5«所求和为道5»求(1+x+x2>(1.-x>,"展开式中X4的系数.5, (1+X+X2X1.-X)10=(1一x*1.-x)”.M到含2的叽物JaA个因式中的I与U-W展开式中的W1.G(-Xp作积，第Ya式中的-X-'与<EdB开式中的项C,(-x)作积，故T的累数是C,+C=1356、求3+)+(1.+产+(1+X)"'展开式中3的系数6、(+x)+(i+x)4(i+yu=+xJ+x)1.+"J+D.三ttw>c实为这分子中的六购所求系数为C37、假设f(x)=+x)"'+(1.+x)"(mnNj晨开式中，X的系敷为21.问m、n为何值时，C的系敷小7、由条例m+n=21,C的项为C"、C：X)则C：+C：=(n-三尸+W.因nN.故当户10支11时上式24ff*Jft,也St是m=1.和n=10,或m=10和n=11时，的察MkI、8、自然敷n为儡敷时，求证：I+2Uy+2C：+C：+2C；1+C：=32n8、原式=(C+C：+C：+C丁+C：)+C+C：+C：+C丁)=2"+2，"=3”9、求80"被9除的余效.9、SO11=(81-1)"=C*8111-C18110+C,81.-1=81Jt-1(*eZ),VkZ,1.Z.81”被9Rfcfts.10,在<2+3x+2广的展开式中，求'的系敷.10,(x2+3x+2)s=(x+)s(x+2)s在("IF丽式中，匍RB1.J为1,含'的®!为C!=5x,在<2+疗丽式中,IMR0为2=32,含、的助力C；24X=80x丽式中含0SW91(80x)+5x(32)=24()x,中、的系24«Ik求（2x+1.四展开式中系!R最大的风IK设Te的系大，则%的JMR不小于,与Te的系E即再g212->>c,-2!i-rJCf22C;,2,2-rC121.1.,(2C；,>C；*'=>3-r4-.r=4展开式中系三WtR11为第5叽T5=I6C；2x4=7920x