二项分布和超几何分布(含答案).docx

超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品,则Pa=A)M=O.1.2,-,m,其中11=minM,且N,N,I1.,M,NN称随机变量X服从超几何分布.X01mP/"*0z-w三0Gz-*1.zw-1.N-MC；C；2独立发试险及二项分布的定义独立复试验.在相同条件下重复做的次试验，且各次试验试验的结果相互独立，称为次独立重复试蕤，其中4(/=1.2,”)是第/次试验结果，则P(4444,)=P(4)P(4)P(4)尸(4).二项分布.在次独立重复试验中,用X表示事件4发生的次数，设每次试脍中事件4发生的概率为p,则Pcr=k)=CP*(1-p)*(A=0.1.2,n),此时称随机变X股从二项分布.记作X8S,p),并称P为成功慨率.本质区分(D超几何分布描述的是不放I可抽样问时.而二项分布描述的是放回抽样月时.(2)超几何分布中的柢率计算实质上是古典概型问题：二项分布中的概率计算实质上是相互独立事务的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3册；M1.某批n件产品的次品率为2乐现从中随意地依次抽出3件进行检验.问:(I)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式加取,恰好抽到I件产品的概率各是多少？(2)依据(1)你对邮几何分布及二项分布的关系有何相识？【解】(1)在不放回的方式抽取中，每次抽取时都是从这n件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为0.02.可品数X"(3,0.02),恰好抽到1件次品的概率为P(X=I)=CjO,O2×(1.-0.02):=3x0.02x0.98,W0.057624.在不放回的方式抽取中，抽到的次品数X是随机变,X服从超几何分布，X的分布与产品的总数n有关，所以需要分3种情况分别计算：n=500时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500×2=10,合格品的件数为490.从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为P(X-I)-490×489C!0C1.1.1.x-2|-30×490×489q500×4994985(M)×499x4983!*O.O57853sn=5000时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为50×2%=100,合格品的件数为4900.从50件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为300x4900x4899C1.n5(XX)×4999×49980.057647；n=50000时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为50000×2%=1000,合格品的件数为49000.从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为P(X=I)=0.057626.<>ooo<4>ooo30×49000X48999Cooo500×49999×49998（2）根据（1）的计算结果可以看出，当产品的总数很大时，超几何分布近似为二项分布.这也是可以理解的，当产品总数很大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，次品率近似不变，这样就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布.【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本迤目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事务A出现的次数X可能听从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X听从二项分布；当这n次试脸是不放回揍球问题，事务A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X听从超几何分布其次，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X听从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加从以上分析可以存出两者之间的联系：当调查探讨的样本容/特别大时，在有放回地抽取及无放回地抽取条件卜，计。得到的概睾特别接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中打8个门球、2个黑球.从中随机地连续抽取3次,每次取一个球.求（1）又放回抽样时.取到黑球的个数X的分布列：（2）无放网地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求：（1）有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列；（2）无放向抽样时,取到黑球的个数丫的分布列.解（1）有放回抽样时.取到的黑球数X可取的取值为0.1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为,3次取球可以看成3次独立而复试验,则XP(X0)=G()")'=赣；P(X=D=Cj(y),<3)*=裳；P(×-2)-¢(y),(y)=备P(X=3)=C()"1)°=去；因此,X的分布列为XO1.23nM482I,125125125125(2)无放回抽样时.取到的黑球数y可微的取值为0,1,2,且有：Ctei7c!ciP(Y=O)=艺=台Hy=I)=-F1=7,.vGCJ1-5P(F三2)=-3j=TF因此'的分布列为f例1.（2016潦河模椒）察假期间，我市某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光花园''社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分.则称该人的幸福度为“幸福”.幸福度7308446677889997655求从这16人中随机选取3人,至少有2人为“幸福”的概率；以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求i的分布列及数学期望.错解（1）由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人；记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”为事件4由题意得ac：tc?4114070140（2）4的可能取值为0.1.2.3,则/（4=0）=C：C_4_1C；6560-140P（=D=729560-70,fcCICi26433W"3)=卑=*=1.C：656028所以4的分布列为iO123P11409703370I1.28f(4)-×0+-×1÷-×2÷-×3=-.1407070284错解分析其次问的选人问题是不放回抽样问题,依据定义先考虑超几何分布.但是题目中又明确给出：“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区（人数许多）任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区（人数许多）任选3人.所以可以近似看作是3次独立重复试验,应当依据二项分布去求解，而不能依据超几何分布去处理.【正解】（1）同上；（2）由至叶图JO仔这一人.3人率1度为"»»,««4的可皎原值为01.2.3B(3.-).4F唱哈,22YE）.用吟,所以的分布列为<O123P1642642727£"）-3X二：.44从以上解题过程中我们还发觉，错解中的期望值及正解中的期望值相等，好多学生都觉得不行思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面说明过的缘由，超几何分布及二项分布是有联系的，看它们的期望公式：（1）在含有*件次品的件产品中，任取件，其中恰有4件次品，随机变量彳服从超几何分布，超几何分布的期望计算公式为EY=也（可以根据组合数公N式以及期望的定义推导）；（2）随机变*服从二项分布.记作XBg。），EX=np；当超几何分布中的NT8时，丝p,可以把N超几何分布中的不放回抽样问题，近似看作是有放回抽样问题，再次说明NT8时，可以把超几何分布看作是二项分布.综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。例2根据我国相关法规规定，食品的含汞被不得超过1.OOppm,沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检件,抽出样本20个,测得含汞贵（单位：PPm）数据如F表所示：分组(0.0.25(0.25.0.50(0.50.10.750-75.(!,11.25(1.25,1.50643223（1）若从这20个产品中随机任取3个,求恰有一个含汞鼠超标的概率；（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体,若从这批数才很大的贝类海鲜产品中任选3个,记S表示抽到的产品含汞总超标的个数,求的分布列及数学期望ES解（1）记“从这20个产品中随机任取3个,恰有一个含汞量超标”为事件4则所求概率为（2）错解所有S的取值为O.,2.3,故f的分布列如下iOI23P丝丝11401140150H40IOH40=0×i+,×+2x150,_1140+3XIO_2_1140-T(2)正解依题意.这批贝类海鲜产品中含汞最超标的概率为51'P=7=T所有4的取值为0,1.2.3.p(三O)-c(±)（八）*.g,P(U1.)=G(f,ePU三2).Cj(-J),(f)'-.仆3)=()i(f)*=.故f的分布列如下27272_1.6<6464,Ef=OX+iX+2×-+3x-=“6464"64644(可直接应用一项分布期望公式=3×-1)用独立重复试验要求独立（互不影响）而且重复（前后概率都相同）假如是任取,是一把取出来，还是分多次取出来,前后两次会造成影响么？概率会相同么？仃没为依次？自我检测I案研五机构准备举行一次致字淅谭机研讨会，共送请50名一数收界参加，使用不同版本级材的级算人数如下表所示：版本人教AJK.人教B版苏技版牝界大成人疑2015510(1)从这.50名被并中Si机选出2名，求2人所使用版本网目的桎率：(2)若St机选出2名使用人如工的收邦发营，设使用人裁.A版的收弹人数为X,求随机变量X的分布列加数学期里.行：(D¼50名教拜中St机选出2名的方法数为Go=I225.逸出2人使用版本相同的350，方法数为d*+Ch+Ci+Cio=35O,故2人使用版本相同的梭隼为P=j÷7=(2/的所有可能总值为0,12P(X=O)=急=去RAr1.效-”X-2)-cj-119.x衲分率列为X012P3_H60U938U9.3.60.38136S£W=0xu+1.xnP+2xu9=n9=?答卷模板模板一离散星随机变量的期望和方差例1.(2016天津高考理16,13分)某小组共10人.利用假期参加义1.活动,已知参加义1.活动次数为1.2,3的人数分别为3,3.4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(I)设A为物件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求件A发生的概率：(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值.求随机变畸X的分布列和数学期里.思维分析R尸选H而2IS正义工序动公数£甚4,Mm；A.求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有姑；J果,即可求解概率.即P（八）.I(2)的机变VX的可能取值为0.I.2.分别求出!P(X三O).P(X=I).P(X-2)的例,由此能求出yX的分布列和EX.规范解答示例；(I)从U)人中选出2人的选法共=45种，'KttA：1加次敷的和为4,情况为:I人参加I次，M1人参加3次：2人都参加2次.共W：+。=15种,453.3分M件A发生的概率为g.4分(IDX的可健取值为0,1.2.Pi刍,4isC21$IIC2CiC4P(X-2>-=-.C1;15.10分X的分布列为:X012P47415474EX三O×-+1.×-*2×-1.151515分建设答题模板求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤:第一步：确定随机变量的全部可能取值.其次步：求每一个可能值对应的概率.第三步：列出离散型随机变量的分布列.第四步：利用公式求出均值和方差.第五步：反思回顾.查看关键点'易错点和答题规范.模板二离散型随机变量的决策问题例2.(2016新课标I理19.12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足内购买，则每个500元.现需淡策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在:年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X衣示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(!)求X的分布列：(I1.)若要求尸(Xj)0.5,确定n的最小值:(III)以购买易损零件所需费用的期第值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个？思维分析(DdJt1.taWX*>JteH16.17.18.19.20.21.22.分9M求出相应的由北IK求出X的分布列.(D)It1.X的分Ai列求出K*S18)。汽*S19).由此能定满足代X£网)20S中I.的*小ft(m)由X的分布外巴p(XSN).求出买9个所甫费用期EXi和买20个所需费用期坐EX：.比也EX1EX：.流用期中也小的那个.构建答题模板!"利用期型与方差进行决策的方法：第步：求幽敌型随机变幅的数学期里：此即解珊的!关键是正确求出X的分布列,计驾EV=XA+x1p2+P.J第二步：比较两种情况,通常首先比较数学期里,期5里反应/随机变M的平均程度。；第三步：根据鼓大收益厘则，作出的选择应该是数学!期望高的方案。；第四步：后期以相等时，计第各白的方差JDX=(X1-EY)1+(X,-£V):+-+(Xe-EAT)2/;方里反应了班机变敏的制定性.方能越小越梏定，选!择方差较小并。61-0VWtt,赁“语4di:X3>,X3*yNW0M)修乂口XoOZJX3*g*aMZU全潜的48T戈戈0W-p-<f0W1.00C<W4IXC>-y-(OWI-O(C)-×6Tx<OC-<'X3fKittWKMfUMitt46MU1.-XM*(1.*XW*-XM*(91.*,VU-(61S"V母(I)邸<m>¼.算SCg,g.¾If-V+*>f!"U1.-XMHtI-XMU1.-XM(91.-Xd-(6I>XM尊4wa”XW”9Ez制SAV,m<|)印(>Gt-TTTTTTTdCZROi«1S1.4191X毕三z矍)<&*d,导K黑*×¢-<R-X>d,-翟X智Xw署)MX>d号"，喘)XZ嘿x缪X>a号"r(矍)(¾r>-<I-X>d,智X翳X霍"-x>d,-r(矍)-<9I-X)dHzz«,M*f加HXetm”中<>tM18.(本小题滴分12分)为响陶国家“精准扶Sb产业扶贫”的成略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的/WHT进光伏发电项U，在该县山区居民中笳机抽取50户，统计其年用电量将刎以卜统计表，以样本的版率作为柢率.VV用电髭(度)(0.200(200,400(400,600(600,800(800,1000户数51510155(I)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年川电量不超过600度的户数为X,求X的数学期望：(2)已知该县某山区自然村有居K300户，若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，机祖所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电M以元/度进行收陶.经测算以每下总装机容量平均发电100O度，试估计该机祖每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？18.解I(1)记在该县山区居民中加机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件4.»由抽样可知，尸(4)=13分由已知可得从该县山区居民中RS机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数X,殿从二JR分布，即X3j1.故E(X)=10*g=66分(2)设该县山区居民户卬均用电量为E(Y),由抽样可行E(K)100x-+3OO×-+5OO×-+7OO×-+9OO-=500<ffi)10''5050505050分则该自然村年均用电的150000度.乂该村所装发电机组年JS计发电量为300000度,故该11母年所发电量除保证正常用电外还能利余电量的150000度，能为该村创母直接收益120000元12分(2(X第年高考理科二卷(18)(本大题满分12分)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得100oo元的赔偿金.假定在年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.己知保P公司在年度内至少支付赂偿金I(XXX)元的概率为1-0999田.(I)求一投保人在一年度内出险的概率P：(II)设保险公司开办该项险种业务除赔偿佥外的成本为50000元，为保证赫利的期史不小于0,求j位投保人应交纳的用低保费(单位：元).18.解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是，记投保的100OO人中出险的人数为¢,则4-8(10",P).(I)记A表示任务：保险公司为该险种至少支付100oo元赔偿金，则X发生当且仅当4=0，2分P（八）=-P（八）=1-1.=0)=1-(1-.又P（八）=I-0999”,故”=0.001.5分(II)该险种总收入为Io(XXH元.支出是赔偿金总额及成本的和.支出100004+50(X)0,盈利?;=IO(XX)W-(1()(XX)+5()(XX)>.盈利的期臬为助=IO(X)Oa-10000优一50000,9分由岁8(10'Jo-J)知，%=Io(XX)XI(尸，Ez;=IO4A-IO4f-5×104=IO4-IO4×10"1.5-5×IO4.7>0<t>IO4-IO4×IO-5×IO10Oa-IO-5-0=“215(元).故每位投保人应交纳的设低保费为15元.12分荚厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每T牛一等品都能通过检测，每一件二等品i过检测的概率为现有I(M牛产品，其中61牛是T品，4件是二等品.(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中T品的件数记为X,求X的数字期望；(3)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过测的慨率.解：(1)设随机选取T牛产品，能终通过检测的事件为A,事件A等于事件选取T品都i力领或者是选取二等品通过检洪T“64213.p(4)=+×=-»以IO1.O315(2)田题可知随机变量X鼠从超几何分布，-EX=3×-='也可计算，P(X=O)=UP(X=I)=S1.=3,105Go30CC10P(X=2)=尸(X=3)=319.EY=2.+1+1=1；1025(3)设随矶选取3件产品都不育迪过检测的承件为B,事件B等于事件随矶选取3件产品都是二等品目都不能通过检Sr所以P(B)=M3=看