二项式定理典型例题解析.docx

二项式定理概念篇【例I】求：项式的绽开式.分析：干脆利用二项式定理绽开.解：依据：项式定理得(-2，=C：/x，(-2协+C；/(-2Z4：m2/+C：(一2)'=a*-8<+240好一3加"+16bi.说明：运用二项式定理时要留意对号入座,本题易误把一28中的符号“一”忽视.分析一：干脆用二项式定理淀升式.蟀法一：(21.去)5=C5(2a)s+C2x)4(-t)+Cj(2t>,(-()2+Cj(2x)2(-W)j+C)(一看J4C1.白P=3b2电-里理-J.X*8x732.1分析：；对较繁杂的式子，先化简再用：项式定理绽开.5C；(4.vV+C“4AY-3)+C；(4)j(3P+C(4.v')2(-3p+C(4)(-3)4+C,(-3)s=:(1024/一384"+5760fT32M+1620.r'-243>32”=321*国-半+驾-与MXX48x732x'0说明：记准、记熟：项式3+的绽开式是解答好与二JS式定理有关向阳的前提条件.对较困难的二项式.有时先化简再绽开会更简便.【例3】在(X-75严的绽开式中,S的系数是.解法一：依据：项式定理可知V1的系数是C；«.解法二：(X-3严的绽开式的通项是7=C0x,",-3),.>IO-r=6.即c4,由通项公式可知含产项为第5项，UP7i.1=C0(-3)4=9C;0.x*的系数为9C1上面的斛法一与解法二明显不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含Y这一项系数，而不是求含Y的二项式系数.所以应是解法二正确.假如问题改为求含/的二项式系数，解法一就正确了，也即是C；。.说明：螯留意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.:项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【例4】已知二项式(34?严，3x(1)求其淀开式第四项的二项式系数：(2)求其扰开式第四项的系数：(3)求其第四项.分析：干脆用：项式定理艇开式.解：(36一三严的绽开式的通项是7H=C；°(36严,(一三so，1.，10).3x3x(I)捉开式的第4项的二项式系数为Co=1.20.旋开式的第4项的系数为Cf037(-I/=-77760.1.I1.(3)捉开式的第4项为一77760(&)p,即一77760、，G.说明：留意把(3«一金严写成3&+(?)?从而凑成二项式定理的形式.3x3x【例5】求二项式Cr2+在严的地开式中的常数项.分析：城开式中第E项为C)IOF(众)。要使得它是常数项必需使，、”的指数为零，依匏是W=I.x0解：设第Z1.项为常数项，则I20-rIS。.尸CfO(Xy-'(力)'=CJ0*2()r(r=0.I.10).令20;r=a知m8.FE5噎.笫9项为常数项，其值为史.256说明：项式的绽开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采纳令通项7>,1.中的变元的指数为零的方法求得常数项.例6(I)求(1+24绽开式中系数最大项：(2)求(I-Zx)T绽开式中系数最大项.分析：利用绽开式的通顶公式，可褥系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式,进而求出其呆人值.价：设第皿项系数必大，则有产2'2仁2'：Jr7!C；2，3C""，r!(7-r)!(r-1.)!(7-r+1.)!7!2-7!_2r-r!(7-r)!(r+1.)!(7-r-1.)!*化筒得又.0SrW7.:r=5.系数G大项为7=C?25=672?.(2)斛：艇开式中柒有8项，系数最大JS必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1.-2x)'括号内的两项中后两项系数的肯定值大于前项系数的泞定值,故系数加大值必在中间或偏右，故只偌比较A和7,两项系数的大小即可.C?二2=C;>i.所以系数C*(-2)64C；豉大项为笫五项，即7>560d说明：本例中("的解法是求系数最大项的一般解法.(2)的解法是通过对战开式多项分析，使解超过程犯到简化,比较简洁.【例7】(1+2)”的维开式中笫6项与第7项的系数相等，求绽开式中：顶式系数最大的项和系数呆大的项.分析：依据已知条件可求出”,再依据”的奇隅性确定二项式系数最大的项.解：K,=C"2",，T=Cn2r)3依题旗有C：2aC：26,解得,r=8.(1.+2r)*的绽开式中，二项式系数最大的项为A=C：(2v)4=1I20<设第E1.项系数最大，则有q2rcr1.2,1.Q2r2C"".5ErW6".1.5或Ek：.系数最大的项为“=1792?.T-=1792/.说明：求二攻式系数G大的项，依据：攻式系数的性即”为奇数时中间两项的：项式系数报大：”为偶数时，中间项的二项式系数最大.(2)求绽开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.褥依据各项系数的正、负改变状况，一般采纳列不等式，再解不等式的方法求得.应用篇【例8】nN'.(2+1)11=2anbAan>三Z).则区的侬)A.肯定是奇数B.肯定是偶数C,与"的奇偶性相反D,有相同的奇偶性分析一，形如二项式定理可以绽开后考查.解法一：由(立+1)"=&+8，知&4+3(1.+五)"=c11+c!,2*ci(2)1+ci(2>j+-+CZ(2)".=1.+C(2)2+Ci(2)4+-."为奇数.答案：A分析1：选齐册的答案是唯一的，因此可以用特别值法.解法二：mN*,MZn=IW,(2*1.)'=(2+1.),有加=1为奇数.取n=2时，(I+a=2i+5,有伤=5为奇数.答案；A【例9】若将(Ay+»I)绽开为多项式经过合并同类项后它的项数为()A.I1B.33C.55D.66分析：d*看作二项式&+)>+门院开.解：我的把x+y+二看成<x+",按二项式将其淀开.共有I1.-项二即(K)+二严=U)(X+冷+2严=23(+)产r1*-0这时，由于“和1中各项二的指数各不相同，因此再将各个二项式(m.Y)HrA雄开，不同的乘积C：(I(X+)严七伏=0,1,，10)淀开后，都不会出现同类项，下面,再分别考虑每一个乘积C：(I(AF严-P(D,1.，10).其中每一个乘积坡开后的项数由(+)严”确定.而且各项中X和丫的指数都不相同,也不会出现同类项.故原式绽开后的总项数为1I+I(H9+1=66.答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.【例10】求(IXI+-2)3绽开式中的常数项.分析：把原式变形为：顶式定理标准形态.解：.(g+%2洞一台汽绽开式的通项是=c;(7i/1z(-j1.r=(-1rcuE11r2r.若为常数项，W1.6-2r=0.r=3.；.绽开式的第4项为常数项，即7i=-C*=-20.说明：对某些不是二项式,但又可化为二项式的题目,可先化为二项式.再求解.【例11】求(4一五户绽开式中的有理项.分析：绽开式中的有理项.就是遹限公式中的指数为整数的项.IZ7-r解：.1.=c;")9<-x"r=(-rcjx-r.令包二CZ,即4+=GZ,且m0,I,2.9.66r=3或r=9.当片3时.卫二=4.,=(-),Cy=-84<6当=9时，&H=3,1.0=(-c?=-?.6(x一表户的绽开式中的有理项是第4项一84V,笫10项一/.说明；利用：项绽开式的通项“可求筵开式中某些特定项.【例12若(3.1.1)'=«忒'+“4+111.+f).求(1.)+G+m:(2)a+m+0m:如yc0(分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特别值”法，奥体解决.解：(I)令X=0.则<=-1.令X=1.则<n+6+I+5=2'=128.tt+<>+<j=129.(2)令x=-1,K1I7+<s+as+小+j+8+m+0o=(-4)'.由得:+wj+<jt=-1128-(-4)7=8256.22例”9得0>+W0w+rt=,128+(-4)7=-8128.22说明：(I)本解法依据问时恒等式特点来用“特别值”法，这是一种曳要的方法，它用于恒等式.(2)-般地，对于多项式gdp.v+qrFi+ai.v+ex?+aH+a1.d+asF+aN+siagCr)谷项的系数和为期I)，内。的奇数攻的系数和为1.g(1.>+«(-1).K(X)的偶数项的系数和为:«(1)(-1).【例13】证明下列各式(1)1+2C!,+4C+2",CJ,+2"CZ=3"(ChXC:尸+(C：F=C%：(3)C,+2C；+3C>+nC"=n2分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以探讨它的通项寻求规律.证明：在二项绽开式M+"=C：<?"+：十1.+Cun2÷-YW'*"/(中，令=1.b=2.得(1+2-=1+2C：+4C：+2*仁广+2"C：.即1.+2Cj,+4C;+-+r'C-'+2nC>3".(2)(1.+x)(1.+x)(1.+x)j",(1.+Ci.v+Cx2+-+C;xr+-+*)(1+C：*+：/+-+C,+Z)=(1+x)2.而CJn是(1+X户的绽开式中f的系数，由多项式的恒等定理，得cUci+c1.c：-,+-+c1.c：-'+c：c=c1.；C；=C：F,OW1,.(C)2+(C1)2+-hc)2=c:,.证法一：令5=C；,+2C：+3C：+,©：.令S=C：+2C：+(-I)Ci*mC"=wC;+(n-1.>C1.+2C+C1.,=nCHn-DCt+2C-+C'.由+得25=«C：+mC：+mC：+-+«C：=”（C：+C：+C：+C：+C"）=n（C+C：+C：+C：+-+C：；）=n2rt.S=2si,BPC!1.+2Ci+3Ci+-+C2",.证法：；视察通项：ACj=A.原式=nc3+"C1.+v3+"C3+叱：二；=爪C。+C1.Y>包3+CZZ)=n2n,.即C：+2C：+3C：+nC；=2",.说明：解法二中小：=MCs可作为性质记住.【例14求1.997'精确到0.001的近似值.分析：精确运用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=2-0.003.解：1.997s=(2-0.3)s=2i-C240.(X)3Y；2)M)32-C2¾).(X>35+加32-0.24+0.0007231,761.说明：利用二项式定理进行近似计算,关键是确定绽开式中的保留项，使其满意近似计算的精确度.【例15】求证:51.5,-1.能被7整除.分析，为了在筑开式中出现7的倍数,应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式.证明：51"-1=(4外2/一1.=C249Sy1.I49sn2+C$492的+仁；2”一1,易知除C；：2"-1.以外各项都能破7整除.又2,'-1.=(2j)n-1=(7+D-I=C.7,-tCJ77'6+-+C：；7+C；-1三7(C?77I64CJ77,s+CK).明显陡被7整除，所以5产一1能被7整除.说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值>的将除问即，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式,使其然开后的各项均含有除式.创新篇【例16己知(，a+的淀开式的最终三项系数之和为22,中间一项为20000.求X.分析；本题营似较繁，但只要按：攻式定理精确去达出来，不玳求解！解：由已知C：+Cr1.+："=22.即岛-42=0.又"N11=6.A为中间一项，t=c,W=2oooo,即(，“尸=1000.卢三io.两边取常用对数，有Ig1.X=I,1.gr=±1.,.=IO或.v='.说明：当题目中已知二项捉开式的某线项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式依据已知条件列出等式或不等式进行求解.【例17】i5tyU)=(1.+x)-+<1.+xr(m.neN),若其绽开式中关于X的一次J的系数和为II,何阳，为何伯时，含一项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：依据己知条件得到F的系数是关于X的二次表达式,然后利用二次函数性质探讨最小值何题.解：C!r+C.=n+m=11.C：+C.=-(wrm+r")=.22VreN.n=6或5加=5或6时.f项系数最小最小值为25.说明：本应是一道关于二次函数与组合的综合咫.【例18若口+12尸的捉开式的常数项为-20,求.分析：区中x#0,当x>0时，把三式（N1.-2）"转化为-J=产：当x<0时,V.V同理（x+1.-2）"=（-1f（4-产.然后写出通项，令含X的帘指数为零，进而解出X解：当x>0时,（武；一2片（五一t产，其通项为人=cH4产？一七问一1VC;n（4户令2一2厘，得n=r,淀开式的常数项为（一D'C；（I:产.同理可得,淀开式的常数项为（一1）91.当x<0时，(x+1.-2=(-1)"(7-1.K-Jx无论哪一种状况,常数项均为（一1）（；“.令（一I）'（?；“=20.以n=1.2.3.逐个代入.fr=3.说明：本题易忽视XVO的状况.【例19】利用：项式定理证明（2尸二3n+1.分析：二-不易从二项战开式中得到.可以考虑其倒数与1.证明；欲证（2）"IV二-成立，只偌证（之厂|妇成立.3+1.22而0尸=（1+/Y-«1.；+C3&2+y*；尸I=i+?+c3（产C吗门3.2说明：本鹿目的证明过程中将（3）"'转化为（1.+g）',然后利用：J¾式定理绽开式是解决本问卷的关键.【例20】求正2（1.+-）"<3（rteN,）.n分析：+!与二项式定理结构相像，用二项式定理淀开后分析.n证明：当g时，（+'r=2.n当n£2时，+!F=1.+C!,1+C：4+4：(1)"=1+1+C；-1.+C：(一)">2.nnnftnn又C雇上(F丁E)W1.knk!(n-1.)w=3-<3.n综上有2W(1+，rV3.说明：在此不等式的证明中,利用二项式定理将二项式绽开再采纳放缩法和*他有关学问，将不等式证明窕竟.【例21】求证：对于“GN'.(",<(I+一广1.f1./1+1分析：结构都是二项式的形式.因此探讨二项绽开式的通项是常用方法.证明：(+!)"绽开式的通项7>,=c:nnr!n)z(M-XM-2)-(n-r+1.)(|+-4绽开式的通项rf-1=c;.,I("-r+1.)由二项式提开式的通项可明显地看出7I<,H所以(1+1.)"V(1.+一八n+1.说明：本题的两个：顶式中的两项均为正攻，且有一项相同,证明时，依据SS设特点，采纳比较通项大小的方法完成本题证明.【例22】设“、AC是互不相等的正数.且“、氏C成等差数列,"N.求证：/+/>2".分析：题中虽未出现：顶式定理的形式，但可以依据“、仄C成等差数列创建条件运用二项式定珅.证明：设公差为4则=-d.Ed.2Zf=(b-dr+S+m-2"=tr-C1.f1.d+Cbf'2d1+f-1.)nrf,+1.bf,+Cif1.d+C2d1+-+<f,1=2(C；If-J2+Ciw4rf,)>0.说明；出。、b、c成等差，公差为乩可将a=b-d,cR+d,这就给利用二项式定理证明此问题创建了可能性.问题即变为S一4尸+(从/片>纷，然后用作差法改证仍一rf)"+(HdF-2b">0.【例23】求(1.+2r-3x71.的绽开式中X5项的系数.分析：先将1.+2r-3f分解因式.把三项式化为两个二项式的积,即(1+2X一婷)6=U+3)"(IF然后分别写出两个：顶式淀开式的通项，探讨乘积项A5的系数，问烟可得到解决.解：原式=(1.+3i(一)6,我中(1+3户绽开式之通项为TIH=C：3Y,(1.-x)6绽开式之通项为T=C't,-Y.原式=(+3)60一.铲绽开式的通项为ciCX-IryPT现要使人+后5，又.&G0,1.2.3,4,5.6|,r(0.I.2,3,4,5,6).IVFA=0.=1.=2.三3.=4f=5.必需(4或(,或彳，或C或(，或(八r=5r=4=3r=2r=1.r=0.故项系数为C1(-1)s+CJ,31CJ(-I)4+C13?C(-)x4C；3,C-1)4+C234C(-)+C3sC®(-1.)f1.=-168.说明：依据不同的结构特征收捷运用二项式定理是本题的关键.【例24(2004年全国必修+选修IK&-,F绽开式中的常数项为()XA.I5B.-5C.20D.-204N,W解析：77.1=(-irc；(x,x,=(-)rCr'r,当后2时，3一:尸0,=(-D2Cj=15.答案；A【例25(2004年江)(2计«户的绽开式中.r；的系数是()A.6B.I2C.24D.48,r解析：73=(一|)'C；(«1.(2rY=(f)2C：/I当z=2时.2+5=3.7户(一2凡；=24.答案：C【例26<20(M年福建理)若(1一2"户雄开式的第3项为288,则IimJ+±+-1.)IaCXX1的值是()A.2BIC.-D.-25解析：7；.I=(-1),C；(2,)r=(-1/C；2*'.当r=2时，T=(-)2C221.=288.'.r=-.22Iim(-+>=-=2."<'XX"I,3答案：A【例27（2（MM年福建文）已知（X一色F绽开式中常数项为1120,其中实数”是常数,则绽开式中各项系数的和是()A.2B.3*C1.或3'D.1或2*解析：7=(-1.),Cr(-)r=(-«rc；/-：r.当r=4时，7=(-(),Ci=112O.(r=±2.X.有南数y=-g也令X=1.JW>=或3«.X答案，C【例28(2004年天津)若(I-1.v)2f1.M=C>Mx+"2+eN产"(x£R)则(<1.÷w)+(d+<n)+加+，”)+÷(+u)=.(川数字作答)解析g在函数Hx)=(1.21:严”中./(0尸g=1.fi1)=+11+d2÷+g三11=1.,(0)+内)+(而+R>+(26)*(a*>0=2004<y÷<j÷d:+2u=2003Mdr*+m+Ojxm=2003AO)MI)二2004.答案；2004