二项式定理理提高110.docx

二项式定理【学习目标】1 .理解并窃取二项式定理.了解用计数原理证明二项式定理的方法.2 .会用二项式定埋解决与二项绽开式有关的简洁问题.【要点植理】要点一，二工式定理1.定义一般地,对于1.j&正整数，都有：(rt+b)a=Can+Caa-'b+-+C:an'rbr+-+CwincN'f,这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做S+b)"的二项战:开式.式中的CX1-'/做二项旋开式的通项，用T“I表示，即通项为旋开式的第r+1项：Tr.y=Crnaa,b,.其中的系数C：(r=0.1.2.n)叫做二项式系数，2,二项式(a*bf的就开式的特点I(D项数：共有n+1.项，比二项式的次数大1：(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为C：,地大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等干二项式的"指数n.字母H降鼻排列,次数H1.n到0：字母b升耳排列.次数从0到n,每一项中，a,b次数和均为n：3.两个常用的二项装开式：(a-b)n=C"-Can'b+.+(-1.)rC：a"E+.+(-IfC,X(ne*)(2)(1.+.t)"=1+O+C>j+CX+.+xaJf点二、二项筵开式的通项公式二项二开式的通项：T,i=Can'b,(r=0.1,2.-.n>公式特点：它去示二项艇开式的第r+1攻，该项的：顶式系数是C：；字母b的次数和纲合数的上标相同：EI与b的次数之和为n.要点诠拜，<1)二项式(a+br的二绽开式的第“1项C：/-7'和(WaF的二项战开式的第r41项C是有区分的,应用二项式定理时,其中的a和b是不能随意交换位置的.(2)通项是针对在(a+b这个标准形式下而言的，如(ab)t1.的二项绽开式的通攻是=(-i)'Cy一方(只需把一b看成b代入二项式定理).要点三，二项式鬣敷及其性质1 .杨舞三角和二项就开式的推导.在我国南宋，数学冢杨辉于1261年所善的详解九章算法如下表，可宜观地看出二项式系数.(“+)”绽开式中的二项式系数，当”依次取1,2,3,时,如下表所示:(a+b)'11(a+b)i121(+)j1331(tt+)414641(+b)s15101051(+b)6161520156I上表叫做二q式系数的表，也称杨蜂二角(在欧洲，这个去叫做帕斯仁三角)，反映了二项式系数的性质.表中每行两端都是1.而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和.用组合的思想方法理解伯地)。的绽开式中a”,b,的系数C：的意义：为了得到(a+br绽开式中的系数，可以考虑在(+b)(+m(+为这n个括号中取r个b,则这种取法种数为。，即为'的系数.2 (+切的健开式中各中的二项式系数、C；C：，C；具有如下性朋：时林性：二项淀开式中，与首末两端“等距国”的两项的二项式系数相等，即C：=C丁：增减性与最大依：二项式系数在前半部分渐渐增大，在后半部分渐渐减小.在中间取得最大值.其中,n当n为偶数时,二项绽开式中间一项的二项式系数C?最大：当n为奇数时，二攻绽开式中间两项的二项U-I»1式系数CT,相等，旦最大.各：项式系数之和为2",即C+C：+C：+C：+C：+C：=2"；：项绽开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即Y+C+U+=C+C+U+=2f察点诠狎：:项式系数与绽开式的系数的区分二项绽开式中,第E项C的二项式系数是组合数C：.绽开式的系数是单项式(?：“"'的系数,二者不肯定相等.如(a-b)"的二项绽开式的通项是I.=(-Dq""在这里对应项的二项式系数都是C；,但项的系数是(一I)'。，Uf以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念.3 .(a+b+c)n就开式中aeW的系数求法(p.q.r之。的整数且p+q+r=n>(a+b+c)a=(a+力+c"=C；(«+brcr=C：C1.ai如：(+%+c严绽开式中含0%s的系数为C；CC：=丁"一31×2!×5!要点诠科，三项或以上的绽开式向四.把某两项结合为一项，利用二项式定理解决，要点四：二项式定理的应用，求Ie开式中的指定的项或特定项(或其系数).2 .利用IK值法进行求有关系数和.二项式定理表示一个恒等式,对于随意的ab,该等式都成立.利用赋(ft法(即通过对a、b取不同的特别依)可解决与二项式系数彳f关的问咫，留意取但要有利于问SS的解决，可以取一个做或几个侑，也可以取几If1.值，解决何题时要避开漏JS等状况.设/()=(ax+b)n=ai,+1.v+,xz+.+anx"令xR,则%=/(0)=*(2)令X=1,则+1.+j+.+j,=/(1)=(«+b)n(3)令x=1.,JW-+2-+(-1.)11=/(-I)=(-a+b)n+qi=4+=Z23 .利用二项式定现证明整除付及余数的求法，如：求证：322-加一9能被64整除(“eV)4 .证明有关的不等式向j三有些不等式,可应刖二项式定理,结合放缩法证明,即把二项St开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再依据不等式的传递性进行证明.(1.+x)">1+w.v：(1.+x)">1.+"+""二"x：<X>0)2如：求证：2<(1+2)"n5 .进行近似计算：求数的次界的近似值时，把底数化为最旅近它的那个整数加一个小数(或诚一个小数楙J形式。当IXI充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+幻”=1+nxi(I+xyI+zu÷z,-hX2：2如：求1.05"的近似假，(史结果精确到OQh【典型例题】类型一、求二琬快开式的特定项或1定次的茶敷例1.的二项式的绽开式.【思路点拨】依据二项式的战开式或按通项依次写出每一项，但要曲意符号.【解析】解法一：上备FM年Jy凶卜用冏绮,北中珠洲卜品J+,H-Pc-J=白C(4y+G(4x3)Y-3)+G(4心3(-3)?+C(4)2(-W+C(4'X-3)*+C(-3)"=IO24-3840d+57601-432O.?+162Ox,-243)32x-5、，IKo135405243=32x5-1.20,r+【总结升华】记准、记熟二项式(a+b)n的淀开式，是解答好与;项式定期有关问题的前提条件，对较困难的二项式.有时先化筒再绽开会更简把.率一反三，【变式】求：2五-')的二项式的绽开式.【答案】先将原式化筒,再绽开.(2-)6=(1J=7-,r=Ci,(2.t)f,-C：(2x)5+C(2a)4-C(2x)'+CfJ(2,r)2-C：(2a)+C：1=(64.v6-I92+240x4-I60+60-I2x+I)例2.试求：(1)仪一之户的绽开式中R的系数;X(2)一1.)6的绽开式中的常数项：X【思路点拨】先依据已知条件求出二项式的指数n然后再求处开式中含X的项.因为速中条件和求解部分都涉及指定J问超.故选用通项公式.【解析】<1>Twi=C(x3)s-r(-)r=(-2)zC;x's-5r.V*依遨息15-5r=5解得r=2故(-2)2C；=40为所求2的系数(2)T,”=C；(2x2)6r(_1.)，=(-iy26,C;PIrA-依题意12-3r=0,解得r=4故(-1./2C：=60为所求的常数项.【总结升华】I.利用池项公式求给定项时避开出错的关健是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的r多少:2 .留意系数与：顶式系数的区分：3 .在求解过程中要用意后的运舞公式的精确应用举一反三，【变式1】求（2-'）9的炭开式中1的二项式系数及1的系数.X【答案】126-126：通-a=q（2广'（-%=（-»玛“j,XVI8-3r=3r=5.故绽开式中X'的.顶式系数为。：=盘=126,的系数为（T），.C；=T26.【变式2】求（依-的淀开式中的第4琬【答案】-455.J：=就（我产3（一9）3=（-D,G1.黄=-455）.【变式3】（1）求（：+%）的绽开式常数项：（2）求仁+云）”的绽开式的中间两孤1答案】V7:h=CqM*=U3”÷.（1）当9-1r=0,r=6时绽开式是常效项,即常数顶为7；=C>3'=2268:（2）U+-3°的艇开式共10解它的中间两项分别是第5项、第6项.3.vTi=C*1劣产"，乙=C,/噎吟=378.例3.求二项式（.P+嘉;的炭开式中的有理项.【思路点拨】绽开式中第r+1项为CMx2）'"f.淀开式中的有理攻，就是通项中X的指数为止整数的项.【解析】设二项式的通项为?；“=GOa症）=G（I令20jrwZ,UPr=0»24»6，8时,20二rwZ22M=CY©E，二项式卜+/的淀开式中的常数项是第9项：费：有理项是第1项：X叱第3项：y5.第5项：-X10.第7项：Xs,第9项：.832256【总结升华】求有理项是对X的指数是整数状况的探讨，要考虑到些指数或组合数的序号的要求.举一反三，【变式】葭如在（«+土）的绽开式中,前三项的系数成等差数列求旋开式中的有理项.【答案】（1键开式中前三项的系数分别为1,-,n,28由题意得:2X.+“（"二D得三:828设第r+1项为有理项.Trt1.=c；-X.则r是4的倍数,所以r=0.4.8.有理项为n=X"=在7；=熹美型二、二项式之积及三项式1«开同愚例4.求（I+xf（1-x）'的旋开式中Xj的系数.【思路点拨】将（1.+）'变形为1.+2x+T=.要使两个囚式的桑枳中出现依抠式子的结构可以分类探讨；当前个因式为1时，后面的应当为x当前一个因式为K时，后面的应当为丁；当前一个因式为丁时，后面的应当为X;也可以利用通项公式7'=C""-?'化简解答。【解析】解法一1(I+x)2(1.-x)j=(I+2a+x2)(I-x)5.(I-Xr的通项公式加I=C(-x尸=(-D*C)*(A=0.1,2.3.4.5).分三类探讨：(1)当前一个因式为1时.后面的应当为即q=(TPc；F=-1.()/：(2)当前一个因式为2.r时，后面的应当为即7；=(-1-。；/=10./；(3)当前一个因式为/时,后面的应当为X,即=(-1.)'CH=-5x：故绽开式中/的系数为-10+2x10-5=5.解法二:。十.1产的通项公式”:禺”(r=0.1.2).(I-X)5的通项公式7；“=C(-x)t=(-I)4Cxi,<A=0.1.2.3.4,5),令“f珠：啡：；啡：；,从而1的系数为-C；+C1.C；-C!?=5.举一反三，【变式1】求(1.+2)(1.-)S的绽开式中3的系数.【答案】-15：(I-X)S的通项公式C；(-*)t=(-1.)1.Cii(=O,I,2,3,4.5).分：类探讨；(1)当前一个因式为1时，后面的应当为丁，即T,=(一3Giy=-Io./；(2)当前一个因式为/时,后面的桢当为X,即4=(-1.)'CH=-5k：故绽开式中/的系数为-15.【变式2】在(1.+x)5(.)'的绽开式中，/的系数为.【答案】(1.+x)"X)S=(I+xK-F尸，其中(I-Xv绽开的通项为C：."八故战开式中V的系数为-C：=T.例5.求(1.+x+x»绽开式中XS的系数.【思路点拨】要把上式城开,必需先把三项中的某两项结合起来,看成一项.才可以用二项式定理燃开.然后再用次二项式定理,，也可以先把1项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理绽开.【解析】解法一：(+x+x2)MH+2)8»所以4M=G(X+/)'，则XS的系数*(+2)r来确定,T1.=CXiX"=W.令r+k=S.解得='比I=4或1=3。W=Ok=k=2含X5的系数为CC+C：C+CC=5U4解法二：(I+X+X2)8=(I+X)+X2I8=c(1.+x)s+¢(1+x)7X2+C；(1+.v)"C)j+C(1.+X)S-(X2)'+Cg(1.+X5)7+C*(/.则绽开式中含XS的系数为CC+C：C；+CC：=504,解法三：(1.+x+2)X=(1.+x+xf1.+x+2)(1.+x+2)(共8个),这8个因式中乘积绽开式中形成C的来源有三:(1)有2个括号各出1个X，其余6个括号恰有I个括号出1个X.这种方式共有Cy种：(2)有I个括号出I个(，其余7个括号中恰有3个括号各出1个X,共有C1-C：种;(3)没有1个括号出C.恰有5个括号各给出1个x,共有C种.所以XS的系数是c；c；+c；C+C=504.【总结升华】高考越中，常出现三项式绽开或两个二项式乘枳的绽开问区.所刖解法一般为二项式定理绽开，或将三项式转化为：顶式.举一反三，、3【变式1】.x+-2的绽开式中的常数项.因乖+宁)(舟引所求爱开式中的常数项是-C：=-20【变式2】在(1.+x+p2)i的畿开式中.试求使1的系数为最小值时p的值.【答案】由通项=CKx+px'Y=C,；(1.+px)r,又+py的通项为。;”3儿(“=GiC而m+r=4,且OWmWrW1.O,rn=O(rn=I_"1=2,或I,或r=41r=3r=2.x，的系数为C；C：+C1.C+C-0C;/r=45/r+360p+210=45(/r+8p)+210=45(p+4):-510.仅当p=-4时，W的系数为最小。类型三，有关二项式系敷的性朋及计年的恸例6.(1求(1.+2x)7绽开式中系数最大的J:<2)求(1.-2x)?绽开式中系数最大的项。【思路点拨】利用淀开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值.【解析】(1)设第C1.项系数最大则有cj2rcr,-r-',q2rq4,2,*1-r1.2>_1.1.i1.1.r!(7-r);(r-1.)!(7-r+i)!r-8-rUpO,7!7!1、2,-ZNIZ1r!(7-r)!(r+1.)!(7-r-1.)!U-r?+1163.W4-r5-.r三51333T系数最大的项为7；=T=C2'F=672F.(2)炭开式共有8项.系数最大的项必为正项,即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1.-2x)7括号内的两项中后项系数肯定位大于前项系数目定值.故系数最大的项必在中间或偏右，故只须要比较TS和Ti两项系数大小即可，7；系数C(-2)'C力7；系数一G,(-2F-(>4''所以系数最大的项是第五项，T、=C;(-2x)4=5604.rr,1.【总结升华】求绽开式中系数最大的项,-能是解一个不等式加，【变式】设gx+gv拢开式的第10项系数最大求n.【答案】地开式的通项为工“二其系数为C：.第10项系数最大.29CACT2'"解得nS14,又YnN2.".n=13或n=M【变式2】已知+的战开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列.求绽开式中二项式系数股大的项。>«”，7«1【答案】因为C+U=2.所以-+-="""4!(11-4)!6!(m-6)!5!(11-5)!1.!n,-21n+98=0,解得n=14或7当n14时,第8项的二项式系数最大.Q)'=3432?.当n=7时,笫4项与第5项的二项式系数最大,(=C；(g)(2;)-=y,.G,Q(2Oa=7,.类虱四、利用K值法进行求有关系敷和.例7.i21.(1.-2x)7=ao÷ax+a2x2*.÷a7x7.求:(1>a*a2÷.÷a7:(2)a1M3+a52九(3>刖小间间：(4)an÷a÷a2*.÷a7.【思路戊拨】求绽开式的各项系数之和常用献值法【解析】令x=1.,则au+ai+az+aj+as+as+wa产-I，令x三-1.则ao-a÷az-a3÷a-as*a6-a7=37®.(1因为aoC=1.(或令x=9ft)ao=1)所以aaa2M3+a产一2.(2>由(一)÷2得+q+q+6=-=-094一1+37(3>由(*)+2褥q1.+生+q+.=窃一=O93(4)方法一X因为(1.-2x)7疏开式中.ao3234.36大于零而己133.35.37小于零.ffiW.|an|*|ai|*|a2|*.*|a7|=(ao*a2*a4*a6)-(ai*a3*a5*a7)=1.O93-(1094)=2187.方法二:IaOI+a2+a小即(1+2、尸绽开式中各项的系数和，所以同|小“+四7|=37=2187。【总结升华】求绽开式的各项系数之和游用赋值法.“赋值法1是解决二项式系数常用的方法，依据即日要求,敏捷献给字母不同的值.一般地.要使绽开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得行数项，令x=1.可得全部项系数之和，令x=-1.可得偶次项系数之和与奇次数系数之和的差,而当二项旋升式中含负值时，令炉一1则可得各项系数衿定值之和。举一反三，【变式1】己知。-2x)'=q+x+*+7x7.求:(1)a1.+a2+-+a1：(2)a1.+a3+af+a1t(3)IaO1.+0|+0".【答案】1当X=I1.,(1.-2x)=(1.-2)=-1.,擦开式右边为0+1.+az+701.1.+«,+2+.+7=-1,当X=O时.f1.0=1.,+7=-1-1=-2.(2)令x=1.,<>+rt1.+2+7=-1.令X=-1，a0-«(+«,-«j+«4-s+6-7=3'I+3,一御：2(«)+,+s+7)=-1.-3,.01.+,+5+,=(3)由绽开式知：.。卜见,。?均为负，4).%"八4均为正，二由(2)中，得：2(4+4+“，+%)=-1+3。-1+37.a0+a2+aiJra(S=-,.*.0+1.+.+71=a0-a1.+a2-j+4-a5+a6-a7=(0+,+<74+6)-(1.+05+05+-)=31.【变式1】求值：2"-C'b2-'3+C-2n-2-32-.+(-1)HC：3n.【答案】2-C2,'-3+C;2u-2-32-.+(-irc；3"=(2-3)"=(-1.)w【变式2】设(1.+)+(1.+xf+(1.+x)'+(1+)u=«(1+1.v+a>x2+axn.当q1.+q+/+an=2541.1.1.求n的值.【答案】x=!W:¾+a1+a,+.+n=2+22+23+2=-=254.212=128,m=7,类型四、二项式定理的瀛合运用例8求证：32*j-8-9(ZJeN能被64整除.【思路点拨】可将A*'化成(3?尸=(8+I尸再进行绽开,化简即可证知【解析】Y(3?严=(8+1产=“8"'+C38"+C'；：8、C：“M+C：32nt2-Sn-9=(C,-8"-1+C,1.1.18n-2÷.+Cn)82+：.,8,+C7r,)-811-9三82(C*u.8-,+C1.i8"-2+.+CJ)故32-2-8j-9(“gN')能被64整除.【总结升华】利用：项式定理进行证明，须要多项式绽开后的各项尽M多的含有64=8'的式子.举一反三I【变式1】求证9"+1能被10整除【答案】V925=(IO-I)2'=C",-10is+GJIO-2(-1.)+.+C；J-1O(-I)-+(-O2j92+1=1(XC1i10n+d,IOn(-1.)+.+C<(-1.)n)-1.+1.=IOIC?,IO22+C1,IO2'-(-I)+.+C；(-t)-|故9”+1能被10整除。例9；当“wN且>1,求证2<(1+J)”<3n【解析】(i+-r=+Q-+c4+c4>1+Q-=2nnnIYCM-1)(一1)(一2)1M-1)(一2)321=Zd;1rHn)2!r3!，?！n3-<3从而2<+fy【总结升华】用二项式定理证明不等式时，依据n的最小值，确定爆开的最少项，然后分析详细状况确定其中有多少项即可.*-M三【变式】求证；(1.+x)"+(I-X)”<2",其中<1.,n2,nwN【答案】。+")"+(D"=2(1+Ci+Cx4+÷Cix+)(A=I,2,.x<1.,0<.*<,.(+x)+(-x)"<2(1+C>C>.+Cx+-)=2-2rt,=2*.例IO.求0.998"的近似值，使误差小于0.001.【思路点拨】因为0.998"=(1-0(X)2)f,所以可以用二项式定埋来计算.解析0.99泸=(1-0.002)6=1.+6×(-0.002)+15×(-0.002)?+(-0.002)6.=1.5(-.2r=0.00006<0.1.即第3项以后的项的泞定值都小于0.1.,从第3项起.以后的项可以忽视不计.即0.998-=(1-0.002)61+6×(-0.002)=0.988.【总结升华】Hi(1+x=i+Cx+C-2+C>-+.÷CX,当K的肯定侑与1相比很小且”足够大时，/,人，等项的肯定伯就会更小，因此在精确度允许的范阳之内可以忽视不计.因此可以运用近似计算公式(1+x)"=三1+"V.在运用这个公式时,要留意按问他对精确度的要求,来确定对投开式中各项的取舍.常一反三，【变式】0.991$精确到0.01的近似值是【答案】0.991.j=(1.-0.(X)9)5=C；-C；0.009+n0.96