二项式定理题型及解法.docx

二项式定理题型及解法1 .二项式定理：(«+by=cy+cyh+.+Ctna"-,h'+c(r'),2 .基本概念：二项式绽开式：右边的多项式叫做(+公"的二项绽开式.二项式系数:绽开式中各J的系数C：(r=0,1.,2.n).顶数：共(r+1.)项,是关于。与的齐次多项式通项：绽开式中的第r+1项C>"-'Z叫做二项式淀开式的通项,用Zu=C/"-少表示。3 .留意关键点：项数：绽开式中总共有(“+I)攻。依次:留意正确选择。，儿其依次不能更改。(+5)"与S+a)”是不冏的.指数：，的指数从"逐项诚到0,是降¥排列”的指数从0逐项增到，是升帘排列，各项的次数和等于儿系数：留您正确区分二项式系数与项的系数，：项式系数依次是GCC,c,C1;.项的系数是«与匕的系数(包括二式系数)，4 .常用的结论：令。=1力=x,(I+x)"=C+C>+C>2+,+>'+C>"("wN)令。=1.=-X,(I-=C'-C>+C-X2-.+Qx'+.+(-IfC：XYrteN")5 .性质:二项式系数的对称性：马首末两端“对用离”的两个：项式系数相等，即c：=c：,C=C尸二项式系数和：令=,=1.,则二项式系数的和为C+C+W+Q+q=2".变形式C"C：+C：+C：=2"-1.奇数项的二项式系数和=佚数项的二项式系数和：在二项式定埋中，令=1.,=-1.,则C-C+C-G：+÷(-1)C1','=(I-1)"=().从而得到：C+C；+Cf+=G"C+C：'”+=Jx2"=2"T奇数项的系数和与偶数项的系数和：(«+x)n=C"1.+CyTX+C-a11-2x2+.+CMd=a0+a,x,+a2x2+at,xn(X+«)"=C,yxu+CIoxm'+C-a2xn2+C>"x=*+a2x2+a1.x'+au令X=1,则q>+«,+1.+n=(+1)令X=1.P!,J0-a1.+c2-Q3+=(a-)a+得,4+4+4+4=(”丫；(伫)(奇数项的系数和)-得吗+4+a+q=曳(偶数项的系数和)二项式系数的最大项：假如二项式的除指数是偶数时,则中间一项的:；项式系数片取得最人值。AfT”I假如二项式的布指数是奇数时,则中间两项的二项式系数C7,c同时取得最大值.系数的最大求(+b)"战开式中最大的项一般采纳待定系数法.设艇开式中各项系数分别为A，4,，设第r+1.项系数最大，应有,从而解出r来.6,二项式定理的十一种考题的解法一.三三-.二项式嵬理的逆用】【例1】：C+C-6+C62+.+C76,=.解：(1.+6)"=C+6+C6>+C6'+C：6”与已知的有一些差距.C>C-6+C>6i÷+C-6"-,=1.(C>6+C<6j+C：-6")(c：+C：6+C：6+C；-6"-1.)=-K1.+6)n-1.=-(7"-r)666【练I】：C>3;+9C-+.+3,c;=.解：设S1.1.=C+3C：+9C：+.+3-TC：,则3S11=C：3+3?+审+C：3"=C：+¢3+3?+第3,+C：3"-1=(1+3)"-1(+3)"-I4rt-1.5.=“33【愚型二，利用通项公式求/的系数】【例2】：在：项式(行+乂了)”的艇开式中倒数第3项的系数为45,求含有x'的项的系数？解：由条件知CM=45,即C：=45,90=0,解汨=一9(舍去)或=10,由J.,2丝工1.o-r2“=GKX")(x')'=G%x"',由遨意一+fr=3,解得r=6,43则含有丁的项是第7项T=CzP=2IOF.系数为210.【练2】：求(V-1.)U绽开式中/的系数？2x解：Tr,1.=C(.v2,(-)r=令18-3r=9,则r=3Ix22I71故./的系数为C：(一I)S=tff三三利用通事公式求常数项】例3：求二项式(/+严的扰开式中的常数项？解：(“=GZ(XWj(；)'=Gb：)'J=，令20-1r=0,得r=8,所以7；=Ck;产=22.v222256【练3】：求二项式(2x-(/的旋开式中的常数项？解：T.=(2)6-,(-1)(一)r=(-1.)rC2r(-r.v6'2r-令6_2r=0,得r=3,所以Ix27；=(-1.)JC；=-20【练4】：若(V+')"的二项淀开式中第5项为常数项，则=.X解：4=U(F)Id)*=C"T2,令2-12=0,得=6.X【J皇四，利用通项公式，再探讨而确定有理数项】【例】：求：项式(J7-VQ9绽开式中的有理项？W:7；41.=Ci(3)9-,(-.v*)r=(-1.),Cx"7r.令eZ,(0r9)得=3"=9.6所以当r二3时.2士=4.7-1.)'C>4=-84.6当r=9时，ZZzi=3,7J0=(-1),Cx=-x【髭型五，奇蒙事的二项式系数和=MM1.的二项式系数和】【例5】：若(JF-Jq)"绽开式中偶数项系数和为一256.求”.解：设(、/7-十)"版开式中各项系数依次设为4.4q.-v2令x=T,则有%+*=0.，令X=I,则有为一+。2-6+(T)"4=2",珞(SH2)褥：2(«,+4+4+)=-2",at+1.+a5+=-2n有题通得.-2*,=-256=-2*.t=9.【练”若4语”的捉开式中，全都的奇数项的系数和为1024,求它的中间项，解：.C+C+C>+C'+=C：+C：+-+C：'"+=2"'，,2"T=Io24,解如“=11所以中间两个项分别为“=6."=7小=(出)()'=4627.T=462x"(a大系数，大项】【例6】：已知(1.+2x)",若绽开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求绽开式中二2项式系数最大项的系数是多少？好：.U+C=2G>."2-21."+98=0.*th=7K=1.4,当“=7时，绽开式中二项式系数般大的项是7；和4，7；的系数=C拈)2=亨,，确系数=C；(；)'2'=70.当=14时，淀开式中二项式系数最大的项是7；,.7；的系数=<2；4；)?2?=3432。1练6：在(+为”的绽开式中,二项式系数最大的项是多少？解：二项式的事指数是偶数2”,则中间一项的二项式系数最火,即工“=Tnii,也就是笫+1项，-1【练7】：在一京)"的绽开式中，只有第5项的：项式域大，则烷开式中的常数项是多少？解：只有笫5项的二项式最大，K'1.1.=5.即=8,所以锭开式中常数项为第七项等于以(；尸=7【例7】：写出在(a-Z的绽开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的事指数7是奇数,所以中间两项(第4.5项)的二项式系数相等,且同时取得最大值.从而有岂=VaE的系数最小，7；=Ua方系数般大。【例8】：若绽开式IW三项的二项式系数和等于79.求(g+2x)"的筵开式中系数最大的项？好：由+C：+C1;=79.解出“=12.假设顶最大，"(1+2x)'2=(1.+4x)'2，化简汨到9.44rK).4又.0MrM."=K),蛭开式mJG八不卬TAr,1.Af1.2cC-'4-'中系数地大的项为7；一有几=(1尸C4°j°=16896，°【练8】：在(1.+2x产的绽开式的系数最大的数是大少?解：线设“项最大G>2rx'2(1.1.-r)rr+1.2(IO-r)，化简得到63k7.3,又IAu-G'02'c32一解得AArt2c:02rC2,'-.OrIO.r=7,锭开式中系数最大的项为7；=C12'F=15360/.【题型七，含有三项变两项】【例91：求当(.r+3.t+2)5的绽开式中K的一次项的系数？解法：(xi+3x+2)i(x2+2)+3x5,T,1.=Cx2+2)9-,(3x)r,当且仅当=1时，心的烧开式中才有X的一次项.此时Tri=Ti=C；(.r+2)43,所以X部一次项为CC；243.t它的系数为C；C；2'3=240。解法：(V+3+2)，=(x+1.)5(x+2)5=(C；V+C*+C)(CfF+CH2+2?)故城开式中含X的项为CAc2'+Cx2"=240.t,故城开式中X的系数为24().【练9】：求式子(.r+J-2)'的常数项？IM解：(|闻+六-2)3=(#(木)6,设笫r+1项为常数叽贝I7；.=Q(-D,K,(=(-)hQxf1.r,-6-2r=0,r=3,二"+产(一aG=-20IxI*9A>两个二事式招集】(例IO1.求(1+2)'(1.展开式中小的系数.解：.(1+2Y的展开式的通项是C>(2)e=C72mxw.(I-X)4的展开式的通项是C；(T)"=C,-r八其中，=0,I,2,3,m=0,I,2,3,4,令m+=2,则加=0且=2,in=I且=IM=2且”=0,因此(I+2x)'(1.-x)4的展开式中式的系数等于以2°C(T)2+C2C(T),+Ci22y(T)°=-6.【练101求(1.+6)p+J严展开式中的常数项.VrIvtu4所3”解：(+1.*i(+J=产展开式的通项为C；户C,U7=C：品Fv其中加=0,1,2,6,=0,1,2,10,当且仅当4m=3”,即m=F或F=：或卜=£n=0,/J=4.1”=8.时得展开式中的常数项为屋3+C；C+葭C=4246.(1.1.1.已知(I+x+./)*+4"的展开式中没有常数项，M且2S"8,则，J=X解：“+3)"展开式的通项为C：x*'-"=£/,通项分别与前面的三项相乘可得工C：/".C：i"1.c:i'.展开式中不含常数项,28.,.n4r且4+J1n4/+2,即4,8且3,7且2t6.,.n=5.【愚我九，奇数项的系数和与偶数项的系数和】【例II】：在(x-)*m的二项展开式中,含前奇次耗的项之和为5,当=0js=.解：(-72)afe=<+1.+«,.r+a3xi+(DQX_6严飞-iix'+a22一%/+"6®-得如/+6丁+%+娱5)=(x-0严-(+0严二严展开式的奇次篝项之和为S(X)=；(*-严-(x+I严当X=6寸.S(B)=；(-产-(+严=-=-2w*U+X值法】【例12】：设二项式(M+')"的绽开式的各项系数的和为/1,全部二项式系数的和为S,若X+s=272,则等于多少？解：若(SV+1.)”=4+q+,/4-n.v11»行P=斯+4+1.1.S=C+C"=2',.X令X=I得p=4",又p+s=272,即4"+2*=272=>(2"+17乂2.-16)=0解得2”=16或2'=-17(含去)，."=412：若卜«-J=I的绽开式中各项系数之和为84,则绽开式的常数项为多少？好：令=1.,则卜的绽开式中各J系数之和为2"=64,所以=6,则绽开式的常数I女为C37),(-j=),=-54O.【例13】：?r(1-2.v)s'w=ai,+a1.x'+aixi+ayxi+%w产(XGR),贝哈+袋+方需的值为解：令*=；,可得/+B+条+翳=0等墨+,+翳=*在令X=O可得0=1.因而A岩+舞=7.【练13：若(X-2)5=5x5+aixi+a1.xi+a,x2+1.x1.+%,则a+a,+a,+a,+ai=.解：令*=0得<=-32,令*=1得4+a+%+«)+a4+«5=-1,.a1.+a2+a,+«4+«5=31.IM+-.鳖除性】14：证明：32E-M-95w)能被64整除证：32t2-8-9=9"“-8-9=(8+'-8m-9=C.8"÷C.芦+G芦+Ga+C：-8”-9=C-8""+C1.8"+-+C；-'82+8(m+1)+1-8j-9=C,1.8"'1+C：“8”+C：；82由于各项均能被64整除.30'"-8"-9(wN')能被64整除以上是：项式定理应用的十一种典型典型，可概括为三个方面的应用：项式的艇开式及祖合先项原理的应用：通项公式的应用(求指定项如第：项、倒数其次项、含有一项、常数项、有埋项、无理项等.还可求系数最大的项)：微值法的应用.另外,在题型上还可以与数列、函数等学问相结合。练习：1.已知m+m"跋开式中各项的二项式系数之和为81%.则(+尸的绽开式中项数共有()A.I4B.I3C.I2D.I52X0e+加1.("m9爆开按a的降后排列后其次项不大于第三项.则a的取值范恸是()3 .在(2/-才)的绽开式中含常数项，则自然数的酸小值是()A.2B.3CAD.54 .设(Vi+x)">=<1.+w+d+0z'Q,则(Q)+d"+。|0)2.(“1+“十.+如F的值是()A.1.B.1.C.0D,(、回-I)If1.5 .设(1.+>+(1.+.M+x)3+(1.+.0o="r+(32+当m+s+"2+4,=254时，”等于().A.5B.6C.7D.86 .在(I-X产T绽开式中系数最大的项是()A.第2项B.第2/1项C第In项和第2n+1.项D.第2+2项7 .(1.+xp+(1.+4+U+x)9+(1.+严淀开式中小项的系数是()8.0+2鼾<)+4：()+-+2至；：的值为()A.3X210B.3,°C.(29-1.)D.(310-1.)9 .今项式-2+a域开式中,X最高次项为，/的系数为10 .(x+2)S(=-1.)的绽开式中/°的系数为.(用数字作答I1.在(N+3x+2)S的绽开式中X的系数为()A.160B.240C.36OD.MJO12求(I+k+2)Fx>'绽开式中小的系数.13.己知(g-JV)9的绽开式中一的系数为2,常数”的值为_.14'(1.x1.+2J绽开式中的常数项是()A.12B.-12C.20D.-2015 .(兴-亲)绽开式中有理项的个数是()A.1.B.2C3D.416 .(2x+yz>6绽开式中F/二的系数是()A.480B.1.60C.-480D.-16017 .已知/(X)=(,+X)"'+0+2*"(加"三NI的螳开式中X的系数为11.求绽开式中一项系数的最小值：当一项系数取最小值时，求/(X)捉开式中X的奇次后项的系数之和,