二项式定理理基础110.docx

二项式定理【学习目标】1 .理解并窃取二项式定理.了解用计数原理证明二项式定理的方法.2 .会用二项式定埋解决与二项绽开式有关的简洁问题.【要点植理】要点一，二工式定理1.定义一般地,对于1.j&正整数，都有：(rt+b)a=Can+Caa-'b+-+C:an'rbr+-+CwincN'f,这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做S+b)"的二项城开式.式中的CaZb'整二项绽开式的通项，用上“表示，即通项为旋开式的第r+1.项：7；M=Crnaa,br.其中的系数C：(r=0.1.2.n)叫做二项式系数，2,二项式(a*bf的就开式的特点I(D项数：共有n+1.项，比二项式的次数大1：(2)二项式系数：第r+1.项的二项式系数为C：,地大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等干二项式的"指数n.字母H降鼻排列,次数H1.n到0：字母b升耳排列.次数从0到n,每一项中，a,b次数和均为n：3.两个常用的二项装开式：(a-b)n=C"-Can'b+.+(-1.)rC：a"E+.+(-IfC,X(ne*)(1.+x=1+C.r+C/+C：x'+.+/鬟点二、二项筵开式的通项公式二项二开式的通项：T,i=Can'b,(r=02,.11)公式特点：它去示二项艇开式的第r+1.攻，该项的：顶式系数是C：；字母b的次数和纲合数的上标相同：EI与b的次数之和为n.要点诠拜，二项式(a+br的二项绽开式的第r+1.项C>"''和(b+aF的二项矩开式的第r+1.项C；D'是有区分的,应用二项式定理时,其中的a和b是不能的意交换位置的.(2)通项是计对在(a+br这个标准形武下而言的.如(a-b的二项统开武的通项是7；“=(-1.)'CQj勿(只需把一b合成b代入二项式定理>.要点三，二项式不数及其性质1 .杨舞三角和二项就开式的推导.在我国南宋.数学冢杨辉于1261年所善的详解九章算法如下表，可宜观地看出二项式系数.(«+b)a绽开式中的二项式系数，当n依次取1,2,3,-Bt,如下去所示:(+b)'11(+,)2121(+Z,)jI331(+)414641(+Z>)s1510IO51(+b)f,I61520156I上表叫做二q式系数的表，也称杨蜂二角(在欧洲，这个去叫做帕斯仁三角)，反映了二项式系数的性质.表中每行两端都是1.而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和.用组合的思想方法理解伯地)。的绽开式中a”,b,的系数C：的意义：为了得到(a+b)c绽开式中的系数，可以考虑在(+b)(+m(+为这n个括号中取r个b,则这种取法种数为。，即为的系数.2 (+切的健开式中各中的二项式系数、C；C：，C；具有如下性朋：时林性：二项淀开式中，与首末两端“等距国”的两项的二项式系数相等，即C：=C丁：增减性与最大依：二项式系数在前半部分渐渐增大，在后半部分渐渐减小.在中间取得最大值.其中,n当n为偶数时,二项绽开式中间一项的二项式系数C?最大：当n为奇数时，二攻绽开式中间两项的二项U-I»1式系数CT,相等，旦最大.各：项式系数之和为2",即C+C：+C：+C：+C：+C：=2"；：项绽开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即Y+C+U+=C+C+U+=2f察点诠狎：:项式系数与绽开式的系数的区分：二项绽开式中,第E项C的二项式系数是组合数C：.绽开式的系数是单项式(?：“"'的系数,二者不肯定相等.如匕一劝"的二攻绽开式的通攻是7；.1=(-1)'。：，7，'，在这里对应项的二项式系数都是C；,但项的系数是(一1)'，,可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念.3 .(a+b+c)"就开式中apb'tc'的系数求法(p.q,r()的瞰且p+q+r=n)(a+b+c)a=(a+力+c"=C；(«+brcr=C：C1.ai如：(+%+c严绽开式中含0%s的系数为C；CC：=丁"一31×2!×5!要点诠科，三项或以上的绽开式向四.把某两项结合为一项，利用二项式定理解决，要点四：二审式定理的应用，求Ie开式中的指定的项或特定项(或其系数).2 .利用IK值法进行求有关系数和.二项式定理表示一个恒等式,对于的意的a.b.该等式都成立.利用赋值法(即通过对a、b取不同的特别依)可解决与二项式系数有关的问咫.留意取值要有利于问题的解决，可以取一个做或几个值，也可以取几组值，斛决同题时要避开漏夜等状况。设/()=ax+b)n=%+a1.x+a2.v+anxn令xR,则%=/(O)=/(2)令x=1.,则<+,+j+.+,=/(1)=(a+b)u令X=-1.则OU-,+2-<+(T),1,=/(-1)=(-+)n(4)1.1.+,+4+=(5)a1.+%+5+/")23 .利用二项式定现证明整除归局及余数的求法，如：求证：322-加一9能被64整除(“eV)4 .证明有关的不等式向j三有些不等式,可应刖二项式定理,结合放缩法证明,即把二项St开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再依据不等式的传递性进行证明.(I+)">1+/J.V:(1.+x)">1.+11x+""二"x<X>0)2如：求证：2<(1+2)"n【典型例题】类里一、求二中健开式的特定项成辑定项的系效例1.米(I+-)4的二项式的捉开式.思路点拨】依据：项式的绽开式或按通项依次写出饵,顶，但要留意符号.【解析】解一：(i+1)4=i+c1(一)+c1+(-!-),+(一)4=i+-+4+4+XXXXXXX'XX解：；(i+)'=)'(x+i)，=(T)If+c>+CF+c1.+XX2X3X【总结升华】记准、记热:项式(a+b)”的绕开式,是解答好与:项式定理存关问题的前提条件,对较困难的二项式.有时先化简再旋开会更简推.*-fi三.【变式】求二项式(2工一上的绽开式.【答案】<1>解法一:砥说卜今)+c"2川-前yW卜/)÷c2(-)+G'(2a)52180135405=32X-120.r+r+-XX4824332x1.°解法二:2a-(4-332xw=|C(4)5+(4)4(-3)+C114),(-3)1+C(4)i(-3)j+<(4)(-3)4+Cf(-3)5=A(I0249S-3840产+576().v9-43206+1620*'-243)32XK一、八、18。135405243=32r-120.v+r+?X,8/32x'a例2.(1)求(1+2x)7的绽开式的第四项的系数：(2)求(工一1)”的绽开式中F的系数及二顶式系轨【思路点拨】先依据已知条件求出二项式的指数n.然后再求绽开式中含X的原.因为趣中条件和求解部分都涉及指定项问咫,故选用通项公式.【解析】（1）（1+2N）的绽开式的第四项是7；“=（7；（24=280/，.（1+2m的绽开式的第四项的系数是280.（2）.-1.）9的绽开式的通项是刀“=c；x9-,（_3，=（-iyc；.-2.XX9-2=3,=39./的系数（一aC=-S4.x,的二项式系数=84.【总结升华】1.利用通项公式求给定项时避开出错的关城是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的r是多少:2 .留意系数与二J式系数的区分：3 .在求解过程中要留迪哥的运算公式的精确应用。*-fi三.【变式1】求（2。+Z的虢开式的第3项的二项式系数和系数:t答案】10,80：C；=10T.=C;(2a)-b2=S(kt'b22变式2求年一二户的艇升式中好的系数：X2【答案】TrH=Ca)j-,(-)z=(-2),C(,3-5rX'依遨意15Sr=5.解得r=2故（-2）2C；=40为所求总的系数例3.(1)(2xj-二)6的绽开式中的常数项:求标的绽开式中的有理项.【思路点拨】常数项就是项的格指数为。的项，有理项.就是通项中X的指数为正整数的顶，可以依据：项式定理的通项公式求。【解析】(1)Tr,i=C：(2x2)6,-1产26，。；”-"X依题Jg1.2-3r=.解得r=4故(-1)、22C：=60为所求的常数项.通项如=(-)'匕；(式产r(e)'=30-5,(-1.)rC1,jX67；“为有理项,二竺UWz.6即r是6的倍数，又因为04r415,所以r=Q,6,12故绽开式中的有埋项为7；=(-1.)"C-xs=s,T.=5005,几=420xs.【总结升华】使二项绽开式的某一项为常数项，就是使这一项不含'变元"，一般采纳令变元的指数为零的方法解答这类问题。求行理项是对X的指数是整数状况的探讨，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求.举一反三：【变式】求：项式(十步)的绽开式中的常数项及育理项.设二项式的通项为=GKF)Ha令20-gr=0.得r=8.45256令20-2rwZ,即r=0.2.4.6.8时,20-rZ.刀=0105S=x32，二项式的St开式中的常数项是第9项：有理项是第1项：产.第3项：-Xt,2564砧E°5KIyrtr105，幺在45第S项：一X10.第7项：一第9项：832256西S二、二项式之枳及三项式件开问题例4.求(1+x)F-x)'的绽开式中x'的系数.【思路点拨】将(1.+x变形为1.+2.r+V,要使两个因式的乘积中出现一，依据式子的结构可以分类探讨：当前一个因式为1时,后面的应当为一：当前一个因式为X时.后面的应当为/：当前一个困式为/时，后面的应当为X：也可以利用通项公式rr“=c1.，r化筒斛答.【解析】解法一r(1.+x)2(1.-x)s=(1+2a+X2)(i-x)s.(I-X)S的通项公式=C；(-)'(左=O,1.,2,3,4,5),分三类探讨：(1)当前一个因式为1时，后面的应当为一,即7；=(-IpCfxS=-IOY：(2)当前一个因式为2x时，后面的应当为X。即7；=(-1尸¢/=0/：(3)当前一个因式为一时，后面的应当为-即4=(-C；M=-5k：故绽开式中X'的系数为-10+2x105=5解法二；(1+X)2的通项公式TrCr(r=0,1.2),(1.-x),的通项公式7；M=(-x)t=(-1.)*,(.k=0.1.23.4.5).令一=3,则广;或匕2或归,r=2r=1.r=0从而x,的系数为-C；+C1.C/-C=5。【总结升华】当多个不同的：项式相加或相乘时，可以依据题意IS行恰当的分类或分步计算，也可以干脆利用通项公式化商后求解.举一反三，【变式】求(x+2严(XJ-1)的捉开式中XK1的系数；【答案】：(x+2),0=x,0+2Ox9+18Ox*+(x+2严(K-I)的绽开式中XI。的系数是-1+180=179例6.求(X2+3.r4尸的境:开式中X的系拓【思路点拨】要把上式爱开.必需先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理院开，然后可用一次二项式定理,，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，可用二项式定理绽开【解析】<)(x2+3a-4)4=(x1+3-)-44=C(X2+3x)4-C(x2+3x)34+C；(.r+3a)2-42-C(x2+3x)45+C;44,明显，上式中只有第四项中含X的项，.绽开式中含X的项的系数是-c；34=-768(法二)：(x2+3x-4),=(X-IXx+4)=(x-1)4(x+4)4=(C>4-C>,+Cjx2-C>+C；)(C>4+C>'-4+C>242+C>4,+C4j).淀升式中含X的项的系数是一C：4'+C：4'=-768.【总结升华】有线题中,常出现二项式雄开或两个二项式乘伏的捉开问题，所用解法一般为二项式定理淀开.或将三项式转化为二项式.举一反三I【变式1】(4+b+c)*的域开式中含Z项的系数是：【答案】C；CC=560【变式2】在(X43x+2)5的绽开式中.求X的系松【答窠】V(x2+3x+2)s=(x+1.)s(x+2)s.在(x+1),锭开式中，常数项为I,含X的项为C；=5x,在(2+x)5绽开式中，常数项为2132,含X的项为C；2"x=80x.歌开式中含X的项为1(KOx)+5x(32)=24()x.此绽开式中X的系数为240.类型三、有关二审式来数的性质及计算的向愚例6.已知(/+(1)求淀升式中二项式系数最大的项：(2)求爱开式中系数最大的项.【思路点拨】利用绽开式的通攻，得到系数的表达式,进而求出其最大值.【解析】(D冗开式的通项:Tr,1.=C1'1,(),°-,(4=),=C1,112r"=C,；2'A-i1.'.(r=0.1.2.10)v故绽开式中二项式系数最大的项为：6=CmjT(2)设第+1项的系数最大.IO-rr+11922解得yr丝.r=7.335故所求雄开式中系数最大的项为：7；=Ci(a2),(-)7=15360”【总结升华】求战开式中系数最大的项.一般是解一个不等式组【变式】求+2x)'埃开式中系数最大的项.【答案】.原式不是s+m"的标准：项式，二不肯定是中间顶系数最大。久“系数也系数系数(n系数(C*,21C-,2-'a,J.解得C2*Ch2*+,.k是"倒整数，k=826-323_k3：.第8项系数最大，即7；=C(2r)1.t=12672OXB.类型四、利用值法进行求有关系数和.例7.若(1-2x)2m=ao+aix+a2x2+.+a2ocMX""(xeR),则(+a)+(+¾)+(<+U1)+(4+(I1im)=.(用敷字作答)【思跖点拨】求绽开式的备攻系数之和常用收俏法【解析】令/(x)=(-2"w,则/(0)=%=1.,/(1.)=4+4+%nft,=1.,即(+,)+(6+«,)+(«,+a,)+.+(6b+«axM)=2003“”+(4)+w1.+«,+«,+<w)=2004.【总结升华】瞅依法是解决:项淀开式的系数和的有效方法，通过对：项绽开式中的字母或代数式给予允许值,以达到解题目的.举一反三，【变式I】若(1+)+./)(1-*):'=4>+a/+/+a7x'.则(+4+%=,【答案】0：令x=1.得答案0.【变式2】已知C+2C+22C：+2$C：+2"C=729,则C+C,+C+C：等于(A.63B.64C.31D.32(答案】逆用二项式定理得：C；+2C,1.1+2ic,;+2'C：+2"C：=(1+2)h=3=729,所以11=6.所以C+C+C+c;=2ft-C=64-1.=63.故选A.英型四、二项式定理的薛合运用例8.求证：对任何非负整数n.3jn-26n-1.可被676胫除.【思路点拨】留意到26J676,3却=2尸=(26+1产，用：项捉开式去证明.【解析】当m0时,原式0.可被676整除.当n=1.时，原式=0.也可被676整除.当n2时,隙式=27"-26-1=(26+1)"-26-1=(26n+C26''+窘"26?+C；126+D-2611-1=26"+C26"+C；2262.每一项棉自26?这个因数.故可被26J676整除综上所述，对一切非负招tn,33n-26n-1.可被676整除.【总结升华】此类整除问电(或氽数问题)可以用二项式定理证明,证明的关键在于将被除式进行枪当的变形使其能写成二项式的形式,绽开后的每一项中都会有除式这个因式,就可证得整除或求出余数.举一反三，【变式】9依除以100的余数是.【答案】81；V9w三(10-1.)92三1Om+Cj21Om'(-1)'+CS102(-1.),0+C10(-1.)9,+(-1.)*2=Ior1.o"+Cg1.O栉(一1)+C*(-1.)'x,)+CIO(-1.f1.+(-I)*2=10:|10W+C；:10(-1)'+C*(-1.)w-920+1故9"除以100的余数是81例9.求证；3">(n+2)2'"1<nN,f1.n>2).【思路点拨】利用二项式定理3"=<2+1.F提开证明.【解析】因为nCN+,J1.n>2,所以3。=(2+1/绽开至少有四J.(2+1)a=2*+C,1.,2*'+-+C;'-2+2"+/f"i+2+1>2*+i-2",=(j+2)2*1.所以3c>(n+2)2n,.【总结升华】用二项式定理证明不等式时，依据n的最小依，确定绽开的最少项.然后分析详细状况确定其中有多少项即可.举一反三，【变式】利用二项式定理证明f<(11eN.,且nN3).【答案】欲证(I)<磊成立，只需证(T)>等成立。所以原不等式成立.