5.4数系的扩充与复数的引入答案.docx

5.4数系的扩充与复数的引入R丽屋垣)1.¾(>实3。*分别利等U*i)±(c*),(±r)*U±<i(a,6,c.dWR)复数的概念复数的运算-I黍点(。4)(厂/)aa3r&/)i(.b,c.dWR)i(c*<O)察方虚数伶位i乘方的M1.明性GreN)fraa(<H6i)(c-<)miacM.bead"：.II.'I?d<，课标要求精细考点素养达成1 .通过方程的解,认识父数;斑圻复数的代数表示及其几何意义,理解两个红数相等的含义2 .掌报更数代数表示式的四则运算，r解史效加瞰运算的几何意义3 .通过复数的几何意义,了解里数的三角表示，了解攵数的代数表示与三角表示之间的关系，解如数乘除运舞的三角表示及其几何意义U数的概念划过对如数喊念的理解,培界学生数学抽象的核心索养值数的代数运算通过他散的几何意义,培养学生江观想象的核心素隹复数的几何意义通过里散的代数运好,珞养学生数学运版的核心索养复数的几何意义TmiM儿何Je晨I_If打四边影住则；Mftr/a<0N鬲涮对应的MRT三影在画：(比,Fez二笈所对皮的黛B：I-r,-¾1.r1.fjtaW.>Jf1.1.线段的*“警分找HI=J=iF|MiM复致的性质r-Pk¾三2a(2>rrr)r-g-i*Is1rj三k1.1.a1.wfo*°,Ik-k*夯实I.(概念冰折)关于复数Z,卜列叙述正确的有().若zi1,则zi;任何两个发数盘不能比较大小;实数没有共短乂数;发数32i的实部跄3,虚都是2.A.1个B.2个C3个1).4个答案A解析对于,因为zi=1.,所以Z看=i,故正礴；对于,当两个复数为实数时,这两个复数可以比较大小.故不正确；对于,实数的共转发数是它本免故不正确；对于,Stt32i的实部是3.虚都是2.故不正确.所以正确的命题个数为1.2.(对接教材)计算号=().aHicHi1.,Hi答案B3.(对接教材)在复平面内.个正方形的3个顶点对应的攵数分别是1.+2i.2+i.0,则第-I个顶点对应的复数为().A.1.+2iB.1.+3iC.3iD.÷3i答案B解析女敷1.+2i,2+i,0所对应的点分别是A(1,2),B(2,D,O(O,O),由睡点可知SUOB,正方形以OA.OB为邻边.设另一点为D(x1.)1),MOA=(1,2),BD=(x+2,yD1OA=BD1所以群工“得C'所Wz=1.+3i.4 .(易错自纠)已知发数z=(2sin1.)÷i(i为虚数单位).则“z为纯虚数”是“。彳”的().A,充分不必耍条件B.必要不充分条件C.充耍条件DRt不充分也不必耍条件答案B解析当*t.z=(2sin'1.)+i=i,所以Z为纯虚数；若Z为纯虚效，则2sin。10,所以Sina/所以*2kn或+2kx,kZ,所以“z为纯虚数”是“。耳”的必要不充分条件.D5 .(立题演练)(2023新课标1卷)1.1.HIz啜i，则zz=<).A.iB.iCO0.1答案A解析因为7舞滔5所以W,岳i考点能):模型点画)亚数的相念典例1(1)(2024江苏扬州期初帙川)已知复数Z=12i.HIJ卜列说法正碉的是().A.双数Z的实都是1,.也部是2B.安数Z的根为向C.ttftzz=5iD.更数Z是方程x'2x+5=0的一个根(2乂多选(2023湖南长郡中学调研)设z“z：是复It则卜.列命遨中为良命JS是().A.若iz1.Z:=0,MOzi=Z2B.若z,=z2,W1.z=z.C.若iZ,I=IZ/，则Z,Zt=Z.ZzD.若！zj=zj.WIZj=Zj答案(DB1.)(2)ABC解析(1)因为如效Z12i,所以交数Z的实部葩1,座部是2,AM误；IZ1.=JI2+(2)2=5.b正确:2z=(12i)(1.+2i)=1.+4=5,C错误；因为U2i)'212i>+5=Mi42*4i+5=0.即复数Z是方程2x+5=0的一个根.D正确.对于A1若Iz1z11.=O,MJzizi=O.即Zi=Za所以3=¾为真;对于B,若4=石，则4和瓦互为共辄复数,所以而=2；为我；对于C.设z1=a,+b,i.z,.=a÷bi,a,.;.b,.b：GR.若!z,=Iz.1!JJaj+bj=Ja+bj.zZ=aJ-bj,z¾=a-*b.ffi以，禹=Z豆2为直；对于D.若z,=1.,z：=i.I!Jz,=：z.为真.而zj=1.zj=1.所以W=Zj为假一解决U数概念问鹿的方法及注盘事项(D复数的分类及对应点的位置何遨都可以转化为发数的实部与球部应该满足的条件问题,只需把乂轨化为代数形式.列H1.实能和虚制满足的方程(不等式)扭口"J(2)解电时一定要先潦立数是否为a+biS,bGR)的形式,以确定实部和虚部.训缄1(1)(多选)下列四个命题中正确的是().A若x.yGC.则“x+yi=1.+i”的充要条件是"x=y=1."B. (a'+1.)i(a6R)是纯龙数C.若中考=0,则Z1=Z1=OD.当a=4时,复数Ig(nn7>+(nj÷5n46)i是纯虚数(2)(多选(2023江苏赣榆中学月考下列命腌中，Xt命期有().A.若复数z.M1JZ向CRB.若复数z,Z4潴足IZI1.=I&I,则z,=z：或Z1=Z2C.J7ftZ1=Z2.HiJIz1I=Iz2ID.若SZ数Z11z：满足Z,*Z.R.则ZIGR且z.eR答案(DBD(2)AC解析取x=i,y=i,则x+yi=1.+i,但不涌足x=y=1.,故A播设；VHeR,a'+1.X)恒成立.所以(a'+1.)i是纯虚数.故B正确;取z1=i,z1=1.,则工名=0,但z1=zj=0不成立,故C错误；当A1.时，SttIg(n：2m7)+G»：45E6)i=42i是纯虚数.故D正碉.(2)对于A1设z1=a+bi,1=c-Mi,a,b,c,deR,所以泊=Cdi,由于熨数zi=2,则a=c.b=d,所以zj=abi,则a,Zr=(a+bi)(abi)=a1.÷b1R,故A正确:对于B,若7产4或纤总则满足Z,=反2I,反过来不一定成立，故B错误；对于C,设z1.=*birz*三c*di.a,b,c,dR,友数ZZ2,则a=c,b=d,则IZJZ，故C正确;考点对于D.设=a+bi,z.=c+di,a,b,c,<R,数z,z2满足Zi+z：eR,故b+<1.=0,所以Z1.eRHz：eR不一定成立，故D那误.史数的几何意义典例2(D(2024福隹第一次侦量检测)已知复数Z满足(1.+i)z2i=3,则z对应的点位于().A.第一-软限B.第二&阻C.弟三象限D.第四象限(2023.江苏通州中学侦检)己知现数Z满足z+iI=izii.9Az+1+2iI的最小值为().A.1B.2C3D.5答案(I)AB解析(D因为U+i)z2i=3,则z-雷工窗霭啜i.Mi.因此,2对应的点位于第一象限.(2)设复数z在受平面内对应的点为Z,因为史数Z满足IZTIIzi,所以也复数的几何意义可知,点Z到点(0.D和0,D的跑离相等,所以在复平面内点Z的轨迹为X轴.乂1.z+1.+2iI表示点Z到点(1,2)的地掰，所以间意较化为X轴上的动点Z到定点(1.2)跟嘉的最小值,所以IZr2iI的呆小值为2.由于发数、点、向*之间也立了一一对应的关系.因此可把发致、向她叮解析几何联系在一起.解题时可运用数形结合的方法,使间通的睇决更加式观.训练21)已知向员次I对陶的发数是54i,向量¾对陶的复数是5+4i.则成应2对陶的发数是().A.10*8iB.108iC. OD.10÷8i(2)己知更数Z涵足z+iI+2iI=2,那么Iz31的取值范曲为答案(DC(2)3,10解析因为向OZ1对应的复数是54i,向盘应2对应的乂数是57i,所以函=(5,4).诟4),所以Z1+OT2=(5,4)+(5,4)=(0.0),所以应,蝎对应的复数是所设z=x+yi区yGR),由Iz+iI+ziI=2可用Ix+y+DiI+1x+(yDiI=2.HP2+(y+1.)2×2+(y1.)2=2,表示点(,y)到点(O.I).S.D的即鬻之和为2.乂点(0,1),(0,D之间的踉掰为2,所以z+i+zi=2-Z对应的点的轨迹是以9,1),(O,D为墙点的战段.z3i=(x-3)2+y2衣示Z对应的点与点(3,0)的即离，如图，当Z对应的点为(0.0)时.：z3取得最小的.最小值为3,当Z对应的点为(O,1.)f1.t(O,1.)Bt,I«3取得最大值,最大值为I5.故Iz31的取值范围为3,I.者占攵数的代数运口典例3已知复数z,=(ia)-.z.=43i,Ja是实数.若Z,=iZ”求实数H的依；(2)若2是纯虚数，是正实数，求普'(詈)一(詈丫.1)'""解析(1)因为2=(ia)',Z=43i,z=iz4所以(ia”/I2i37i,从而卜："=：解得a=2,所以以数a的假为2.(-2a4.(2)依题急得4-g)2-g)2(4÷3i)Z24一纪(43)(4+3i)4M8ai+4iZ+3i63i'+3i':16-(-9)25'因为含足纯虚数,所以配:盘°,从2或吟又因为a是正实效,所以a=.当中，ZF储耳，所以詈鲁1.因为i,=i,i2=1.,i3=i,i'=1.,i',',=i.i,'s=1.i*,5=i,i*1.(n三N),所陪(新初(t),°°3H+斗'+'+"i)'g=(i1.+i+1.>+(i>,÷(i)+(i>>i),+(i),w,+(i),0i4(i),*,=O+O+-+(i1.+i)所陪给+册()1.¾复数的乘法:女数的乘法运算类似于多项式的乘法运济复数的除法:除法的关罐是分子和分母同桑以分母的共知U敢.训练3已知复数z3嗤出4(i是虚数电位).(D求复数Z的模Iz:若z>az+b=1.+i(a.bR).求a÷b的(ft.解析Z(川)；：TT)Ii,所以IZ1.(2)因为ZjaZ*b：1i,所以1i/3(1i)*b：1i,所以a+bD(a*3)iQ所以Ma1.密?:能力丽)拓展实系数一元二次方程在发数维C中解的情况：设一元二次方程ax,+bx+c=0(a,b»ceRI1.a0).(1>当A=bMac>0时,方程有两个不相等的实数根.X-"严;当aGhc0时，方程有两个相等的实数根,X(3当A=bFac<0时,方程有两个不相等的虚笈根.="±'，严i注意：实系数一元二次方程ax'+bx+cR(aK0)在J1.数集中忸仃解；(2)若实系数一元二次方程ax'+bx+c=(1.(a(1.)在U数柒中有虚根，则优根成对出现(互为共貌忠敢)；(3)根与系数的关系依然适用,即不论A的正例,恒有x1÷x.x.x：4：CO对于任意二次三项式都有ax=*bx*ca(xx,)(xxjQ0),其中x1,x;是方程axbx+c0的两个攵数根：(5)两个虚散共触的充要条件是两个虚散的和、积都是实数；(6)现系数元二次方程根与系数的关系依然适用,但不能根据判别式判断解的情况,且虚根通常也不是成对出现(非共牝),通常利用数相等的方法来求解.典例已知方程x'+x+p=O(pCR)的两个根是X“X”若IxJ+X=3,求P的(ft.解析当PM.方程*x*p-0的两个根跄实数根，则x+M=1.,又x+M=3,则两个实数根为弁号根.WfXX3,x,x：P,则J(XI+X2)2YXIX23,(-1.)-4p=3,Wft)>=2,经检魄符合题意；当p>J1.方程Xx+p=O的两个根是虚数根，令x,=±b三i.X1=±三!.WJIx1I=IxJ,Xx1I+xjI3,所以x,则(T):(零Y=J解得P经检险符合题意.综上,P的值为孑2.求解女数集上的方程的方法(D设z=x+yi(x,yCR),化归为实数方程来解决(化日思想).(2)把z看成个未知数(而不是实那和虚就两个未知数),用亚数的性培变形求解(整体思想).(3)对二次方程.直接用一元二次方程的求根公式(求解公立法).训班若1.÷2i是关于X的实系数方程Xbx+c=O的一个级数根，则c=答案3解析因为实系数一元二次方程x1÷bx+c=0的一个强根为1.+2i,所以其共宽复数1.i也是方程的根.由根与系数的关系知,伊慧=也(1.+v1.2i)(1.2i)=c,所嗽:丁一、用选施1.若复数(a+i)(Si)=ZaGR,则a=().A.2B.IC.ID.2答案解析因为(a+i)(1.ai)=aa'i+i+a=2a+（三）i=2,所以产=C解得a=1.(1-az=0.2.在红平面内，(1.+3i)(3D对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答窠A解析因为(1.3i)(3i)3+8i3E=6+8i,所以该发数在总平面内对应的点为(6,8),位于第一象限.1(2021江苏海安期初侦量校测)设Z普,则Z的共融切数为().A.3iB,3*iC.13iD.1.+3i答案A4. (2023江苏淮安中学质检)下列命翅正附的是().若复数Z满足R,则zR;若更数Z满足yR,HJZ是纯点数;若发数z1,Z满足IZJ=IZ4则若发数,ZI满足Z/产ZfHz,Q,则Z1=zA.A.<g)B,<g)C.D,X)答案B解析对于.令z=i.满足Z2=ICK而ZgR,故不正的;对于,令更数$n,aR,则z3i,所以z是纯虚也故正制；对于,令z=2+i,¾t=2i,满足IZII=IZJ=5,显然zaJ1.z1z,故不正确;对于,令发数=c+di,c,deR,cMiO,tiz的=z，得乐沪,；：；¥：髓:尸人：吃,小心,则i1=c2+d2=a,1故正确.二.多选题5. (2023山东德州一中质检)设i为虚数单位，Sftz=(n+i)(1.+2i),则下列命题正确的是().A.若Z为纯虚数,则实效a的fi为2B.若z在复平面内对应的点在笫：软限,则实数a的取色范用是(4,2)C.实数a=是ZW(G为z的共矩系数)的充要条件D.若z+z=x+5MXCR),则实数a的值为2答案ACD解析az=(a+i)<H2i)=(a2)+(2a÷1.)i.对于A,当a=2时,2为纯址数,故A正确;对于B,由z在更平面内对应的点在第三象凤可得n得a<,故B不正隔；对于J共匏笈数京=(a2)(2a÷1.)i,若X=Z1需满足2a+1.=2a1.,可得a=反之也成立，故C正确：对于D,由z+z=x+5i,8p2a+1.=5,可得a=2,故D正确.6. (2024江苏陶通期初项量检测)任何个更数z=a+bi供中a,bR都可以表示成:z=r(cos。+isin。)的形式.法国数学家株其弗发现:=r(cos0+isin6),=r'(cosn"+isinn«)(nN*),我们称这个结论为糠其弗定理.根据以上信息，卜列说法正施的是().A.zs=IzI2B.当r=1.,0T时，z'=1.C.当E,嗯时,号学D.当r1,。*且n为偶数时，发数z'为纯虚数答案AC解析对于A,养(a+bi)'=aM+2abi,故iz：(a2-b2)z+(2ab)i(a2+ab又因为IZj=(a2+b2)2at*bit所以z：二IZR选项A正确；对于B.当r=1.0音时.由棣奥弗定理得.z'=(cosI+isinj)=cos11+isin11=1,所以选项B幡误；对于C,当r=1.,03时.由棣真弗定理得,z=cosisini,所以丹久所以选项C正确：对于D.当r=1.,»q时.由板莫弗定理得.z'=(cos+isinj)=cos+isiny.当n=4HI,z'-cos11>isi11X1,此时不为纯虚数，所以当n为偶数时，H数/不一定为纯虚数,所以选项Dtf1.i.三、填空图7. (2023广东梅州检测写出一个同时满足下列条件的女数:z=.z=5;更数Z在延平面内对应的点在第四象限.答案Z=Mi答窠不唯一)解析不妨令Z=Mi,WJIz=3j+(-4)2=5,史数Z在亚平面内对应的点(3,力位于第四象限,满足条件,故2=34i符合JS意(答案不唯1).8. 如果发数Z满足z+i+zi=2,那么z+4+2i的酸大的足.答案5解析设z=x+yi.x.yR.WJx2+1.)2÷x2+(y-1.)2=2.变形为J2+(y+1.)2=2jZ+&-1)2,两边平方后得1y=z+(y-1.)2.两边平方后得X=O.将X=O代入J2+(y+1)2+J2+(y-1.)2=2.y+1.*y1.A1.y1.,W1.zM+2i=J(x+4)2+(y+2)2=16+(y+2)2,当yIHhIZ*4+2i="Ty11萨取得最大值,J1.t大值为5.注:也可用几何法.四、解答鹿9. Bfttt21.=1.i.z2=4÷6i,it<.(2)若复数Z=KbMbWR)满足z，z,为实数,求Iz1.解析(D因为复数z,=1.i,z)=4+6i,所MieI-IT-(1.i)(4Yi).ISiZz4+6i(4+6M46)Z626(2)因为攵数z=1.+bi(bGR).z,=1.i.所以z,=2+(b1.)i(bGR).因为Z乜为实数,所以b=1.,所以z=1.+i,HJz=2.10. 已知复数ZFaH,ZtMai(a三R,i是虚数单位).(D若Zz在女平面内对应的点落在第一象限,求实效a的取值慈用；(2)若Z1是实系数一元二次方程x,2x+2=0的根,求实数a的值.解析(D因为Z应=a1.+(1.+a)i,所以z©在更平面对应的点的坐标为(a1.,1怕)，又因为z,z,在复平面对应的由落在第一象限,所以n密得a>1.1十a7u.(2因为z,=a+i是方程xx*2=0的根.所以ET)：2(ai)+20,即(a%”)(2a2)i=0.所以仔,空1=*酰a=1.(2a2=0,H.欧拉公式e'=CosxTsinx由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数值数的定义城扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变的数论里面占有非.常JR要的地位,被誉为数学中的天桥”.依据欧拉公式，卜列选项不正确的是().A."数1对应的点位于第二象限B.e1.为纯虚数C.里数磊的模长等于:D.e2的共轨史数片争答案D解析对于A,=cos2+isin2.因为表2<n,所以cos2<0.sin2X),发数对应的点位于第二型艰.A正确；对于B,e强C喈÷isi旨i,e?为纯虚数,B正确；对于C,扁|需由正确；对于D.CKCOS9isi啥孕i.其共扰复数为与%D不正确.12.(多选)意大利数学家卡尔达诺发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步舞:第一步,把方程x%aS+a,x3中的X用X与求普换，得到方程x'*pxq=O:第二步，利用公式y'+z'3xyz=(x+y+z)(x+y÷z)(+3z)将x÷px÷q因式分解；第三步,求得y,Z的一组(ft.得到方程x,+px+q=O的三个根:yz.3y<z,3：y3z(其中3二竽.i为虚数地位):第四步,写出方程xa;x>Dx*a1,O的根:x§yz,X1y,x,号3、3z.某同学利用上述方法解方程8x'12x'42x+55=0,得到y的一个值为1.÷i,则下列说法正磁的是().A.a.=1B.yz=2Cx+V5D.xi=1.3答案ABC解析8x,12x=42x+55=O.HPX受t陪0.依题意可知小是2次项系St所以ai=,选项正解第一步,把方程xx÷f=O中的X用X上替换.得G+游G+源G+鸿6第二步.对比xx+4=0与x1÷>,÷z13xyz=0.V3+33=4-(VZn2可得3yz=-6,所以用-j'TB选项正麻所以X号，八3话：竽(1.+i)+(节&)(1川*值(:选项正砾X>,=yZ=I()O4i)U*i)=IV,3.D选项错误.