6多元微分学的基本概念、计算与应用.docx

多元微分学的基本概念、计算与应用一、考试内容<-)多元函数做分学计算法则2,记忆多元复合函数的求导法：方向导数存在Z=/(M(.r),I1(X)J则全导数/=F2+线S11RZ'（八）=itx)fa+vx)f1.axOu(1.xOVdxz=Im(x),v(,>')则，=“'(x)£+VJz,=VJvz=/M-v,y),v(.v,y)J,Vz,=uJ1.1.+vJy.z,=u,f+vyf1.z“=%(EJ+v")+6Z,+%£=x(w+v>+v>+vX)+wm+vxtf1.J7e,=+2“JJ+vf,+VJ:Zv=+2wvv+vj+11w+Vfvj-M1MvZw+(勺。+匕4)n+''J'v+UJW+1.½A=j3、的函数的求旧法(两端求踪法与公式法：公式法I：F(,v,y)=0,若G(),则存在.y=y(x),且y'(.t)=-FjFy公式法2：F(.*)，,Z)=O,若6#0.则存在Z=Z(X,y)nZ1.FJF：,Zy=-FJR若尸(x.y,z)=0确定X=x(y.z),y=y(x,z),z=z(x,y),则Xyy.zx=-1.4.记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法：若笠元函数高阶混合偏导致连续，则其结果与求球次序无关5、记忆多元函数的求微法：若Z=Z(x.y),足Iim=0,Kdz=Z处+z"，且有z=也H(Av)i+(y)1若“=MX>z)昭t,Mdu=udx+uydy+u.dz若Z=.11m(.v.v),v(x.v)可微，则A=zudu+z,dv=z,d+ydyFdx+Fdv+EdZ=O'.J,Cni1.WyXA-),z(x)G1.dx+Gdy+G.dz=QI6、记忆方向仔数与梯度的计算公式：z=(r,y)frP*,)，)处的梯度为grad/。,，)=£i+/J=(，,)二=f(x,)，)在P(x,丫)处沿方向1的方向导数为%=gradf(x,y)4.O1.ei=(oosa,cos=(cossin),a,0为i的方向角,。为X轴到/的转角?是graQ.(工),)在/上的投影，在P(x,y)处沿悌度方向的乡达到以大俏Ign1.d/(x.y)CrC1.u=f(Xy.Z)在P(X.FZ)处沿方向/的方向杼数为B=gradfx.y.z)e1.=(，/J)(COSa.cos。.cosy),其沿悌度方向的*达到最大值Igrad/(x,z)(二)多元函数的极值与值问题I、横值的必要条件和极值的充分条件必要条件设函数z=/(-.y)在点(%.%)具有俅导数,且在点(凡.%)处有极值，则有/,<.y1>)=o.)=o.充分条件设函数Z=f(x,y)在点(.,九)的某个邻城内连续旦彳阶及二阶连续偏导数又Z1.(X。，汽)=()，J：(X°，)=°，令/=,U(1y.)=8./,(%,%)=C则2=/(My)在点“。.踊)处是否取褥极值的条件如下：(1) AC-B'>。时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值：(2) AC-3?40时没有极值：(3)八C-8'=()时可能有极值也可能没有极值还需另外讨论.2、多元函数的极大值、极小值.求r=/(Hy)的极值的-般步骤为：第一步解方程组7；(工、')=0.八(工')=0.求出人工，¥)的所有驻点：第二步求出函数/(MF)的.阶修导效，依次确定各驻点处4、B、C的值，井根据AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.域后求出函数/(x,>)在极值点处的极1.3、极值解条件极值途径是将条件极值问遨转化为无条件极例HSS.有三个方格T，降元法;二是开元法-拉格朗H乘数法：三是几何法在所给条件(x,%z)=0F求目标话敷“=.>.z)的极值.引进拉格朗日的数/.(*,.%,)=f(x,y,z)+(.r,y,z)它将布约束条件的极值向时化为普通的无条件的极值何区.(2)若所给的限制条件有两个(.v,y,Z)=0和(x,MZ)=O求目标函数“=f(x,y,z)的极伯.引进拉格朗日的数1.(x.y.)=f(x.y.z)+(x.y,z)+仆V(X.y.z)=0注；用几何法时需记忆一些公式，如点到平面的距离公式4、点到I1.线的距曲公式也(I)M0(.%,20)到平面41+8丫+。+。=()的距小公式4=|A%+8.%+%+qA2+2+C2(2)点M1.1.(x0,%,)到ftf三、=匕2=三五的距离公式d,=M&xS."np*PR1.(.v1.y1.z1.),S=(n.t.p)着叫器XXxM取肛-Mg1.的一点,S=(.1.,C1)×(A.B,.C,)4、多元函数的最大值与量小值(闭区域上的连蝮函数一定取得量大值和量小值)求南效f(x.y的用大值和呆小值的一般步骤为：第一步求函数/(xy)在。内所有驻点处的函数假：第二步求/(x,y)在。的边界上的最大值和以小位：第三步将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大伯，最小者即为最小伯.注：在证明不等式4JJf(x.y)d3的何题时,需将在。上的最伯问避与积分估值定理联合考虑.二、典型例题(x:+V)Sin1、设/C2)=O.,x2÷0尸+»问/(HF)在点(0,0)处:X2+y2=0(1)假导数是否存在？(2)偏导数是否连续？(3)是否可做？解：(1)f(0,0)=Iim=IirnXSin4=0,同理工(0,0)=0：OXXrO2xsin;?：7c°s-»7，工2+V20工(x,y)=JX-+r.V+r.V+0.x2+yi=04(内)=2n7-cos72+>'20X'+=0由于IiTf,(x,y)=%/*疝1(T-Icos3.可知该极限不存在J-<一同理可证IimCay)不存在.故/；(Hy)及s,(x,y)在(0.0)处不连续:，-4IimAZTt(O3+。)川=Iim7x2+y2sin-3-1.-j=0,则其于(0,0)处可微.二7？+7'7+3'例2、设“=e-'sin士则m(Z-)=m(2.-)=4|«,y1111(ix例3、设2=冲,£)+仪上),/具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导致,求2“.yX解：Z*=M+；6g','1z“=工，+)何；_今后+=访VA2+Wi-*g"-gJ'例4、设y-Z1.ny+/：=1,根据隐函数存在定理，在P(OJ1.)的一个邻域内该方程能确定的具有连续倜导数的隐函数为x=x(y,z),.v=>(Y.z).解：令F(My.z)=.xy-z1ny+e"-1.WF1(P)0.R(P)K0.E(P)=O.例6、求由xyz+yjx'+y2+z'-f2所确定的函数Z=z(.v.y)在点(1.0.-1)处的止.解：对方程两边求全微分可得W+心力+mfc十?m华"三=()x2+y2+z2将X=1.F=0,=-1代入上式de-(1.x-y2dy.例6、设函数F(MV)可做.Faz,z)巧=0确定了Z=Z(X,y),其中。、胡为常数,且满足a/7#0,0!Jxz,+ayz,=az.提示：运用两求导法与公式法赫!中，要注意鞋式法则，本题也可用全微分法.例7、已知f(u)具有二阶导数，且,(0)=1,y=y(x)由y-xey'i=I所确定,设z=f(1.nyinx),求z'(x)rR.z"(x)*o0.解：在y-xe"=1中，令X=O得O)=I,将其两边对X求导得了'一j'-.田，'=0,再对X求导得y-ey-'y,-ey'-xe,-'y'i-xe,-'y,=O将X=O,v=1代入上面两式得/(0)=I,y*(0)=2.z'(x)=(y,y-cwx)/'(Iny-sinx).z（八）=(y7y-cosx)2/"(Iny-sin.v)+(y-2)y2+sin.v(1.ny-sinx)将No)=I.y'(0)=1.,p(0)=2./'(O)=I代入上面两式得2(v)"=O,z"(X)IyI=1.例8、设y=(,r),而,是由方程Fa,yJ)=O所确定的其)，的函数,若尸J都具有一阶连续儡导数，试求)/*)-W：方程的两边求微分汨例9、若(a+ay)dx+ydy(+y)2力=/小+f1.dt尸"r+"+五=0'解/田)一+"；=du(x,y),JUr?=2.m(x,y)=n(A+y)+x(x+y)+C.提示：令，=(.V+ay)(x+y)2.Q=y(x+,v)',由6=Q,舄得=2,ti1.uv=y(x+y)?.知“=Jy<1.yx+>,)'=11(v+>)+(+>)+C(X).于是“,=(x+2y)/(.r+»+C1.r)=(X+2y)(x+y)2.C(X)=0,得C(X)=U注t”可由*徽分法求解,du(x.y)=<(.v+y)2+2,ydr-2.vy(2(.v+y):)=1.n(x+.y)+(x+y)dx-x<1.(x+y)/(.r+y)*=41.n(x+y)+x(x+y)+C.例10、设/()在(0,+)内二阶可导，Z=(7+,v2)满足ZM+zv,=1/H+/).r,/()=0.1f(1)=1.求/()的函数解析式.提示：Ztr=，(“)”+),2/C,同理z“=/(«)/,r+(w)代入遨设方程如x"3)+,(m)=m.叫“W=(1.n",(M)=1.1.n2M+1.nM.例11、“=Sinx+«)8)，-2在点(0,；7/2,-1)处沿下列哪个方向的方向导数最大(C)4(0.-1.-I)J(O.-1J)C(1,-1.-1)D(1,-1,1)解：gradu(0,2.-1)=(m,/,/.)1.,=(I.-1,-1),故选(C例12、求“=1.n(+y2+z2)在A(1.0,1)处沿A指向B(3,-2,2)方向的方向导致.提示：7=gradu(1.0.1)e,=,C1.2例13、设*+y2+z，=3确定了陂函数Z=(x.y),求其在点(IJ)处方向H数的烛人值M.ft?：SUy)=(IJ)IM.z=1.,设尸(x,yz)=x+i+z3-3,则E=1.R=2x.£=3z',有Zr(IJ)=-1/3,zv(1.,1.)=-2/3,故M=；(1.,1.)+z；(1.,1.)=周3.例14、心函散/(Xjz)="x>2+"yz+cV在点(1.,2,-1)处沿Z轴正方向的方向导数取得最大值32.则(a,b.G=(3.12.-4).提示：grad/(1.2.-1)=(4a+3c.4a-b.2b-2c)(0.0.1.).grad/(1,Z-1)=32.例16、已知函数f(.r,v)在点(0,0)的某个领域内连续，目hm=WI（八）a+>)A点90)不是/(.V.y)的极值点.H点(0.0)f(x,y)的极大低点.C点(0,0)是/(.V,y)的极小伯点D无法判断点(0,0)是否为/(x,y)的极伯点.解:由f(x,y)在点(0,0)的连续性及Iim=，知/(0.0)=0.Ma+"f1.A答=1.+a.M'1.'in«=0a+y)二则/(x,y)=.ry+(x2+y2)2+a(x2+,y2)2令y=x,得/(,a)=2+4a4+4ar'=+rX.v)令y=-t,得/(x.-)=-X2+4x4+4&r"=-X2+o(.v2)从而/Ey)在3。)点的邻域内始终可正可负，又/(OQ)=O,由极值定义选（八）.例16、z(x,y)=eYaV+-/)满足条件=20时,X-1,O)为我极大值.提示，由必要条件知.h=2t.再由充分条件如>0,经5金证=0也可以.例17、求由方程/+y2+z2-2a+2.v-4z-10=O隔定的函数Z=(.v.y)的极值.W-将方程/+)J+z2-2+2,-4=-10=0的两边分别时,y求偏格得2x+2zz；-2-4z；=O2y+2z+2-4z,t=0由函数极值的必要条件如z；=0,z；=0,将其代入(G得驻点Pa1.I).由3)的两个方程分别时X.y求的导，得因为AC-B'=五MT>0(z2).故z=(1,T)为极值.=2'J=7?'8=z"SC=ZQ在将.丫=1,>'=-1代入方程/+)二+2-2+2)、-42-10=0,得4=-2,Z2=6将2=-2代入S)中可知A=->0故z=f(1.,T)=-2为极小Gi.4将勺=6代入S)中可知A=-IvO,故Z=，(1,-1)=6为极大值.4【解二J配方法,方程X2+y2+z*-2.v+2V-4z-IO=。可变形为z-2=±1.6-(x-1)2-(y+1):显然，z=6为极大值,z=-2为极小值.例18、设函数f(x.y)具有二阶连续偏导数，且/(1.()=0.(1.0)=v(1.0)=-1.试判定函数g(r.y)=/(/'.V+/)在(0.0)处的极值性,请说明理由.解：g,=W>2>则g00)=0,同理g,(0,0)=0,5.=(KX+(¾+2,)2.v+21则八=g00)=2,(1.)=-2.同理C=gn(0.0)=2/,(1.()=-2.又&“=(XerX+2孤)*,+町*+*)+(炉<*+2M)2.=g,(0.0)=-1.AC-4=3>0且A<0,4(0.0)为g(x,y)的板大点：g(0.0)=/(1.,0)三0是极大值.例19、已知函数z=f(x,y)的全微分公=2.«&一2"y,并且/(1.,1.)=2求f(x,y)在椭圆域D=(x,y).v2+-1.上的以大伯和班小值.4姆:d=2xdx-2ydy=d(x2-y2+C).则Z=f(x,y)=xi-y2+C.再由/(1J)=2,得C=2,故/(x,y)=x2-+2.令-=2x=OJy=-2y=O/可能极值点为(0.0),且/(0,0)=222再考虑其在边界曲规xz+-=上的情形：令1.(x,y)=f(x,)，)+(x2+二-1),44由1.1=2(1.+i).v=0.v=(-2+-2)v=0.r+-1.=024褥可能极值点为(0.±2),(±1。，而/(0±2)=-2.f(±1.0)=3.可见z=J(x,y)在区域D内的最大值为3,最小值为-2.推广：求证，-I6z7x2-y2+2d24,.例办加线G：f与J仁；3二。之间的距离.ff1.任取(s,0.4)eG,(3-2r.G)eC,9D=d2(s+2t-3f+t2+s由。=2(s+2-3)+1.=O.0=4(s+2-3)+2r=O,得唯一站点P(g.1.),从几何意义知d客观存在.故所求抨离为小1,1)=也.22注：(I)4=+>2+2+2.r-4y+5+-Jx2+2+6x-2.y-4.y+14的最小值为工.从几何意义上知P(x,),2)到(-1.2.0),H(-3.1.2)的即离之和最小为卜"3=3(2)函数/(“,V)=J(2COS“+3i，)°+(sin3-2v-2)的我小便为.提示：该题可转化为在椭圆.1+4./=4上求一点，使其到曲线2,r+3y-6=0的距离最短，作椭圆切线平行于已知内城求解，或以椭国方程为条件，其上点到直线的跖离平方为目标函数.用拉格朗日媒数法完成.注：该题可用几何法求解V*+V*j7t*0例21、已知曲线c：V,求C点矩涵XOy而最远点和最近点.X+v+3z=5解：C点到XOY而的施离为z=-(x2+/)令1.=X2+y2+(x2+>,2-222)+(.v+>'+3z-5)由上,=2x+2Ix+jm=O.1.,=2y+2y+=0.1.=-4z+3=O得x=y又X2+y2-22=O,x+y+3=5解得可能极值点(1,1),(-5,-5),从而IZIa“=1MT田=5根据几何意义,C点冲离XOY面最远点和最近点客观存在.故最远点为片(-5.-5.5),袋近点为8(1,1,1).三、爆后练习1、考虑二元函数/*,3,)的下面4条性防：/(工V)在点(/.%)处连续./(x,V)在点(.rc,.>,0)处的两个偏导数连续.f(x.y)在点(i,y0)处可做,/(,y)在点(XO.%)处的两个偏少数存在.若用“PnQ'表示可由性痂P推出性质。，则有(AA=>=>B=>=>C=>nD=>n.x2y(x1.+y2),(0.0),(xIy)=(0.0).问/(x,.”在点(0,0)处:(1)是否连续？(是(2)偏导致是否存在？(是)(3)是否可微？(否>3、设z=arctan(X/siny),则1.,(-1.,112)=1/2.4、设/二导连续，且g(x,y)=f(办)+而力，则-=2)，/矿(WX).5、设八二阶偏导连续，且湎足4,+几=1,又g*.y)=y,(2-y2)2,则几+%=丁+二6、设/(MF,z)=K5'，./+)；+d-3XyZ=O确定Z=Z(X,y),W1.(1.,1.,1.)=-1.7,设(",v)具行连续偏导数.证明：由中(Ct-a2,G'-)z)=0所确定的函数z=(x,y)满足os4+Az,=c,8、设“=f(x,y,z),F(x2,e',z)=O.y=sinx,若尸J都具有一阶连续偏存数，F1.0.则“(r)=f+8s犷Tf(2M+cOSxg)/小9、(2x)+«?vdx-(1/y-xe')dy=J(>7-1.ny+xe-+C).10、设/(“)在(0.+x)内二阶Ur导，Z=/('.+)户)满足2口+2“=0,若/(1)=0./'(1)=1,则/()I1.设“,，)具有连续偏导数，且£+/=“v,求/(x.x)=73+C.12、Mf(x.y.)=x2+2y2-2zi+8在点(1,1,1)处沿下列哪个方向的方向导数级大?并求其最大值.(2,4,-4)；613、求函数a,y)=e=,-2y2)的极值./(Y,-2)=8e7是函数的极大值14、设Z=z(.v,y)是i1.1.'-6.v),+IOy2-2yz-z1+18=0确定的函数,求Z=x(.v,y)的极值点与极值.(9.3)是其极小点,极小值为3；(-9.-3)是其极大点,极大值为一315、求/=AJZ在82+)，2+22=|.*+)，+2=0下的极值.极，卜微氤极大密氤16、z=2+4xy-2y2-IOx+4y在O:x0,yO.x+y<4上的值域为1-24.0.2.17.而my上到a=O.v=。及+2y-16=0三直线即禺平方和最小的点为(8/5.16/5).18、拊物线Z=/+铲被平面x+y+z=1做成一个醐瓯求原点到勘网的最长和最短距除4.，=%=9-5,3.<1.=<=«'9+5技19、内接于椭球面胃/9+./3+z?=1的长方体(各衣面平行于坐标面)的朵大体枳为圣20、在椭球面2/+2+z?=I上求一点，使得函数Z)=X+V+z?沿着点A(1.IJ)到8(2,0,1)方向的方向心数具有最大值，并求此最大值.(1/2.-1/2.0):0"