五年级奥数完整教案老师版.docx

奥数第一讲巧算小挚友，你是不是在日常生活和解答数学问题时，常常要进行计算？在数学课里我们学习了一些简便计算的方法，但假如报长视察、勤于思索，计算中还能找到更多的奇妙的计算方法哦，不仅使你能算得好、算得快,还可以让你变得聪题和机敏.一、计算:9.996+29.98+169.9+3999.5解：算式中的加法看来无法用数学课中学过的筒算方法计算，但是，这几个数每个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数凑照''以后，就简洁计算了.当然要记住,“凑整”时增加了多少要减回去.9.996+29.98+169.9+3999.5=10+30+170+4000(0.(K)4+0.02+0.1+0.5)=4210-0.624=4209.376二、计算：1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+.+0.04+0.03-0.02-0.01解：式子的数是从1起先，依次削减0。1，直到最终一个数是0.01，因此，式中共有100个数而式子中的运兑都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个数这样的依次排列的。由丁数的排列、运算的排列都很有规律，依据规律可以考虑每4个数为一组添上括号，每组数的运算结果是否也有确定的规律？可以看到把每组数中第I个数战第3个数，第2个数减第4个数，各得0.02.合起来是0.04,则,每组数(即每个括号)运比的结果都是0.04,整个算式100个数正好分成25组，它的结果就是25个0.04的和“1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.950.940.93÷.+0,04+0.03-0.020.01二(1+0.990.980.97)+(0.96+0.95-0.94-0.93)+.+<0.04+0.03-0.02=0.04×25假如能够故捷地运用数的交换的规律，也可以按下面的方法分组添上括号计算：1+0.99-0.98-0.97÷0.96÷0.95-0.94-0.93+.+0.04+0.03-0.02-0.01=1+<0.99-0.98-0.97+0.96)+(0.950.94-0.93+0.92)+(0.03-0.02-0.01)=1三、计算：0.1÷0.2+0.3+.+0.8+0.9+0.10+0.1.1+0.12+.+0.19+0.20解：这个算式的数的排列像个等差数列，但细致视察.它事实上由两个等差数列组成，0.1+O.2+O.3+.+0.8+0.9是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.1,而0.10+0.11+0.12+.+0.19+0.20是其次个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.01,所以，应分为两段按等差数列求和的方法来计算。().1+0.2+0.3+.+0.8+0.9+0.10+0.11+0.12+.+0.19+0.2=(0.1.+0.9)×9÷2+(0.10+0.20)×1.1.÷2=4.5+1.65=6.15四、计算：9.9×9.9+1.99解：算式中的99x9.9两个因数中一个因数扩大】0倍,另一个因数缩小10倍,积不变，即这个乘法可变为99x0.99+1.99可以分成0.99+1的和，这样变更以后，计算比较简便。9.9×9.9+1.99=99×0.99+0.99+1.=(99+1)×0.99+1=100五、计算:2.437×36.54+243.7×0.6346解：虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的2.437和后一个乘法的243.7两个数的数字相同，只是小数点的位置不同，假如把其中个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位，使这两个数变成相同的，就可以运用乘法安排律进行简算了。2.437×36.54+243.7x0.6346=2.437x36.54+2.437x63.46=2.437×(36.54+63.46)=243.7六、计算：1.1.×1.2×1.3×1.4×1.5解：算式中的几个数虽然是一个等差数列，但算式不是求和，不能用等差数列求和的方法来计鸵这个.兑式的结果。平常留意积累计算阅历的同学或许会留意到7,I1.和13这三个数连乘的积是1(X)1,而一个三位数乘1(X)1.只要把这个；位数连续写两遍就是它们的积，例如578x1(X)1=578578.这题参照这个方法计算，能奇妙地算出正确的得数，1.1.×1.2×1.3×1.4×1.5=1.1.×1.3×0.7×2×1.2×1.5=1.(K)1×3.6=3.6036练习1. 5.467+3.814+7.533+4.1862. 6.25×1.25×6.43. 3.997+19.%+1.9998+199.74. 0.1+0.3+.+0.9+0.11+0.13+0.15+.+0.97+0.995. 199.9×19.98-199.8×1.9.976. 23.75×3.987+6.013×92.07+6.832x39.877. 200425×252004-20042004×8. (1+O.I2+O.23)×(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)×(0.12+0.23)9. 6.734-1.536+3.266-4.46410. 0.8÷（）.12511. 89.1+90.3+88.6+92.1+88.9+90.812. 4.83×0.59+0.41×1.59-0.324X5.913. 37.5×21.5×0.112+35.5X12.5X0.11214. 9999×2222+3333×333415. 1989×1999-1988X2000奥数其次讲败的整除假如整数a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0.我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。假如a能被b整除，则，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。数的整除的特征：（1） 能被2整除的数的特征：假如个整数的个位数字是2、4、6、8、0.则这个整数确定能被2整除。（2） 能被3（或9）整除的数的特征：假如一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，则这个整数踊定能被3（或9）整除。（3） 能被4（或25）整除的数的特征：假如个整数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数就确定能被4（或25）整除.（4） 能被5整除的数的特征：假如一个整数的个位数字是0或5,则这个整数确定能被5整除。（5） 能被6整除的数的特征：假如一个整数能被2整除，又能被3整除，则这个数就确定能被6整除。（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为个数，其余各位为另一个数、假如这两个数之差是。或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除.（7） 能被8（或125）整除的数的特征：假如一个整数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数就确定能被8（或125）整除。（8） 能被11整除的数的特征：假如个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，则它必能被11整除.、例题与方法指导例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征）88205,167128,250894,396500.675696.796842,805532,75778885。例2、一个六位数23口56口是88的倍数,这个数除以88所得的商是或恩跑S航:一个数假如是88的倍数,这个数必定既是8的倍数，又是11的倍数.依据8的倍数,它的末三位数确定也是8的倍数,从而UJ知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是。或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能230560或238568又230560+88=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例3、123456789口口,这个十一位数能被36整除，则这个数的个位上的数最小是.思路导航:因为36=9×4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除,因为1+2+9=45,由能被9整除的数的特征,(可知口+口之和是0(0+0)、9<1+8.8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)和18(9+9).再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知是00,04,，36,，72,96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以.这个数的个位上的数最小是0.例4、下面一个1983位数33344R夕间漏写了一个数字(方框)，己丽个个知这个多位数被7盛除，则中间方框内的数字是.思路导航:341.991个99】个=电二PX10w+34×10w+141.990个990个因为I1.1.II1.能被7整除，所以普二3和也二1都能被7整除,所以只要99。个幽个34能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例5、仃三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是.思路导航:三个连续的两位数其和必是3的倍数，已知其和是I1.的倍数,而3与11互质，所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以,答案为10,11,12或21,22,23或32,33,34。注.三个连珠自然数的和必能被3整除”可证明如卜：设三个连城自然数为,m1,则(7+1)+(H2)=3加3=3(mD所以，n+5+D+5+2)能被3整除.二、巩固训练1 .有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.全部这样的两位数的和是.2 .一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,则这个自然数是.3 .任取一个四位数乘3456,JIJA表示其积的各位数字之和，用8表示A的各位数字之和,。表示6的各位数字之和，则。是4 .有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，假如把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,假如十位数不变，则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数确定是9,这种两位数有：39、79.所以,所求的和是39+79T18.2. 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且151.5=225>2OO,所以其中至少仃1个因数小于15,而旦这些因数均需是奇数,但11不行能符合条件，因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数，I位必是偶数.所以只需检杳13的倍数中小于200的三位数13x13=169不合要求，13x15-195适合要求,所以,答案应是195.3. 9依据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=384x9,所以任何一个四位数乘3456,其积确定能被9整除,依据能被9整除的数的特征，可知其枳的各位数字之和力也能被9整除,所以力有以卜八种可能取值:9,18.27,36,45,54,63,72.从而月的各位数字之和6总是9.8的各位数字之和C也总是9.4. 9.0+1+4+7+9=21能被3整除，J.从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数，由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497-.所以第五个数的末位数字是9.三、拓展提升1.找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,假如要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，则这四个数里中间两个数的和是多少？2 .只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225梨除,怎样修改？3 .试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？锻如回答：“可以”，则只耍举出一种排怯；假如回答：“不能”，则需给出说明.答案1 .假如最小的数是1,则和1起能符合“和被差整除”这要求的数只有2和3两数，因此最小的数必需大丁或等T2.我们先考察2、3、4、5这四个数，仍不符合要求，因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2 .因为225=25×9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除，乂能被9整除，被25整除不成问题，木两位数75不必修改，只要看前：.个数字即可，依据某数的各位数字之和是9的倍数，则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以卜泗种改法:把1改为0：把4改为3：把1改为9：把2改为1.3 .不能.假设能够依据题目要求在圆周上排列所述的K）O个数,我们来按所排列依次将它们每5个分为一组，可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.从而一共有不少于40个数是3的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致冲突.J1.数第三讲数字谑小挚友们都玩过字谜吧.就是种文字嬉戏，例如,'空中码头"（打城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天这个地名第I个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天字，荷洁想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思“这样谜底就出来九天津。算式谜乂被称为“虫食算”，意思是说道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法分辨，须要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指根式鸵式谜和登式算式迷，其中未知的数字常常用口、小等图形符号或字母表示,文字莫式谜是前两种算式谜的延长，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道免式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同个数字。文字算式谜也是最难的种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许很多多的数学嬉戏，就让我们一起来看看吧.横式字谜一、例题与方法指导例1、,8,口97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。则所填的3个数字之和是多少？思、路导航:150×3-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5=12,例2、我学数学乐X我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐''分别代表的4个不同的数字。假如“乐”代表9,则“我数学''代表的三位数是多少？分析：学=1，我=8,数=6，8I6I9×8I6I9=666I66116I例3、÷(÷÷)-24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航:这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a÷<b÷c÷d)=acd÷b(去括号)当a=1.时，有6x8÷2=24,8×9÷3=24:当a=2时，有4x9÷3=12,6×8÷4=12,8×9÷6=12:所以，满意要求的等式有：1.÷(2÷6÷8)=24,I÷(3÷8÷9)=24.2÷(3÷4÷9)=24,2÷<4÷6÷8)=24,2÷(6÷8÷9)=24。例4、X口=5:12+一=口,把I至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。分析：依据第一个等式，只有两种可能：7x8=56,6x9=54；假如为7x8=56,则余下的数字有：3、4、9,明显不行：而当6x9=54时，余下的数字有：3、7、8,则，12+3-7=8或12+3-8=7都能满意。二、训练巩固1 .迎迎X春春=杯迎迎杯，数数X学学=数赛赛数，春春X春春=迎迎赛赛在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。假如这3个等式都成立，则，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最终一个等式入手：能够满意：春春X春春=迎迎赛赛的只有88x88=7744,于是，春=8,迎=7,赛=4：这样，不难得到第一个为：77x88=6776,其次个为：55x99=5445：所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39,2 .迎+春X存=迎春，(迎+杯)X(迎十杯)=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。则“迎+春+杯”等于多少？分析：同样可以从其次个算式入3发觉满意要求的只有<8+1.)×(8+1)=81.于是，迎=8：这样，第一个算式明显只有：8+9x9=89：所以，迎+春+杯=8+9+1=18。三、拓展提升1 .在卜列各式的口中分别填入相同的两位数:(1)5×=2:6X=3口.2 .将39中的数填入卜.列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1)÷=÷:(2)÷>÷e3 .在下列各式的口中埴入合适的数字：(1.)448÷O=;(2)2822÷=;(3)13×=4口6。4 .在下列各式的口中填入合适的数：(1) ÷32=831；(2)573÷32=29：(3)4837÷=7427。答案与提示练习224.(1)287：(2)17：65“竖式字谜一、例题与方法指导例1在图4-1所示的算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字.则“喜爱”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析：首先看个位，可以得到“欢”是。或5,但是“欢,'是其次个数的十位，所以，、欢”不能是0,只能是5。再看十位，''欢”是5,加上个位有进位I,则，加起来后得到的“人”就应当是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2：由此可知，“喜”等于8。所以，"喜爱,这两个汉字所代表的两位数就是85。例2在图4-2所示的欧式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字.假如：巧+解+数+字+味=30,则数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于,，谜”，“谜”必定是5(0明显可以推出；接着看十位，四个"字''相加再加上进位2,结果尾数还是“字”，那说明"字''只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位2,结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9；再看千位，(1)假如“数”为4,两个“解”相加再加上进位I,结果尾数还是“解”，那说明"解”只能是9；5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6与“字”等于6垂史，不能：(2)假如''数'为9.两个',解"相加再加上进位2,结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8：5+6÷9÷8=28.30-28=2,可以。所以“数字谜”代表的三位数是965。例3图4-4是一个加法竖式，其中E,F.1,N,O.RS.T,X,Y分别表示从。到9的不同数字，且F,S不等于零.则这个算式的结果是多少？分析：先看个位和十位，N应为0,E应为5；再看最高位上，S比F大I：千位上O最少是8：但因为N等于0,所以，1只能是I,O只能是9：由于百位向千位进位是2,IIX不能是0,因此确定了T、R只能是7、8这两个：假如T=7,X=3,这是只剩下了2、4、6-：个数，无法满意S、F是两个连续数的要求.所以，T=8、R=7：由此得到X=4：则，F=2,S=3,Y=6。所以，得到的鸵式结果是31486。二、训练巩固1 .在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字.则D+G等于多少？分析：先从最商位看，明显A=I,B=0,E=9；接若看十位，因为E等于9,说明个位有借位，所以F只能是8：由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4,3、5和4、6三种可能。所以.D+G就可以等于6.8或10.2 .王老新家的号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9()63,把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529.求王老如家的号码.分析：我们可以用abcdcfg来表示这个七位数号码。由题意知，abcd+efg=9()63,abc+defg=2529；首先从第一个算式可以看出，a=8,从其次个算式可以看出，d=1.；再回到第一个算式，g=2,掉到其次个算式，c=7；乂回到第个算式，f=9,掉到其次个算式,b=3：则，c=6,所以，王老师家的号码是8371692。3 .将一个四位数的各位依次顺倒过来，得到一个新的四位数.假如新数比原数大7902,则在全部符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用abed来表示序四位数，则新四位数为dcba,dcba-abcd=7902;由最高为看起，a最大为2,则d=9：但个位上IO+a-d=2,所以，a只能是1：接下来看百位，b最大是9,则，c=8正好能满意要求。所以，原四位数最大是1989“三、拓展提升1.已知图4-6所示的乘法竖式成立.则ABCDE是多少？IABCDE×3ABCDE1.图4-6分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857,142857×3=42857k2.某个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字的前而，所构成的新数恰好是原数的4倍.问原数最小是多少？分析：由个位起逐个递推：4×4=I6,原十位为6：4X6+1=25,原百位为5；4×5+2=22,原千位为2：4X2+2=10,原万位为0：1X4=4,正好。所以，原数最小是102564。.奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特别的符号表示特定的运算意义.它的符号不同T课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、X、入、”等。表示运算意义的表达式,通常是运用四则运算符号，例如ab=3a-3b,新运算运用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要准确理解新运算的意义，严格依据规定的法则进行运算“假如没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的详细的数字表达式，先求出表示定义规则的一股表达式，方可进行运算。值得序意的是：定义新运算般是不满意四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能自日地运用定律和运算性质解题。一、例JB与方法指导例1、设ab部表示数,规定aAb表示a的4倍减去b的3倍,即ab=4×a-3×b,试计算5a6,65o解56=5x4-6x3=20-18=265=6×4-5×3=24-1.5=9说明例I定义的没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例2、对于两个数a、b,规定ab表示3xa+2×b,试计算(51<6W7,5<67)»通路导航:先做括号内的运算。解：(5t6)7=<5×3+6×2)7=27*7=27×3+7×2=955*(667)=5*(6×3+7×2)=5*32=5x3+32x2=79说明本题定义的运算不满意结合律。这是与常规的运翦:有区分的。例3、己知2a3=2x3x4,4a2=4x5,一般地，对自然数a、b.ab表示a×(a+1.)×.(a+b-1.).计算(63)-(52)思路导航:原式=6*7-5x6=336-30规定：aA=a+(a7)+(a+2)+(a+b-1.),其中a,b表示自然数。例4、已知3=1+2+3=6,求1100的值。已知XA10=75.求x.思路S航:(1)原式=1+2+3+10O=(1+1(X)×I(X)÷2=5O5O(2)原式即x+(x+1.)+(x+2)+<X+9)=75.所以：IOX+(1.+2+3+.+9)=7510x+45=751.0x=30x=3例5、定义运算：ab=3a+5ab+kb,其中a,b为随意两个数，k为常数。比如：27=3×2+5×2×7+7ko(I)已知502=73。问：805与508的值相等吗？(2)当k取什么值时，对于任何不同的数a,b,都有ab=ba,即新运辫。”符合交换律？分析与解：(1)首先应当确定新运算中的常数匕因为52=3x5+5x5x2+kx2=65+2k.所以由已知5C2=73,得65+2k=73,求得k=(73-65)÷2=4°定义的新运算是:ab=3a+5ab+4b,85=3×8+5×8×5+4×5=244,58=3×5+5×5×8+4×8=247s因为244=247,所以85=58.(2)要使ab=ba,由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka.3a+kb-3b-ka=(),3×(a-b)-k(a-b)=0,(3-k11a-b>=0o对于两个随意数a,b,要使上式成立，必有3-k=0,即k=3。当新运比是ab=3a+5ab+3b时，具有交换律，即a0b=b)a.例6、对随意的数a,b,定义：f（八）=2a+I,g(b)=b×b.(D求f(5)-g<3)的值：(2)求f(g(2)+g<f(2)的值：(3) Bft1.f<x+i)=21,求X的值.解：(1)f(5)-g(3)=(2×5+1.)-(3×3)=2；(2) f(g(2)+g(f(2)=(2×2)+g(2×2+1.)=f(4)+g(5)=(2×4+1.)+(5x5)=34：(3) f(x+1.)=2×(x+1.)+1.=2x+3.由f(x+1.)=21.,知2x+3=21,解得x=90二、巩固训练1、若对全都b,a2Xb=aX,X是"个与b无关的常数：ab=(a+b)÷2,H(1.3)3=1.<33).求(1.4)2的值.2、假如规定：=2x3x4,=3x4x5,=4x5x6=8x9x10,求+-的值。3、对于随意的两个数a和b,规定a*b=3xa-b+3,求8*9的值.4、对于随意的两个数P,Q.规定PQ=(PxQ)÷4a例如：2*8=(2×8)÷4o己知xS(85)=10.求X的值“5,定义：定义：ab=ab-3b,ab=4a-ba,计算：(43)(24),6,已知：2©3=2x3x4,4G5=4×5×6×7×8求(4©4)÷(3©3)的值.7、定义两种运莫“”和“”如下:aXb表示a,b两数中较小的数的3倍，ab表示a,b两数中较大的数的2.5倍。比如:4X5=4x3=12,4a5=5x2.5=12.5。计算：K0.6X05)+(03A0.8)÷(1.2X0.7)Y0.64A0.2)1»8,设m,n是随意的臼然数，A是常数，定义运弟m<Dn=(A×m-n)÷4,并且203=0.75。试确定常数A,并计算：(507)X(22)÷(302)。9、对随意两个不同的自然数a和b,较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如7#3=1,5#29=4,4#20=0»(I)计算:1998«2000,<5#19)#19,5#(1495)：(2)已知1.1.#x=4,X小于20,求X的值.10、对于随意的自然数a.b,定义：f（八）=a×a-1.,g<b)=b÷2+U(I)求f(g(6)-g<f(3)的值：(2)已知f(g(x)=8.求X的值。奥数第五讲周期性问题在日常生活中，有一些现象依据确定的规律不断重曳出现O如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪：一年有春熨秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常遇到的有确定周期的问题，我们称为简洁周期问题。这类问题般要利用余数的学问来解决。在探讨这些简洁周期问题时，我们首先要细致审题，推断其不断重组出现的规律，也就是找出循环的固定数，假如正好有个整数周期，结果为周期里的最终一个：假如不是从第一个起先循环，利用除法算式求出余数，域终依据余数的大小得出正确的结果。一、例题与方法指导例1、某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期因为7x4=28,由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了31+30+31+1=93（天）.因为937=13-2,所以这年6月1日是星期二.例2、1989年12月5日是星期二，则再过十年的12月5日是星期.思路导航:依题强知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有365×10+2=3652（天）因为（3652+1）+7=521-6,所以再过十年的12月5日是星期日.注上述两题（题1遨2）都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几解答这类问应主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要依据“四年一闺，整百不国，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是由年，公历年数为整百数时,必需是400的倍数才是闰年.例3、按下面摆法摆80个三角形,有个白色的.从图中可以看出，三角形按“二黑二白黑-白”的规律重安排列,也就是这一排列的周期为6,并且每一周期有3个白色三角形.因为80+6=132,而第卜四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13×3=39（个）.例4、w日的校内内挂起了痣盆小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盆彩灯.也就是说,从第一蕊白灯起,每一靛白灯后面都紧接着有3靛彩灯,小明想第73部灯是灯.,三依题意知，电灯的安装排列如下：白，红,黄,绿，白，红,黄,绿，白，这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.由73÷4=181,可知第73盏灯是白灯.例5、时针现在表示的时间是14时正，则分针旋转1991周后,时针表示的时间是.思舔导航:分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时.一天24小时，1991+24=82-23,1991小时共82天乂23小时.现在是14时止,经过82天仍旧是14时正，再过23小时，正好是13时.注在困面上,沿着困周把1到12的整数等距在成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们每天见到的钟面.仲面员然是财的简洁平常,但在钟面上却包含着特别好玩的数学同感，周期现软就是其中的一个Hi要方面.例6、在100米地胞道两侧每隔2米站着一个同学.这些同学从一端起先，按两女生，再一男生地规律站立若。问这些同学中共有多少个女生？解:一侧：100÷2=50（人）50+1=51（）51÷（2+1）=17组一组里有2个女生，女生2X17=34（八）两侧共有女生34X2=68（人）答：共有女生68人。二、巩固训练列.1.把自然数1,2,3,4,5如表依次排列成5列,则数“1992”在第一列其次列第三列第四列第五列1234598761011121314181716152.把分数十化成小数后，小数点第UO位上的数字是3.循环小数0.i99251.1与0.34561.这两个循环小数在小数点后第位,首次同时出现在该位中的数字都是7.4.一串数：1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有1991个数.（D其中共有个1.（2）这些数字的总和是一个9个4；5、7×7×7×Ksev-r7所得积末位数是答案；1,3细致视察胭中数表.12345（奇数排）9876（偶数排）1011121314（奇数排）18171615（偶数排）7920212223（奇数排）27262524（偶数排）第三组第组其次组可发觉规律如下：（1）连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数挎自右往左四个数的规律循环排列：（2）视察其次组,第三组,发觉奇数排的数假如用9除有如卜.规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,-.第5列用9除余数为5.10+9=11,10在1+1组，第1列】9+9=21,19在2+1组，第1列因为1992÷9=2213,所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上.2、7-=0.571428577它的循环周期是6,详细地六个数依次是5, 7,1,4,2,8110÷6=182因为余2,第I1.O个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.3、35因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.4,853,570,568,8255.不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为1991+7=2843,所以这串数中有284个周期,加上第285个周期中的前三个数1,9,9其中1的个数是:3x284+1.=853（个），9的个数是2x284+2=570（个），4的个数是2x284=568（个）.这些数字的总和为1x853*9x570+4x568=8255.三、拓展提升1 .索接着1989后面串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8x9=72,在.9后面写2,9x2=18,在2后面写8,得到一半数字：1989286这串数字从1起先往右数，第1989个数字是什么？2 .1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积,再相加的和末两位数是多少？3 .设炉22x2xX?,则的末两位数字是多少？4 .在一根长100厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，则长度是I师米的短木棍有多少根？答案；1、依照题述规则多写儿个数字：可见1989后面的数总是不断循环玳宾出现286884,每6个一组，即循环周期为6.因为（1989-4）+6-3305,所以所求数字是&2、1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考嚓1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991木两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3