人教版九年级上册第21章一元二次方程21.3一元二次方程应用学案.docx

一元二次方程应用利用一元二次方程可以：一、一元二次方程主要是解决实际问题：主要解决：1、传播、分支问题；握手、写信，循环竞赛问题：2、平均改变率问题；3、数字问题；4、利润问题；5、图形的面积问题；5、利润问题；6、方案设计问题等。二、解分式方程（成平方关系、成倒数关系）三、对二次三项式ax'+bx+c（aO）进行因式分解：一、相互问题（传播、循环）例，（传染问ID有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感.（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）假如依据这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？分析I设每一轮传染中平均一个人传染了X个人名称传染源新增病人共用病人数等量关系第一轮1X1+x其次轮1+x(1.+x)x1.+x+(1.+x)x=(1.+x)2(1+x)z=169解：练习：1.有两人患了红眼病，经过两轮传染后共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。分析：设每轮传染中平均一个人传染了X个人名称传染源新增病人共用病人数等量关系第一轮其次轮列得方程：解得：X=2 .某人患了流感,经过两轮传染后共61人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）假如不刚好限制，第三轮将又有多少人被传染？3 .某电脑病毒传播特别快，假如一台电脑被感染，经过两轮传播后就会有144台电脑被感染，设每轮传染中'F均一台电脑传染X台电脑，则依题意可列方程为-4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，依据这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数必（）A.1331B.1210C.1100D.1000问题2：（分集向题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？分析：设每个支干长出X小分支主支支干小分支等量关系1XX21.+x+x-91解:练习：为了宣扬环保，小明写了一篇倡议书，确定利用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，乂邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推，已知经过两轮传播后，共有I1.1.人参与了传播活动，则n=.名称发起人新增人数共有人数等量关系第一轮1其次轮解：类型二，“握手”、“竞赛”、“礼物”1 .参与一次足球联赛的每两队之间都进行一场竞赛，共竞赛45场竞赛，共有个队参与竞赛。2 .参与一次足球联赛的每两队之间都进行两次竞赛，共竞赛132场竞赛，共有个队参与竞赛。分析I假如有n个队参与竞赛，除了不和自己比之外，每个队都要比场,n个队须要比场，第一队与其次队的比和其次对于第一对的竞赛是同一场,所以每场重熨一次，所以供需竞赛场。假如每两队之间都进行两次竞赛又有无重复现象？3 .生物爱好小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？4 .一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？分析：互赠礼品问题与竞赛类似，但需考虑有无重复现象。5、一个多边形共有54条对角线，那么它是一边形。分析：从n边形的一个顶点动身可做一条对角线，n个顶点共做一条对角线，AA与A向；AA与AIA是同一条对角线吗？所以n边形共有条对角线。(n4)巩固练习：1、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共人2、参与一次聚会的每两人都提了一次手,全部人共握手15次,有多少人参与聚会？3、要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,支配支配28场竞赛,应邀请多少个球队参与竞赛？4、某初三毕业班的每一个同学都把自J的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送/3080张照片.假如该班有X名同学，依据题意可列出方程为?5、一个n边形共有20条对角线，则它的内角和为多少度？6、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共一人.7. （2019黑龙江）某中学组织初三学生篮球竞赛，以班为单位，每两班之间都竞赛一场，支配支配15场竞赛，则共有多少个班级参赛？（）.48. 5C.6D.78.（2019通辽）为增加学生身体素养，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球竞赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.现支配支配21场竞赛，成遨请多少个球队参赛？设邀请X个球队参赛，依据题意，可列方程为.二、平均改变率问题增长率等量关系：（1）原产量+增产量=实际产量（2）单位时间增产量=原产量X增长率（3）实际产量=原产量X（1+增长率）.例1、某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析:设平均每月增长的百分率为X,则:一月份产量二月份产量三月份产量等量关系50005000(1.+x)5000(1.+x)(1.+x)5000(1+x)2=7200解：设平均每月增长的百分率为X,由题意得：5000（1+x）2=7200解得：x,=0.2=20%j=-2.2（舍去）答：平均每月增长的百分率为20$例2.某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，假如两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几?分析：设平均每次降价的百分率为X,则：原价第一次降价后其次次降价后等量关系600600(1.-)600(I-X)(1.-)600(I-X)2=384解：设平均每次降价的百分率为X,由题意得：600（1.-）z=384解得：x,=0.2=20%x2=1.8（舍去）答：平均每次降价的百分率为20%.例3、某新华书店支配第一季度共发行图书152万册,其中一月份发行图书32万册,二、三月份平均每月增长率相同,求二、三月份各应发行图书多少万册?分析：设平均每月增长的百分率为X,则:i月份发行量二月份发行量三月份发行量等量关系3232(1.+x)32(1.+x)(1.+x)32+32(1.+x)+32(1.+x)t=152解：设平均每月增长的百分率为X,由题意得：32+32(1.÷x)+32(1.+x)2=152解得：x,=0.5=50%xk-3.5(舍去)答：平均每月增长的百分率为50%例4、某校2019年捐款1万元给希曳工程，以后每年都捐款,支配到2019年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？分析：设该校捐款的平均年增长率为X,则:2019年捐款数2019年捐款数2019年捐款数等量关系11+x(1.+x)(1.+x)1+1+x+(1+x)2=4.75解:设平均每月增长的百分率为X,由题意得：1+1+x+(1+x)2=4.75解得：x1=0.5=50%xk-3.5(舍去)答：平均每年增长的百分率为50$巩固练习：1、某电脑公司今年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，假如平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率.分析：设平均每月营业额的增长率为X,则:-月份营业额二月份营业额三月份营业额等量关系200解：2.上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大？分析：设甲商场利润的月增长率为X,乙商场利润的月增长率为y名称七月份利润八月份利润九月份利润等量关系甲商场100乙商场2003. 某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结100O个桃子，现打算多种一些桃树以提高产量，试验发觉，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会削减2个，假如要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树？分析：应多种X棵名称桃树棵数每颗桃的产量总产量等量关系原来100100O100×100O现在中考链接4. （2019湖北随州）随州市尚市“桃花节”欣赏人数逐年增加，据有关部门统计，2019年约为20万人次，2019年约为28.8万人次，设欣赏人数年均增长率为X，则下列方程中正确的是（）A.20（1.+2x）=28.8B.28.8（1.+x）2=20C.20（1.+x）2=28.8D.20+20（1.+x）+20（1.+x）2=28.85. （2019宜宾）某市从2019年起先大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2019年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预料2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2019年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A.2%B.4.4%C.20%D.44%6. （2019广西）某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预料2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为X,则可列方程为（）A.80（1.+x）2=100B.100（1-x）2=80C.80（1.+2x）=100F）.80（1.+x2）=1007. （2019眉山）我市某楼盘打算以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，确定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A.8%B.9%C.10%D.11%8. （丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为X,则可列方程为.9. （2019四川眉山）受“削减税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热忱大幅提高.据调查，2019年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套.假设该公司这两个月住房销售量的增长率为X.依据题意所列方程为10. （青海西宁）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用.市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车.今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车.预料2019年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.<1）请问每个站点的造价和公共印行车的单价分别是多少万元？（2）请你求出2019年到2019年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.11. （2019济宁市）某地2019年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2019年的基础上增加投入资金1600万元.（1）从2019年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2019年异地安置的详细实施中，该地支配投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房嘉奖，规定前100o户（含第100O户）每户每天嘉奖8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房嘉奖？12. （2019贵州毕节）为进一步发展基础教化，自2019年以来，某县加大了教化经卷的投入，2019年该县投入教化经费6000万元.2019年投入教化经费8640万元.假设该县这两年投入教化经费的年平均增长率相同.（1）求这两年该县投入教化经费的年平均增长率：（2）若该县教化经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该县投入教化经费多少万元.13. （2019南通模拟）某厂一月份生产某机器100台，支配三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为X,依据题意列出的方程是.14. （2019沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.（1）求每个月生产成本的下降率：（2）请你预料4月份该公司的生产成本.15. （2019安顺）某地2019年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2019年的基础上增加投入资金1600万元.（1）从2019年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2019年异地安置的详细实施中，该地支配投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房嘉奖，规定前100o户（含第100O户）每户每天嘉奖8元，1000户以后每户每天嘉奖5元，按租房400天计第，求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房嘉奖.三、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25,求这两个数。2、.两个数的差为6,积等于16,则这两个数分别是.3、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3,则这个两位数为.4、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数.分析：设十位数字是X,则个位数字是（6-）名称个位数字十位数字两位数等量关系原数6-xX10x+6-对调后X6-x10(6-x)+x四、销售利润问题等量关系：每件利润=售价-进价总利润=每件利涧义销售量例1、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快削减库存，商场确定实行适当降价措施.经调查发觉，假如每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：（1）若商场平均每天要羸利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你都助设计方案.分析：设每件衬衫应降价X元名称每件利润销售量总利润等量关系原来402040×20降价后40-20+2x(40-)(20+2x)解：(1)设每件衬衫应降价X元，由题意得：(40-)(20+2x)=1200解得：x,=10xj=20(2)利润为w,则w=(40-)(20+2x)=-22+60x+800=-2(2-30x)+800=-2(-30x+1.52)-1.52+800=-2(x-15)2-225+800=-2(x-15)2+450+800=-2(-15)2+1250因为-2(-15)2W0,所以当x=15时W41=1250巩固练习：1、某商场将进价为2019元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了协作国家“家电下乡”政策的实施，商场确定实行适当的降价措施，调杳衣明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？分析：设每台冰箱应降价X个50元名称每台冰箱利润销售量总利润等量关系原来4008400×8降价后400-50x8+x(400-50x)(8+x)解:2 .西瓜经营户以2元/T克的价格购进一批小型西瓜，以3元/克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户确定降价销售.经调查发觉,这种小型西瓜每降价0.1元/丁克，每天可多售出40克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？分析：设每千克西瓜应降价X元名称每千克西瓜利涧销售量总利润等量关系原来12001.×200降价后1.-解:3 .将进货价为40元的商品按50元答出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就削减10个.若设这种商品每个涨价X元，（1）用含X的代数式表示：；每个商品的实际利润是元，实际的销售量是个：（2）为了获得8000元的利润，售价应定为多少？4、（2019乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住，当悠间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.假如有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为X元.则有（）.（180÷x-20）（50-金）=10890B.（x-20）（50-i）=10890C.x（50-50×20=10890D.（x+180）（50-）-50X20=108905、（2019山东省德州市）某中学组织学生到商场参与社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销状况如表所示：第1天第2天第3天第4天傕价X（元/双）150200250300销售量y（双）40302420（1）视察表中数据，X,y满意什么函数关系？恳求出这个函数关系式:（2）若商场支配每天的销售利涧为3（X）0元，则其单价应定为多少元？6、（2019遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，依据销售状况，发觉该水果一天的销售量y（下克）与该天的售价X（元/千克）满意如下表所示的一次函数关系.销售量y（千克）34.83229.628售价X（元/千克）22.62425.226-（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量.（2）假如某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？7、（2019德州）为主动响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发觉，每台售价为40万元时，年销售量为600台：每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价X（单位：万元）成一次函数关系.（1）求年销售量y与销售单价X的函数关系式：<2）依据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，假如该公司想获得10000万元的年利涧，则该设备的销售单价应是多少万元？8、（2019盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店实行了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发觉销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？五、面积问题例、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒广，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高.解：设小盒子的高为X,由题意得:(24-2X)×(18-2X)=24×182解得X=3答：小盒子的高为3cb1.巩固练习：1 .矩形的周长为8石，面积为1,则矩形的长和宽分别为.2 .长方形的长比宽多4cm,面积为60cm则它的周长为一73 .如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆因成，若竹篱笆总长为35m,所围的面积为15O11则此长方形鸡场的长、宽分别为.4、如图，在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540id2,求小路宽的宽度.5、如图，为了给小区居民增加熬炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化.当阴影部分面枳为800平方米时，小路宽X为多少米.60w>16、在一块长12m,宽8m的长方形平地中心，划出地方砌一个面枳为8m:的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度-样，则这个宽度为多少？7. （2019济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3,则原铁皮的边长为（）.1OcmB.13cmC.14cnD.16cm8. (2019内蒙占包头)-一幅长20cm、宽12Cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.设竖彩条的宽度为XCnb图案中三条彩条所占面积为yc11(1)求y与X之间的函数关系式：<2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的卷求横、竖彩条的宽度.五、围篱笆问题例、如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.怎样围才能使矩形场地的面积为750m”能否使所围矩形场地的面积为8IOm'为什么?解：(1)设篱笆的对面为xm,则另两面为(80-)2m由题意得：x×(80-)/2=750解得：X=30x2=50V50>45.x=50(舍去)答：篱笆的对面为30m,围成面积为750m2(2)设篱笆的对面为xm,则另两面为(80-)2m由题意得：x×(80-)/2=810整理得：x2-80x+1620=0J=802-4×1620=-80<0方程无解。巩固练习：1、某养殖专业户要扩大养殖规模，他支配用现有的35m长的篱笆围一个面积为15011f'的矩形养鸡场，鸡场的一边靠着原有的一面墙(如图所示).(1)该专业户怎样建养鸡场？(2)若墙的尺度只有19米长，那么养鸡场又该怎样建？2 .(2019四川内江)某中学课外爱好活动小组打算闹建一个矩形苗圃园.，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为万米.(1)若苗圃园的面积为72平方米，求第(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？假如有，求出最大值和最小值；假如没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，干脆写出X的取值范围.图14七、其他问题1、小杰家住在普陀区，他在静安区上学，每天上学必需经过苏州河上的一座桥.小杰从他家到这座桥有若干条不同的路可走，而从这座桥到学校可走的路要比从他家到这座桥的路多3条，这样他从家动身经过这座桥到学校共有40种沿不同路途的走法.请问小杰从家到这座桥有几条不同的路可走？分析：小杰从家到这座桥有X条不同的路灯走，则从这座桥到学校可走的路有(x+3)条。3 .某校九年级学生进行广播体操竞赛，假如排成方阵(正方形)，则多出6人，假如每排减4人，排数多6,则缺2人，求学生的总人数.分析：无论怎样站总人数相等。4 、.某旅行社为“五一”黄金周风景区旅游活动，特推出如下收费标准:不超过25人，人用为100O元。人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游叁用不图轩700元某单位组织员工进行“五一”黄金周风景区旅游，一共支付给该旅行社旅游费用27000元.请你依据以上收费标准及要求，求该单位参与这次风景区旅游的员工人数.分析:27000/1000=27>25所以享受降价。设该单位参与这次风景区旅游的员工人数为X.则旅游费用为每人1000-20（-25）即：（1500-20x）元4、如图，在RtZACB中，NC=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点动身分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1.ms,几秒后APCQ的面积为RtZkACB面积的半.分析：X秒后，AP=xnPC=（8-）mCQ=XmSzircQ=PC.CQ/25.（2019嘉兴）欧几里得的原本记载，形如（+ax=1/的方程的图解法是：画RtAABC,使NACB=90。，BC=半C=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是（）?A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长6.（2019黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程六-10乂+21=0的根，则三角形的周长为一.7. （2019黔南州）三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程三-6x+8=0的解，则此三角形周长是.8. （2019泰州）已知3xy=3a?-6a+9,x+y=a2+6a-9,若xy,则实数a的值为.9. 一个容器盛满纯药液631.,第一次倒出一部分纯药液后用水加满，其次次乂倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是281.,设每次倒出液体X1.分析：设每次倒出液体X1.名称纯药液与总溶液之比倒出溶液:所含纯药液剩余纯药液第一次1XX.63-x其次次(63-)63XX.(63-)6363-X.(63-)63等量关系：另外：(一)、可利用换元法解可化为一元二次方程得分式方程1、成倒数关系分析：Xx与2(+x)成倒数关系，可用换元法解分式方程'假如设>=必+”，那么原方程可化为关于y的方程：y+1.=2y去分母整理得:y2+y-2=0解这个方程得：y产-2y2=1.当y=-2时即：x2+x=-2x2+x÷2=0J=-7<0无解当y=1时即:x2+x=1.x2+-1.=0解得：X1=(-1+5)/2x2=(-1.-5)/2经检验：xbx2都是原方程的解.留意:分式方程要检验Q6X3-3x+5+=0练习：解方程x-3x2、成平方关系(-I.)a-2i-=i512(x2+)-56(x+-)+89=0(1)x+1x+1(2)/x(：)、对二次三项式ax''+bx+c(aO)进行因式分解:第一步：令ax,+bx+c=0求出方程的两个根x1.,x2其次步：写出结果ax'+bx+c=a(-)(-2)