人教版九年级上册第21章一元二次方程21.2.2解一元二次方程公式法学案.docx

21.2.2公式法【目标导航】1 .理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公武法的概念,会娴熟应用公式法例一元二次方程.知道求根公式与配方法、开平方法的联系.2 .能用根的列别式S=b'-4ac)判定一元二次方程根的状况。【学问链接】数学公式1971年5月15日,尼加拉瓜发行了十张一套题为“变更世界面貌的十个数学公式”界票，它是由一些闻名数学家选出的十个对世界发展极有影响的数学公式为内容的曲:粟这十个公式不但造福人类，而F1.具有典鞭的数学美，即：简明性、和谐性、奇异性。另外，上一节课我们在用配方法解不同一元二次方程的过程中发觉解超的关键是如何配方，而这配方的过程是程序化的操作过程JE么我们能否把这，程序化的过程的结果抽象为一个数学公式嗯？今后我们干脆运用这一结果就UJ以解决问即，而不必年次都重发第珊的配方过程.我们短得还没有实力学习“变更世界面貌的卜个数学公式“，但.是我们可以向帮这个方向努力.下面我们就起先学习数学海洋中的一个小小的公式-一元二次方程求根公式.【珍宝探寻】野宝一.求根公式的推导I.一元二次方程的一,般形式axbx+c=O<a0>的根的求法：己知ax>bx+c=O(a0)且bfac>0,试推导它的两个根X1.="+算皿,2a一b-y2-4acX产2a分析，因为前面详细数字已做得许多,我们现在不妨把a、b、C也当成一个详细数字依据上面的解咫步骤就可以始终推下去.解：移项，得：ax2x=-c二次项系数化为1，W-X-aa配方.It）：x+-x+（a1.abx.b-4ac即（x+）=-2«4wVbe-4ac0J1.1.>0干脆开平方，得：÷-=+±2aIa.-b±ybz-4ac即X=2a-b+G-44c-b-yJbi-4acXr.X32a2a2.求根公式的几点说明：(I)用公式法解一元二次方程，事实上就是给出。、b、C的数(ft，然后求代数式：一"字一4竺进行求伯的运算.由于这样的计算较困碓,所以要提示学生计弟时留意2a。、C的符号，讲究计算的正确性.(2)在运用求根公式求解时，应先计算，2-4w的值；当/-4讹沙时，可以用公式求出两个实数根：当-4ac<0时，方程没有实数根.(3)由求限公式可知，一元:次方程最多有两个实数根.科宝二.一元二次方程的判别式1 .关于X的一元二次方程a/+。*+c=0SH0)的根的判别式为If-Aac.4ac>0=一元：次方程a+br+c=O(aO)有"两个不相等的实数根，即M.：=一土W-ItaC2a;(2)Z-4ac=0o一元二次方程af+加+c=0(a0)有两个相等的,实数根.即汨=*：=b一2h'(3) Z-4ac<0o一元二次方程a+Ax+c=0(a0)没有实数根.2 .在运用根的判别式解决问即时,假如：次顶系数中含有字母.要加上二次项系数不为零这个限制条件.【养分快餐】快餐一fiA三SHBMt解方程：d-4x+1.=0.分析I此题可运用公式法.进行求解a=1.,b=-4,C=I.求出t-44c的值,再代入-b±yb2-4ac.i.h.4-中进行求解，2a解：这里a=1.b=-4.c=1.而b?-4c=16-4=12,所以X=注叵2因此，原方程的解为$=2+JJx2=2-3.例2.一元二次方程-2r”尸O总有实数根，则，”应满意的条件是()n>IB.M=IC.n<1.。.n1.就依据根的判别式，令R,建立关于用的不等式，解答即可.折】【答V方程F-2t+m=0总有实数根，案】0.即4-4mO.-4m-4.wt1.故选C.【点拨本遨考查了根的判别式，一元二次方程根的状况与判别式的关系：(I)>()0方程有两个不相等的实数根：(2)=()=方程有两个相等的实数根：(3><()=方程没有实数根.例3.已知关于X的一元二次方程x2-23-k=O有两个相等的实数根，则k的值为.【解析】一元二次方程有两个相等的实数根时.根的判别式产4流=0.【答案】方程有两个相等的实数根.则有3-4ac=O.即(2退)-4(-k)=0.于是k=T.【点拨J本题考查了一元二次方程根的判别式在判定根的状况中的应用.例4.料如关于X的一元二次方程k/一历T*+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范附是(>A.k<-!B.k<-Hk0C_-k<-D.-k<-I1.kO222222分析；解决此题须要从三方面综合考虑，一是由“一元：次方程”知k0.:是由：次根式的意义知2k+1.0.-：是由原方程有两个不相等的实数根知(6TT)2-4k>0,；.各缺一不行.<2+I)7-4>O,【解析】由题意，为然+1部，解得一JWkV；旦k0Jt().【答案】D【点拨】本题也是一道易错超，部分学生会忽视"万这一符号条件下的不等关系而错选为B.快餐二中考实力题例5.(费州中考)已知关于X的方程F+(I-，”)T=O有两个不相等的实数根，Jttm的最大整数值是/1._.【解析】依据判别式的意义得到4=(1-pz)2-4>U>0.然后解不等式得到r的取值范困.再在此范的内找大整数即可.解得m<1.2所以m的最大整数值为0.【答案】0.【点评】本区考查了-元二次方程小+6+C=O(g0)的根的判别式4=2-4.:当>().方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根：当AVO,方程没有实数根.例6.(福州中考)若关于X的方程/+2(a+2)x+=()有实数解.那么实数“的取值戒困是一.(解析】若a=0时，方程为一元一次方程4x=0,此方程有斛x=0:若a0时，方程为一元二次方程f1.+2(。+2)x+=0,因趣意，=4(a+2)2-4=16H60.髀得ahi,综上所述关于X的方程<*2+2(。+2口+“=0有实数解.那么实数a的取值范围是a-1.<>【答案】a-1.【点拨】一元二次方程根的状况行3种：当=（）时,方程有两个相等的实数根：当（）时,方程有两个不相等的实数根：当<（）忖，方程没有实数极.一元二次方程的二次项系数不能为零。例7.（新疆中考）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈,用WO米的围栏困成总面枳为400平方米的一:个大小相同的矩形羊1.求单曲的边长A8,BC各为多少米？解：设A8的长度为,则8C的长仪为（100-4,）米.依据ISje得（100-4.r）.v=400.由求根公式解解x=20.x1=5.则100-4=20或100-4=80.V8O>25.,.xj=5舍去.即八8=20,BC=20.答：羊圈的边长AB.阿分别是20米、20米.快餐三例8.若关于X的方程A-4x+3=0有实数根，求k的非负整数值.分析；本题描述的的关于X的方程如：-4+3=0有实数根，没有强调是几次方程，所以应当分两种状况探讨，幡解：这里a=k,b=-4.c=3因为方程有实数根，所以-4c0.即G4>T2A0,解得内白3因为方程是一元二次方程,所以k0,因此k的非负整数值是1.3正解：当k=0,原方程是一元一次方程，即一4x+3=0,此方程有一个实数根X=：,当k0时，方程为一元二次方程.因为方程有实数根,所以Z-4c0即（M-I2k,解得kw±3因为方程是一元二次方程，所以k0,因此k的作狗整数值是I,所以k的非负整数值为1.0.点拔：对于u+w+c=O,若未指明a的取值范例，因此方程可能是次方程，也可能是：次方程，所以须要分类探讨，做到不无不漏。快餐四修常练习愚一、选界M1.一元二次方程F+x-2=O的根的状况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2 .若关于K的一元:次方程+2r+=0有两个不相等的实数根，则k的取值范用是()A.k<B.Q1.C.J1.=ID.J03 .关于X的方程x'+2kx+kT=0的报的状况描述正确的是()（八）k为任何实数,方程都没有实数根(B)k为任何实数,方程都有两个不相等的实数根(Ok为任何实效，方程都有两个相等的实数根(D)依据k的取值不同，方程根的状况分为没有实数根、有两个不相等的实效根和有两个相等的实数根三种状况4 .一元二次方程xs+3x-1.=0的解是()()x=1.x2=-4(B)x=-1,x2=4(C)x=-1.x2=-4(D)x1=1,x45 .关于X的方程(a-5X-TXT=O有实数根,则a满意()（八）a1.(B)a>1.且aK5(C)a£I且a5(D)a5二、填空题6 .当X=时，代数式x=8x+12的伯是7.7 .已知关于X的方程W-2+2A=O的一个极是1,则A=.8 .方程2x>5x-3=O的解是.9 .等腰三角形ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是.10 .若关于K的一元二次方程州f-3+1才有实数根，则m的取值范眼是.三、综合提高题I1.解方程：x1.-4x-1.=0.12.己知关于X的一元二次方程/+2+2«-4=0有两个不相等的实数根.<1.>求A的取值范用；(2)若上为正整数,且该方程的根都是整数，米上的位。课堂薛习考答案一、1.A2.A3.【解析】选B.因为b7ac=(2k)2，X|X(k-1.)=4F-4k+4=4(k,F+3>0,2故k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根.4 .【解析】选A.因为b'-4ac=25,-3+Jt?-3+5所以=-=.'i-=,所以,=1.,*-4.2x125 .【解析】选A.当a-5=0时.X=-1.有实数据,此时a=5：当旷5/0时,应满意4bTac=I6F(a-5)eQ,解得ae1.,综上可得a1.二、6.47.-提示：将=1,代入方程-2*+2A=O中得出k=->228 .【解析】用公式法，a=2,b=5,c=-3,因为1.Tac=5'7X2X(-3)=49>0,r,1.-5±49-5±71111-5+7I-5-7,三x=I-=-'bpx=-=2-Xj=-="3'答案；X=y,Xs=-39 .【耨析】解方程5x6-0,-x=2,xW.当等腰三角形的底为2时，其周长为：3+3+2=8;当等腰三角形的底为3时,其周长为：2+2+3=7.所以等腰三角形的周氏是7或&答案：7或810 .【解析】一元：次方程有实数根，所以A="-4e三9-4m0.m-3jnQ49答案：m-wO4三、11.【解析】因为a=1.,b=-4,c=-1.,所以/Yac=(T)JxIX(-1)=20,所以X=-I4)土质=4±2小=2±#，即=2+4,=2-5.2×212【解析】(1)因为关于X的一元二次方程/+2+2A-4=0有两个不相等的实数极所以%?-4dy208k>0,所以k<-.2(2)因为k<，且k为IE整数，所以OVk<2,所以k可能是I或2。22又因为方程的根是-=-i±JrW,因为方程的根整数,所以5-2k为完全平方数当k=1.时,5-2k=3当k=2时，5-2k=1.所以k=2