人教版二项式定理——典型例题解析.docx

人教版二项式定理概念篇【例1】绽开（2x-*）5分析一：干脆用二项式定理绽开式.解法一：（2x-.）5=3（25+CX2（一看）+C"2烦（一.产+C；（2）2（-.）3+CJ（2刈一*4+CK-45=325-12O三÷三-1÷40?-2.ra-48/32x'°分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理绽开.解法二：（2X六）.(4-3f=-CS(43)5+CU43)4(-3)+C1143)3(-3)2+C(43)2(-3)3+CU43)(-3)4+G(-3)5(10245-38402+57609-43206+1620/-243)=325-1202+三-+-243说明：记准、记熟二项式（A功”的绽开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较困难的二项式，有时先化简再绽开会更简便.【例2】求二项式（a-2b）'的绽开式a分析：干脆利用二项式定理绽开.解：依据二项式定理得历-24=（3"+。的一2a+加四一24+（：间-26）3+它（-25）4=a4-8"24a2"-32a"+16M说明：运用二项式定理时要留意对号入座，本题易误把一2b中的符号“一”忽视.【例3】在（X一行严的绽开式中，系的系数是.解法一：依据二项式定理可知犬的系数是C3解法二：（X-Q严的绽开式的通项是T=CMxIO-I-石E令IO一尸6,即尸4,由通项公式可知含炉项为第5项,即nn=C6（-3=9Cf0.H的系数为9C）上面的解法一与解法二明显不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含/这一项系数，而不是求含/的二项式系数，所以应是解法二正确.假如问题改为求含/的二项式系数，解法一就正确了，也即是C二说明：要留意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数与项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数与项数均有关.【例4】已知二项式(36-；严，3(1)求其绽开式第四项的二项式系数；(2)求其绽开式第四项的系数;求其第四项.分析：干脆用二项式定理绽开式.解：(3。一,严的绽开式的通项是T=C产F=Hr=O,1,，10).(1)绽开式的第4项的二项式系数为CAI20.(2)绽开式的第4项的系数为C137(-)3三-77760.(3)绽开式的第4项为-77760(6)7%,1.-777607.说明：留意把(377严写成37+(-g)R从而凑成二项式定理的形式.【例5求二项式(/+,*严的绽开式中的常数项.分析：绽开式中第K1.项为Co(2|。F右匕要使得它是常数项，必需使“丁的指数为零，依据是父=1,x0.T=CK(2严F*Y=C；腐吟'耕：设第项为常数项，则(Hz三O,1,10),令20-：广0,得r=8.=crn(,)8-2256第9项为常数项，其值为鉴.2x>说明：二项式的绽开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采纳令通项7,的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2为7绽开式中系数最大项;求（1-2M?绽开式中系数最大项.分析：利用绽开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式,进而求出其最大值.解:（1）设第项系数最大，则有Q2'±Cr2一',C,C,2r,.-2,2'T.r!(7-r)!(r-1.)(7-r+1.)!I7!2,->,1.(r!(7-r)!(+i)!(7-r-1.)!'22Ir16化简得8-二解“又.wr7,系数最大项为7=C5255=6725.（2）解：绽开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因（1-2括号内的两项中后两项系数的肯定值大于前项系数的肯定值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较方和5两项系数的大小即可Ei三>1,所以系数最大项为第五项，即7=56O.说明：本例中的解法是求系数最大项的一般解法，（2）的解法是通过对绽开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】（1+2M”的绽开式中第6项与第7项的系数相等，求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：依据已知条件可求出，再依据A的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=C1.（2）5,4=Cx2靖，依题意有C：2S=C：26,解得a=8.（1+2邓的绽开式中,二项式系数最大的项为7=C112）4=112O4.设第E项系数最大，则有%"乎?CJ2rC1.2.5r6./.r=5或r=6.二系数最大的项为71.=17925,7；=17926.说明：(1)求二项式系数最大的项，依据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；A为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求绽开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需依据各项系数的正、负改变状况，一般采纳列不等式，再解不等式的方法求得.应用篇例8若aWN',(2+1.)11=2a11+b11(11Z),则，的值()A.肯定是奇数B.肯定是偶数C.与的奇偶性相反D.与a有相同的奇偶性分析一：形如二项式定理可以绽开后考杳._解法一：由(、历+1)”=后为+，知i%+为=(1.+i)”=CS+C2+CU2)2+C15,(2)3+-+CJ2.n=1.+Ci(2)2+CU2)4+-功为奇数.答案：A分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特别值法.解法二：NJfcn=I(2+1.)1=(2+,有力=1为奇数.¾-2W,(2+1)2-2+5,有功=5为奇数.答案：A【例9】若将尸才。绽开为多项式，经过合并同类项后它的项数为()A.1.1.B.33C.55D.66分析：(田产4"看作二项式(x+y)+门"绽开.解：我们把2/Z看成(2加Z,按二项式将其绽开，共有11“项”，即(+严切°=IO(+V)+ZT0=j;Cf1.1.(xj1.0-kzk.A-O这时，由干“和”中各项Z的指数各不相同，因此再将各个二项式(AMmT绽开，不同的乘积CM2方。-/(ho,1,，10)绽开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积CM2y°-*("=o,1,，10).其中每一个乘积绽开后的项数由(x+切。T确定，而且各项中X和尸的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式绽开后的总项数为11+10+9+1=66.答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.【例1。】求（Ix+1.-2户绽开式中的常数项.1.-r分析：把原式变形为二项式定理标准形态.解：.（x+1.-2）3=（M-Y）6,，绽开式的通项是1=cf,（d）6-七F=(-1.)y，向)6-2r.若容I为常数项，则62广0,r=3.绽开式的第4项为常数项，即7；=-C；=-20.说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解.【例11】求（6-玄P绽开式中的有理项.分析：绽开式中的有理项，就是通项公式中X的指数为整数的项.解：.=c;（由-I-，尸（一1）。芳.令哼£Z,即4+之：£Z,且尸0,1,2,，9.66/.r=3或r=9.当尸3时，4,。=(-1)3c*=-844.6当尸9时，=3,7'io=(-D9C=-.O.（«一爪）9的绽开式中的有理项是第4项一84/,第10项一说明：利用二项绽开式的通项可求绽开式中某些特定项.【例12若（3x-1.）7=a77+a66+aj+a0,求团+处+%；2a+a3+a5+a7;氏+82+&+%.分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特别值”法，整体解决.解：令*=0,则同=-1,令*=1,则a7+a6+a1+a0=27=128.a+为+a7=129.(2)令k一1,WJa7+a6+a5+a4+a3+¾+Si+a0=(-4)7.由今生得：闭+肉+检+生128-(-4)7=8256.(3)由色券得ao+a2+a4+a6=;128+(-4)7=-8128.说明：(1)本解法依据问题恒等式特点来用“特别值”法,这是一种重要的方法，它用于恒等式.一般地，对于多项式0M=(px+0"=(ao+a2a2A2+a3A"a4"+as+a6A6+的7,各项的系数和为以1),4M的奇数项的系数和为:01)+0-1),的偶数项的系数和为:D【例13】证明下列各式(1)1+2C+4C+211-1C,+211CZ-3n;)2+(。产+(C：)2=。，；C!,+2C：+3C：+Z2C:=/22-1.分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以探讨它的通项J求规律.证明:在二项绽开式(a+W=Ca"+C,6-Z>÷CjT1.2zz2+.+c：TaZyi+C："中，令",6=2,得(1+2/=1+2C；+4C：+2"-(7+2：,即1.+2Ct+4C;+2"TC:t+2"C；=3”.(1.+M"(1.+T=(1.+M2n,.(1+C!,a+C=2+Cir+M(1.+C：x+C：X+C,x+n)=(1.+)2n.而C1.,是(1+)2"的绽开式中k的系数，由多项式的恒等定理，得c：c：+c;ct+c!1.c:-'+c：c®=c".VC；=C：-W,On,(CJ2+(CJ2+-+(CJ2三C:,证法一：令由C：+2C：+3C：+nC>令S=C：+2C：+(11-1)C;-'+nC=jC(2-1)C,+2C+Ct=ZjC：+(A-I)CJ,+2C2+C,.由+得2S=p+0+nC:+nC：=/7(C：；+C；+C：+C：+C：)=A(C：÷C!,+C+C2+CJ=n2n.=n2rt-',UPC!1+2C+3C>+nC'n2n-1.证法二：视察通项：AC：=火/=湍募r心.原式=AC3+aC1.+aC3+C3+疣:二；=A(C1.+C3+C3+c3+Cw)=成”-1即C，+2C：+3C：+nC=112n-1.说明：解法二中比：=CS可作为性质记住.【例14】求1.997,精确到O.OO1的近似值.分析：精确运用二项式定理应把1997拆成二项之和形式如1.997=2-0.003解：1.9975=(20.003)5=25-C!s240.003+C210.0032-C220.0033+32-0.24+0.0007231.761.说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定绽开式中的保留项，使其满意近似计算的精确度.【例15求证：5广1-1能被7整除.分析：为在绽开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式.证明:515,-1.=(49+2)5,-1.=C'*1495,+C!1149502+-+C*：49250+C25'-1,易知除C；：2孔-1.以外各项都能被7整除.又2$】-1=(23产-1=(7+1严-=c»7,7+C：?716+C；7+C；-1.=7(C;,77,6+C:77,5+C!n.明显能被7整除，所以5/1-1能被7移除.说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其绽开后的各项均含有除式.创新篇【例16已知(*<+1/的绽开式的及终三项系数之和为22,中间一项为20000.求X.分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理精确表达出来，不难求解！解：由已知C：+C：t+C：7=22,J2+-42=0.又a£N',=6.北为中间一项，,=Ci3叼3=20000,即3叼3=1000.x1"=10.两边取常用对数，有=1,1.g=±1.,;.¥=10或X=说明：当题目中已知二项绽开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式,依据已知条件列出等式或不等式进行求解.【例17】设4M=U+Mm+(1.+M"(m,nN),若其绽开式中关于X的一次项的系数和为11,问m,A为何值时，含/项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：依据已知条件得到上的系数是关于X的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.解：C!v+C1=+2=1.1.C;+c=n2-m+n2-n)=,"+<11,VN.n=6或5,m=5或6时，/项系数最小，最小值为25.说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题.【例18若(A1.-2产的绽开式的常数项为一2。，求.X分析：题中x#0,当x>0时，把三项式(212转化为(4-3)2”;当XVo时，同理XVx(.5-2产=(-1尸(4-9)2”.然后写出通项，令含X的部指数为零，进而解出A.解：当x>0时，(*-2尸=(«一9严，其通项为北1=Ck(石产-J&),=(T)gn(6严巴令21.21.0,得A=r,J.绽开式的常数项为(T)R,;当XVO时，(A-2尸=(-1)(G-土产同理可得，绽开式的常数项为(-1)0无论哪一种状况，常数项均为(一IrC；”.令(-1)9,20.以加1,2,3,，逐个代入，得a=3.说明：本题易忽视XVO的状况.【例19】利用二项式定理证明尸TV7.3H+I分析：二7不易从二项绽开式中得到，可以考虑其倒数W.证明：欲证7V义成立，只需证TVWI成立.3«+122而0尸=(叫尸=c3+c>q+c3W+c>WT三i+zi>÷c1.i(1)2÷.+c-(1.r1fr+1>.2说明：本题目的证明过程中将转化为(1+：/7,然后利用二项式定理绽开式是耕决本问题的关键.【例20】求证：2(1.+i)n<3(N,).分析：(1+4)”与二项式定理结构相像，用二项式定理绽开后分析.n证明：当m1.时，(1.+-)rt=2.当力2时，(1+1=1+C：1.+C：4+CU-!-)11=1.+1.+C-V+C：(1.)n>2.nn/rn，rn又C：(、=曳吟苧山4JnkInk(n-)n所以(i+J)y2+!+1.+±<2+-+n2!3!”!I223=2+(1-；)+(：)+(-)223H-Iw=3-1.<3.n综E2(1.+-!-r<3.n说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式绽开，再采纳放缩法和其他有关学问，将不等式证明究竟.【例21】求证：对于an,(i+ir<(i+-i-r,.H/J+1分析：结构都是二项式的形式，因此探讨二项绽开式的通项是常用方法.证明：U+1.”绽开式的通项%=c;=冬Wrn=J_(-1)(2)(一厂+1)Tini二(1一，)(1-2)(1-i三1.)r!nnn(1+7产|绽开式的通项E=C3-7=1%11+1.(11+1.)r!(n+1.)1w(11-1.)(r-2)(-r÷1)=Ti7三-(1一)(1r-)(1-)r!'+1+1+1由二项式绽开式的通项可明显地看出Ta5E所以(1.+D“v(1.+-½尸说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有项相同.证明时，依据题设特点，采纳比较通项大小的方法完成本题证明.【例22设a、b、。是互不相等的正数，且a、b、C成等差数列，11N,求证：>2ZA分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以依据a、A。成等差数列创建条件运用二项式定理.证明：设公差为d,则a=b-d,c6dan+cn-2bn=(b-(fin+(b+cin-2bn=br,-C'nbr,-1d+C-y,-2cf+(-ir<f+C；ZXid+C；"-2+.+"=2(C;b,2(f+C!1.bf,-4dt-)>0.说明：由a、5C成等差，公差为a可得a=D-&c=6d,这就给利用二项式定理证明此问题创建了可能性.问题即变为(b-<T+(A”>2",然后用作差法改证(万一6"(方”一2ZX,>0.【例23】求(1.+2x-3/)6的绽开式中/项的系数.分析：先将1+2x-32分解因式，把三项式化为两个二项式的积，JP(1.+2r-3)6-(1.+3A)6(I-A)6.然后分别写出两个二项式绽开式的通项，探讨乘积项/的系数，问题可得到解决.解：原式=(1+3R6(i-M6,其中(1+3)6绽开式之通项为公“=C(1一刈6绽开式之通项为T1=CU-)r原式=(1+3R6”-a)6绽开式的通项为c：c；(-1)，3*亡，.现要使K1.5,又,"HO,1,2,3,4,5,6,re0,1,2,3,4,5,61,必需：；或仁:或仁对;国：或鼠故/项系数为C三30CU-1.)s+C1.3,Ci(-ir+CJ32C2(-1.)3+CJ33Cj(-ir+CJ34Ci(-1)+C：35C：(-1)0=-168.说明：依据不同的结构特征敏捷运用二项式定理是本题的关键.【例24】(2004年全国必修+选修】)(4与6绽开式中的常数项为()XA.15B.-15C.20D.-20解析：7=(-1.)rCU)6r=(-1.)rCj,÷,当1.2时，3-r=0,7=(-1)2C=15.答案：A【例25】(2004年江苏)(2a7)"的绽开式中4的系数是()A.6B.12C.24D.48解析：TkE-I)0(4)，F2力Jj1)20*2号,当尸2时，2+尹3,7-(-2)2C*-24.答案：C【例26(2004年福建理)若(1-2手绽开式的第3项为288,则Iim(J+1)"*XxXn2.解析：人=(-1)。(2*=(-1)。23当尸2时，=(-1)2C22三288.Iim(1+4+)=-=2.,I答案：A【例27】(2004年福建文)已知以一)8绽开式中常数项为1120,其中实数a是常数，则X绽开式中各项系数的和是()A.28B.38C.1.1.38D.1或28解析：*=(-1)9；/-噌)(一旬9；/-2,，当尸4时，TH-WC：=1120,.田±2.X有函数/(M=(X9)8.令¥=1,则U)=1或3KX答案：C【例28(2004年天津)若(I-2力2。4=殳+邑*+如+÷¾0042,(xeR),则(Sq+3)+(3()+S2)+(+%)+(为+与2004)=.(用数字作答)解析：在函数而)=(1一2研初中，4O)=3o=1,小产前+闭+为+42004=1,(ao+a1)+(ao+¾)+(ao+¾)+(¾+¾4)=2OO4ao+a1+a2+22004=2OO3ao+ao+a+a2+2004=200340)+41)=2004.