教学设计：空间向量的直角坐标运算.docx
空间向量的直角坐标运算教学过程：一、复习引入：1 .平面向量的坐标表示分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量T、j作为基底任作一个向量G,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得。=J+9把(x,y)叫做向量值的(直角)坐标，记作Va=(x,y)3其中X叫做5在X轴上的坐标，y叫做)在y轴上/：的坐标，特别地，7=(1,0),J=(OJ),0=(0,0)八2 .平面向量的坐标运算5f；一若=(x,y),b=(x2,y2)f贝J2+B=(Xl÷x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),d=(x,y)若A(X,y),B(x2,y2),则AB=(x2-xl,y2-J)3 .a/b(B的充要条件是xy2r2y尸04 .平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量2=(x,y),h=(x2,y2),试用不和石的坐标表示展B设；是X轴上的单位向量，/是y轴上的单位向量，那么a=xj+yj,b=x2+y2j所以万石=(j+ylj)(x2i+y2j)=X1X2F2+xlyj'J+x2yJ'J+My2产又；.f=l,JJ=T,Ij=JF=0所以展B=xlx2+y1y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和5 .平面内两点间的距离公式(1)设M=(X,y),则2=+v或Ial="2+y2(2)如果表示向量力的有向线段的起点和终点的坐标分别为,必)、（/，当），那么Ial=J（XI-工2）2+（必一必尸（平面内两点间的距离公式）6 .向量垂直的判定设=（再,y）,b=（x29y2）f则五_LB<z>x1x2+y1y2=7 .两向量夹角的余弦（06万）CoSVa,b>=C05=-=I2W历后正透8 .空间向量的基本定理：若0区2是空间的一个基底，万是空间任意一向量，存在唯一的实数组x,y,z使p=m+）3+zc.二、讲解新课：1.空间直角坐标系：（I）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用7,%表示；（2）在空间选定一点。和一个单位正交基底7JJ,以点。为原点，分别以17,%的方向为正方向建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系。-孙z,点。叫原点，向量都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为Xoy平面，yz平面，ZQr平面；（3）作空间直角坐标系O-孙Z时,一般使ZXOy=I35。（或45）,ZyOz=90；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴的正方向，食指指向），轴的正方向，如果中指指向Z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立则存在唯一的有序实数组（q,%,%），使= qi + % j + %E ,有序实数组(q,生，”3)叫作向量在空间直角坐标系O-孙Z中的坐标，记作a=(ava2,a3).在空间直角坐标系。-g，z中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使土5=±+H+zE,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系。-AyZ中的坐标，记作A(X,y,z),X叫横坐标，y叫纵坐标,Z叫竖坐标.3 .空间向量的直角坐标运算律：4 .向量夹角与长度的坐标计算公式(1)若=(1,2,03)，b=(bl,b2,b3)，则Ia=aa=b=yjil>=cos(ab=.、'ab(2)若AaPyl,Z1),5(0必小)则AB=AB=三、讲解范例：例1.已知Q=(1,1,0),B=(0,1,1),C=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-ct求:万石,pq.例2.已知向量。=(一2,2,0),B=(-2,0,2),求向量使J_,且J_B。例3.已知41,1,0),3(0,3,0),。(2,2,3),求：(1)(福,/)；(2)就在而上正投影的数量。四、课堂练习:同理确定y、z的符号，这1. 已知ABCDABCD是棱长为2的正方体，E、F分别是BBl和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。分析：要求点E的坐标，过点E与X轴、y轴垂直的平面已存在，只要过E作平面垂直于z轴交E点、,此时x=|DA,yI=DC,z=DE,当QA的方向与X轴正向相同时，x>0,反之XV0,样可求得点E的坐标。解：D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C,(0,2,2),D1(0,0,2),E(2,2,1),F(0,1,0)2. 已知a=(2,3,5),b=(3,1,4),求a+b,a-b,8a,ab解：a÷b=(2,3,5)÷(3,1,4)=(1,2,1),ab=(2,3,5)(3,1,4)=(5,4,9),8a=8(2,-3,5)=(16,-24,40),ab=(2,-3,5)(3,1,-4)=-6+(-3)+(-20)=-293. 在正方体要ABCD-ABCD中，E、F分别为BB】、CD的中点,Z求证：DF_L平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则AD=(-2,0,0),5=(0,1-2),而用=(-2,0,0)(0,1-2)=0.D1FlAD又Z=(0,2,D,AEDF=(0,2,1)(0,1-2)=2-2=0.DF±AE1D1F±AE,XDE=A,.'.DFL平面ADE本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定原点的坐标为(0,0,0),X轴上的坐标为(x,0,0),y轴上的坐标为(0,y,0),Z轴上的坐标为(0,0,z).要使一向量a=(x,y,z)与Z轴垂直，只要Z=O即可事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为0。五、小结:1 .空间右手直角坐标系的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标；2 .掌握空间向量坐标运算的规律；3 .会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4 .会用中点坐标公式解决有关问题5 .用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标一向量点的坐标化f向量的直角坐标运算六、课后作业：七、板书设计(略)八、课后记：教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；点的坐标与向量的坐标-般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时.有向线段终点的坐标与向量的坐标相同.这一点务必向学生讲清楚.；明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标f向量点的坐标化f向量的直角坐标运算巩固空间向量数量积的概念；
