人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法（教师版）.docx

证明不等式的基本方法教学重点：句(比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法：教学难点：理解放缩法的解地及应用.1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数“与人的差或商的符号(范圉确定“与人大小关系的方法，即通过“a->0，a-b=Oa-b<()t或-=1,<1”来确定”.力大小关bhb系的方法，前者为作差法，后者为作商法.2、分析法：从求证的不等式动身，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的向题转化为证明这屿条件是否具备的问题，假如能弊暗定这区条件都己具备,那么就UJ以划定所证的不等式成立这种方法叫做分析法.3、综合法：从已知或证明过的不等式动身，依据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做琮合法。4.反证法：从否定结论动身,经过逻辑推理.导出冲突.证明结论的否定是错误的.从而确定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必需将命SS结论的反面的各种情形一一导出冲突这里作一筒洁介绍。反证法证明一个命处的思路及步骤：1)锻定金司的结论不成立：2)进行推理,在推理中出现下列状况之一：与已知条件冲突；与公理或定理冲突：3)由于上述冲突的出现,可以断古，区来的旧定“结论不成立”是错误的；4)确定原来命题的结论是JE确的。5.放缩法：放编法就是在证明过程中,利用不等式的传递性.作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代杵原不等式的证明.放缩法的目的性强,必需恰到好处，I可时在放缩时必衡时刻留意放缩的跨度，放不能过头，缗不能不及.否则不能达到目的。类型一I比较法、分析法和除合法去证明不等式例1.求证：*1.+3>3x解析：.+3)-3x=a2-3+(一)i-(一)i+3=(.V-)2+->O2224x2+3>3x答案，见解析练习】.已知,b,m都是正数，并口。<b.求证：二/>+nb-ajrtnab(a+n)-a(b+nr)m(b-a)答枭：=b+mb励+1)b(h+m).°b,m都是IE数，并且<b,.b+m>O,b-o>Q二迹2>0即：1.>(b+m)h+mb练习2.已知,b都是正数,并且。WE求证：oi+bs>j*2答案：(o5+bs)-(2bj+o3b1=(s-aibi)+(bs-a2bi)»5(2-b2)-b5(o2-b2)三(2-b2)(,-bi)=(o+b)(o-b)2(2ob+b2),.0,8都是正数，0+6,0'+岫+>0又.Hb,(-b),>O(*6K-6)V+b+b,)>0Whos+s>aibiaib2例2.已如。，b,c是不全相等的正数，求证：解析：'：bz+c22fec,>0,J.a(b2+c2)2obc同理b(c2+ai)2abcc(a2+bz)>2obc因为,b.C不全相等.所以从+<?22c2+a22ca,滔+从N2ob三式不能全取“”号，从而、三式也不能全取“一号.答案：见解析.练习3.已知。，b,C郴是正数，且。，b,c成等比数列，求证：,J+/(-/,+,N答案；左一右=2iab+bc-ac)Vorb,C成等比数列，b2=ac又.o.b.C祐是正数.所以0<Z)=痴<W±v4+c例3.求证JJ+7<2有解析：因为J5+7和2石都是正数，所以为了证明J5+7<2J5只需证明(6+、5<(2石/艇开得10+22<20即2向<10,21<25因为21<25成立，所以(6+"尸<(25f成立即证明白J5+、厅<2、疗答案:见解析练习4.已知a,b1.c,dGR,求iEoc+WJ(a2+b2)(c2+d2)答案：U)当0c+6M0时，明皿成立(2)当ac+3>0时,欲证原不等式成立.只需证(0c+儿/(<?+/)(/+，)即证a2c1+2abcd+b'd'<a'c2+a'd'+b'c'+b2di即让2.t,dbc'+a'd'即证O(尻-"")2因为a.b.c.dR.所以上式恒成立，综合(1)、(2)可知：原不等式成立.类型二：反正法和放编法证明不等式例4.若Q1b,c,dwR*求证：解析：(用放缗法)记m-J+;-+-+-a+b+db+c+ac+d+bd+a+cVo,b.c,d三R,1<m<2即原式成立答案；见解析练习5.当。>2时,求证：Iog11(”-DIog115+1)<1答案：(用jWf½)Vn>21.ogn(11-1.)>0.1.ogn(11+i)>0；.”>2时，1.og/n-1.)1.ogn(z»+1.)<1.例5.设O<o,b,c<1.求证：(1-。也(1-b)c,(1.-c)o,不行能同时大于4解析：(用反证法)设(1.-Q)b>1.,(1.-b)c>1.,(1.-c2>1,444则三K相乘：(1.-o)b(1.-b)cU-c)>一64r+又.O<a,b.c<1O<(1.-)"""=2J4同理(1一方仍1.,(1.-c)c1.44将以上三式相乘(1.-)o(1.-b)b(1.-c)c-J-此与冲突64(1.)6z(1.b)c,(1.),不行能同时大于一4答案：见解析练习6.已知G*b*c>O,ab÷bc+co>0,GbC>0,求证：orb,o0答案：(用反正法)设。<0,Vbc>0,bc<0又由÷b+c>0,则b*c>->0:ob+be+c=cr(b+c)+be<0此与题设冲突又若o=0,则与ObC>0冲突，必有。>0同理可证b>Q,c>01 .设o,b,d(1)求证：va'+b?*1.S+0)2(2);代证：+b2+2+C2+7c+<>2(a+b+c)(3)若。bn1,求证:(2)同理：v*+c2-(b+c).c2+2-(c+a)22三式相加：+'+yb+c2+Vc2+f2(+>+c)(3)由部平均不等式:2.o,b,ccR,求证；(1)(+Z>+e)(-+-+-)9abc1119(2)(«+c)(+)-a+bb+cc+a2(3)b+cc+a<+b>1-2两式相柒即得答案：(1)法ra+b+c3iai×,法二：左边=+a+b+ca+b+c方3+2+2+2=92 2)V+等+-(a+b)+c)(,c+c)3：两式相乘即忠(+8)S+c)(c+a)(3)由上感：(+b+c)(-+-+-)-a+bb+cc+a2a+bb+cc+«2b+cc+ta+b2答案：(用放缩法)4<1.一2nrt(n-1.)n4 .设>,yu,=：+),b=*+?,求证：o<b1+x+y1+x1+y答案：放缩法：f=X+)'4+?21.-1+x+y1+X+y1.+x+y1+x1+y5 .若x,y>O.f1.x+y>2,则上工和土土中至少有一个小于2Xy答案；反证法：设上2,2Vx,y>O,可得x+y2与x+y>2冲突X>'巩固1.设bwR3求证：a''bh(ab)>a,ba答案：作商：-=-b2=);(ab)2a-b当o:b时，()2=II“-6当>b>O时，>1,>0,(方丁>13 .设Ovo,b,c<2,求证：(2。尼(2-6)0,2-4也不行能同时大于工答案:反证法：(2-)c>1.,(2-b)o>1.,(2-c)b>1.M(2-)c(2-b)o(2-Gb>1.(D又因为没0<,b,cv2,(2-)(2-)+«同理(2-b)bJJ2-C)Cwi,所以(2-aM2-b)a(2-GbW1.此与冲究.4 .证明k>g,5-1.)1.OgBs+1)<1*(-D25.已知x>0,r>0.2.壮产1.求证：-+-3+226.求证3+C<2+T-+-3+22Xy答案：放缩法：k>g(M-1.)1.ogw(M+)答案：9+6>0.>+7>0为了证明原不等式成立，只需证明（向+正尸（次+即15+2宿<15+2病,只需证明病<A,54V56.54v56成立7.设a、b、C是三角形的边长，求证原不等式成立÷+>+c-c+a-ba¥b-c答案：由不等式的对称性，不妨设“N>c,则“+-<且2c-“O,2a-b-cO8 .若a>力>c,则1.+-oa-bb-cc-a答案：r+-:2,>2a-bb-c(a-bb-c)a一b)+(h-c)a-c9 .证明-+n1.i+1n+2+>1(HGR*,n2)I1.答案：左边>-4f+f+nftr10.证明！*一+一2f+1.n+2答案：一n2nz+1.n+2+.+±.n<12nn+1U.1.a,b,c>O,且cr2+板=c2,求证；on+1.f<c(>3,ncR,)答案：虫HE）=1.又。Y）土）,电吧HgH沪冏=5+"12 .若O<x<1.,证明|k)g“aTj|>|bg“(1.+x)|(a>OH,aI)答案：1>当”>1.时，因为OV1.-XVU+x>1.,所以Qg°(DHbga(I+刈(2>当O<<1.时，因为0<1.-v1.,1.+x>1.所以IIOg式I-X)HIOga(I+到综合(I)(2)Iog(1.-x)>fogt1.(1.+).13 .½>>O.求证：aahf'>af,b''.答案：喏=（'）5"又.abbu>O,14 .对于随意实数a、b.求证上Q（空4）（当且仅当=%时取等号）22答案：*./+Z2/（当F1.仅当/=从时取等号两边同加(4+):2(a,+b1.)(«-+y,即：啜2（啜/<1)又：,；a2+b2Iab（当且仅当“=6时取等9）两边同加(.a2+2):2(ai+b2)(a+b)2(2)由（1）和（2）可得也（j）'（当F1.仅当=时取等号）.2215 .已知a、b-ceR'.a+b+c=»求证一+1+9.abc答案：+6+c=1.，+袅2、降2,同理：£+&2,£+，2。ab(1bacbC实力提升II2S16 .已知”.>g,a+b=.求证：(+->+(+尸21.答案：,."a+b=1=(«+b)z=a:+b2+2ab2(az+h1)又,*'，+*=（"+，）?（，+）X2Cy=817 .甲乙两人同时同地沿同一路途走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，先一半时间以速度行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度”行走，假如mn,问：卬乙两人谁先到达指定地点？答案：i殳从动身地到指定地点的路程为S.甲乙两人走完全程所需时间分别是tifh.n.1.1.f1.t1.CS,S2SS（，+）则：?+n=S,+=r,可得：Z1=,2=-i222m2mm+n2mn。都是正数，JImHn,11P:t<ta从而：卬先到到达指定地点.18 .证明：通过水管放水，当流逑相同时，切如水管截面的周长相等，那么鼓面是19的水管比我面是正方形的水管流量大答案：设限面的周长为1.依时近限而是回的水管的赦向的海为了（上尸.敌面是正方形的水管的截面面积为（5,所以本魄只苗证明”（2）2>心）242114为了证明上式成立，只需证明吗>与4,16两边同乘以IE数二，fi1->-1.114因此.只需证明4>”上式是成立的，所以m*>>（q）2这就证明白，通过水管放水.当流速相同时，假如水管搬面的周长相等，加么於面是圆的水管比搬面是正方形的水管流盘大.19 .已知>b>c.求证：+>0a-bb-cc-a答案：三W-.（分析法有写过程）为了证明一+一+一>0a-bb-cc-a只须要证明v+一>一a-bb-ca-ca-ba-cb-cT+一一一成立a-bb-ca-c+5+>o成立a-bb-cc-a证明：；(综合法书写过程)-1.>oa-b-cb-c1.+1.>,1.成立a-bb-ca-c-+F->0成立a-bb-cc-a20.若4>0,>0,且2。>“+，求证；c->c2-ab<a<c+c2-ah.W茜证-<r-<i1.)<a-c<Jc2-Ob.即证"c<c2-ab.也就是("C-IWiEa2-2ac<-ab.即证2c>(+b),/c>>,故c?>“即有I一。>0,又由2c>+Z>可得2ac>”(+b)成立，所求不等式C一右-ab<a<c+Jc2-ab成立.