人教版高数选修4-4第2讲：参数方程（教师版）.docx

参数方程1 .r解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2 .会选择适当的参数写出曲线的参数方程3 .驾驭参数方程化为一般方程几种基本方法4 .了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5 .利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1. 慑地，在平面总角坐标系中，锻如曲践。上任一点的坐标A-和F都可以衣示为某个变及F的函数:1 ='"）：反过来，对于f的年个允许值,由函数式="”所确定的点PUM都在卜=8“）Iy=Sa）曲战C上，那么方程】=""叫作曲雄C的参数方程，变IIU是卷变数，简称参数.相对于参数方y=）程而言，干脆给出点的坐标间关系的方程叫做皎方程，多数方程可以转化为收方程.2 .关于参数的说明.参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义.3 .曲线的参数方程可通过消去参数而得到一般方程：若知道变数人.，中的一个与参数F的关系，可把它代入一般方程，求另一变数与参数f的关系，则所得的F="”,就是参数方程.二例的参数方程点P的横坐标Xx纵坐标y都是t的函数：I=rC°S/（t为参数）.Iy=rsnr我们把这个方程叫作以硼心为原点.半径为r的网的参数方程.一的BS心为Oi为，b）,半径为r的圆的参数方程为:x=+rc0s/(y=fe+rsin/'V"IX三Costf三 .椭冷+产MQb>°）的参数方程为（y=MnJ°为参数）.现定«的范围为。GM2x）.这是中心在除点0、焦点在X轴上的椭圆参数方程.四 .双曲必一3=I的参数方程为（为参数）.规定的范用为4>C0,2n）,abIy=Nan夕Hy.6好.这是中心在原点，焦点在X轴上的双曲线多数方程.x=2pt2.五 .曲成C的参数方程对C（I为参数，IER）其中P为正的常数.这是焦点在X轴正半1.y=2pt轴上的抛物戏舂数方程.六 .H线的参数方程1.过定点Mx,.>Q'倾斜角为。的在线1的参数方程为*"8""（t为参数3这一形Iy=V0+zsn式称为宜找参数方程的标准形式,直线上的动点M到定点虬的距禹等于参数t的商定值.当tAO时,讪I的方向向上：当IV。时，示1的方向向下；当点M与点WHi合时，t=0.2,若出城的参数方程为一般形式为：x=x.+at.,（t为参数），b,=y+bt可把它化为标准形式：（'=t"+，,COsa（t,为参数.y=y1,+Zsn兵中是宜线的倾斜角.tan。=±此时参数t'才有如前所说的几何意义.a类型套数方程与一般方程的互化例h指出参数方程F=:":1"为参数，0VV.）农示什么曲线y=3sm八"WM=H（。为参数）W9.y=3sm"又由0<0<y,如0<xV3,0<y<3,所以所求方程为+y=9（0<x<3且0<y<3）.这是一段曙孤（圆/+y'=9位于第一象限的部分）.答案：这是一段酸儿（圆x'+y：=9位于第一象限的部分）.Zh指出参数方程.2+,nH为参数OW"26表示什么曲线*E方叱W常(为参数)得Cr-3)'+(y-2>=15',由OW"V2知这是一个整Ia弧.答案I一个整圆也（=1+j例2>设直线1的参数方程为f'（f为参数）,直线/：的方程为产3r4,则/.与/：间的距）=1+3，离为.解析：由条件知，在h中令1=0,则得坐标为（I,1）.由点到立线距离公式得1、与心距离为：答第乎W2*若直线I:1"="2'）为参数）与且践AJ*=“（S为参数）垂直,则_.y=2+A（y=1-2?解析，由/前去参数，纵y=-gx+2+”率为今由心消去参数S得，y=1.-2r,斜率为-2.V两直线垂直.（一2）（一2）=T,得Q1.答案：-1类型二.曲线弁数方程例3：已知点P（,y）在曲观厂=-2+cos'。为参数）上,则1的取值莅困为.y=sinffXIV74-COSC/VV解析：曲跳一.八（e为参数）是以（-2,0）为圆心,以1为半径的圆,设上=4,求上的取值y=sm6?xx范围,即求当£1践片权与圆有公共点时k的取伯范I队JTJ7如图22£）结合圆的几何性质可得-苧Sk.故填-3-,彳答案Tw苧V2COS9修习1：己知点A（1,O）,P是曲线一'/Ow册上任点,设P到直畿/:y=-4的距离为,y=1.+cos2<?2dJ!'JPA÷d的最小值是*r>y=1.+cos26=2cos2"消去嫡Y=2y(0y2)其图像是一段枪物线弧如图22-61.F(0.-)是它的2焦点，是准线,d=PF,当A.P.F:点共税时,|，川+4最小,其他是IAF例4：已知。为参数,则点(3,2)到方程,w*C1.">>C211-八,的矩离的最小值y=sin”.,的距离的坡小值是y=SinO解杭把卜C吗,化为一般方程为+/=1.,fi1.f以点(3,2)到方程.y=sin是11T.答案：3-I.练习>已知例C的参数方程为F=o°sfe为参数),则点p<4"州IC上的点的最远即离y=SinO是,解析，由x=8S"：1,得*一)2+),2=,则点pg*)与圆C上的点的最远距离是y=sin(4-1.)2+42+1.=6答案i6例5：已知双曲线方程为x2-r=1.M为双曲线上随意点.点M到两条渐近线的即离分别为d和d2,求证:d与心的乘积是常数.答案i设d,为点M到渐近线y=x的距离，d：为点Y到渐近城y=一的距离，因为点M在双曲线x'-=1.则可设点M坐标为(SeCa,tana).Iseca-tanad，=2,seca+tanadd-2；isec20-ian2a=?故5写出的余权是奇数.练习1：相参数方程.t+=（t为参数，a>0,b>0）化为一般方程.（J类垂三,直线数方程例6.曲线Gj"=+""''（0为参数）上的点到曲城Q:y=sn.最短距离为.解析，GJx="Cm"nGr-D2+y2=1;则圆心坐标为（Imy=Sin6/=-2V2+-/.12（t为参数）上的点的y=1-r由点到直线的距离公式将B1.心到直线的距禺为G1+22-1.=2,所以要求的最短距离为d1三1.答案：1x=2+3t,D.22*1U-1.+t”为参数）上对应9,E两点间的距离是（A.1B.iC.10IM后依据点到H线的距小公式UJ以得出结果.答案，BX=TJeOScrV=Sintz类型四.曲线ft方程的应用例7,在n角坐标系MK中，n战I的方程为1.j+i=o,曲践C的参数方程为为参数）.(I)已知在极坐标(与立角坐标系MJy取相同的长度胞位,且以原点。为极点,以X轴正半轴为极轴)中，点的极坐标为&7)-推断点户与宜线，的位盥关系：(2)设点Q是曲线。上的一个动点,求它到直线/的距禹的最小值.解析：(1)把极坐标系下的点41，3)化为直角坐标,得P(0,4).因为点P的出角坐标(0.4)满意直线1的方程-y+4=0.所以点P在电线1上.(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为小cos.sin),从而点Q到直线1的距离d=ScosFi"J1.Wjr*1.gsOC当COS(+3)=-1.时，d取得独小值，且最小伯为答案，(1)点P在省钱1上.(2)以小值为练习It己知曲线C的方程为IX=I(e,+e,>4COS°r=-(ee)sinOa当r是非零常数,。为参数时.C是什么曲线？当。为不等于与(*GZ)的常数f为参数时.。是什么曲线？两曲线有何共同特征?答案I当。为参数时，将原参数方程记为.将参数方程化为COSSin>平方相加消去平平.(e+e-*)2>(e'-e')2>0.方程表示的曲税为椭圆.当t为多数时，构方程(匕为VC2y,1.11ree-平方相M,消去I,%-7=1.方程表示的曲戏为双曲跳，即C为双曲战.又在方程中"-一，弓一)=1.则C=1.8%网的焦点为(-1.0).(1.0).因此帏圆和双曲线有共同的J点.类型五.横坐标与叁数方程的E合应用例8：在平面直角坐标系Xoy中,以原点O为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线fx=VG的板坐标方程为P(COS<+sin(i)=-2.曲戏G的参数方程为?啦J1.为参数人则G与G交点的且角坐标为,(x+y=-2A*曲线。的直角坐标方程为x+y=-2,曲线。的一般方程为y'=8x,由，c得：(y=8x3.所以C与C交点的直角坐标为(2,-1).y=-4答案：(2,-4)X=。+>t练习h求阅夕=3CoSe被直线-一'”足参数)极御的弦长.y=1.+4r解析：利极坐标方程转化成宜角坐桁方程：即“一尸+=J：可得2x-y=3.24Iy=1+4/.2-0-3所以同心到出线的即禹d=1.j2=022÷(-1.)2即直线经过留心,所以立线赧得的弦长为3.答案：3fx=2+sin2».1 .将参数方程,2"(。为参数)化为一般方程是()1.y=sn«A. y=-2C.y=-2(2x3)答案：CB. y=x+2D.y=x+2(0y1.)2 .椭圆（0为参数）的焦距为（）（y=1.+5sin,21B.221C.29D.29答案：Bx=e,-e'.3 .参数方程.（I为参数表示的曲戏是（）1.y=e+eA.双曲线B.双曲线的下支C.双曲践的上支D.If1.I答案IC4 .双曲线F=2+'an'J。为参数）的渐近线方程为V=sec答案Iy=±J（-2）5 .在宜角坐标系,丫0，中，口战的多数方程为一'（f为参数）.以原点0为极点，以X轴y=A+1的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为P=4in（"+?）则比线/和曲线C的公共点有个.M16 .若真线3x+4y+m=0与=（。为参数）,没有公共点,则实数m的取值范困是Iv=-2+sn6>答照().o)(i+co)7,在宜角坐标系XOy中,以原点。为极点,，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程x=t'为PCoSo=4的点线与曲线二；（t为参数）相交于A.B两点.则IABI=.M>168.已知宜线/：3x+4.v-12=0与网cft=:为参数）,试推阍它们的公共点的个改（y=2+2snd答黑圆的方程可化为（x+1）2+（."2）2=4,其KI心为-1,2）,半径为2.由于Ia心到直线/的距离故直线，与同C的公共点个数为2.9.求直线=2+r.y=瓜（t为参数）被双曲线X?极得的弦长答案I把直线'-'为参数）化为一般方程为y=3+23.V=3r把它代入双曲线方程并整理得,设H线交双曲戌T-A（x1.,y,）,BcJ,y2）两点,则直战被双曲线截得的弦长基砒巩固1 .当参数"改变时，动点P(2cos0,3sin。)所确定的曲线必过()A.点(2,3)B.点(2,0)C.点(1,3)D.点(0.答案：B2 .双曲纹卜=2底an/为参数)的两焦点坐标是()(y=6secctA.(0.-3),(0.13)B.(-t3.0).(43.0)C.(0.-3),(0.3)D.(-3.0),(3.0)答案：A月=Sin-+cos-.3.参数方程22为参数)的一般方程为()y=2+sinaA./-=1B.-=1.C./-=1(!2)D.-=1.(x2)答案ICx=COS20.1.参数方程.，A(0为参数)表示的曲线是()Iy=SI1.r0A.宜战B.Iff1.C.线段D.射战答案：CIy3cos.5 .设。是叫二疝a的中心是椭圆上对应于0=了的点加么酸”的斜率为（A坐B,5C.乎D呼答案ID6 .将参数方程=：（0为参数）化为一般方程是.y=2Sma答案1（XT尸+/=47 .点P（x,y）在麟回4x'+=1上，期x+y的M大值为.城小侑为.答案I5x=1.+s»8 .在平面直用坐标系中，己知立线I与曲线C的参数方程分别为I：,（S为参数）和C：iy=-s,（t为参数）,若1与C相交于A'B两点,则IAB1.=.1.y=r答案I2实力提升9 .点（2,35对应曲线；：；（I为参数）中参数'»的值为（）A.kn+（kG2）B.kx+；OtGZ）b3C.2kn+（kZ）D.2k11+（kZ）oJ答熹D10,桶%+=1.的点到直找x+2y-4=0的距离的最小值为（）A.雪B.y/5D.0答案IAx=2-t.（I为参数）被圆X2+/=4截得的弦长为.y="1+?答案I11IIr=3三3cos012 .在平面宜角坐标系入。中，若/：U为参数）过桶国G、.八（。为参数）的1.K=ray=2sn右旗点,则常数a的值为.售热313 .已知在平面H角坐标系M，中圆。的参数方程沏卜=6+3c<"（0为参数），以Z为y=1.+3sin"极轴建立极坐标系,宜城极坐标方程为：PCOS+W)=O,则网C限直线所得弦长为解析I圆C卜=6-3c5"(q为参数)表示的曲线是以点(#,1)为圆心,以3为半径的圆,y=1.+3sin?利直线PCoS(O+卷)=0的方程化为5-y=O,用心(小,D到直线小x-y=O的距离:3×31(3)'I2故BIIC裁宜线所得弦长为2FK=411214.将同x'+=1.上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍.得曲线C(I)写出C的参数方程:(2)设宜城1：2x+y-2=0与C的交点为R.P：,以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.求过线段PR的中点且与1垂直的电线的极坐标方程.答案：(1)设(x“山)为网上的点，羟变换为C上点(x,y),依照您，得一：'由x；+y；=1.y=2y,得x'+()2=.即曲线C的方程为+=1.Ix=Cost,故C的参数方程为尸%na为参数).2x2+=bx=1.IM4解价V=O2x+y-2=0X=Oy=2.不妨设PN1.0).P,.(0,2),则线段PR的中点坐标为七，1).所求直线斜率为k=.于是所求H线方程为y-1.=gx-，化为极坐标方程并整理得2pcos0-4PSinO=-3,即P4sin02CoS0