人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法（学生版）.docx

证明不等式的基本方法教学重点：句（比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法：教学难点：理解放缩法的解地及应用.1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数“与人的差或商的符号（范圉确定“与人大小关系的方法，即通过“,，a-b<Oi或g>1,-=1,乌<1”来稳定,b大bbb小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法.2、分析法：从求证的不等式动身，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的向题转化为证明这屿条件是否具备的问题，假如能弊暗定这区条件都己具备,那么就UJ以划定所证的不等式成立这种方法叫做分析法.3、综合法：从的不等式动身，依据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做琮合法。4.反证法：从结论动身,经过逻辑推理,导出冲突,证明结论的否定是描误的.从而确定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必需将命遮结论的反面的各种m一一导出冲突这里作一筒洁介绍。反证法证明一个命处的思路及步骤：1）锻定命题的结论不成立：2）进行推理,在推理中出现下列状况之一：与已知条件冲突；与公理或定理冲突：3）由于上述冲突的出现,可以断古，区来的旧定“结论不成立”是错误的；4）确定原来命题的结论是JE确的。5.放缩法：放海法就是在证明过程中,利用不等式的性,作适当的,证明比原不等式更好的不等式来代普原不等式的证明.放缩法的目的性强,必需恰到好处，同时在放缩时必御时刻剧意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的.类型一I比较法、分析法和除合法去证明不等式例1.求证：2+3>3x练习1.己知,b,m都是正数，并且。<b,求证：gf>Nb+nb练习2.已知,b都是正数，并且。/b,求证：0+a>s+W例2.已知。，b,C是不全相等的正数，求证：练习3.已知.b.C都是正数.且。,b.C成等比数列.求证：a2+b2+c2>（a-b+c）2例3.>Rif3+7<25练习4.己知a,b,c,deR,求证:oc+"Wy(r+Z>")(c2+J')类型二I反证法和放缗法证明不等式例4,若。,b,c,de*,求证：练习5.当。>2时,求证：k>g1,(-1.)1.og(rt+1)<1例5.设。<o,b,c<1.求证：(1-。也(1.-b)c,(1-c)。,不行能同时大于:练习6.已知b+c>0.0b*bc+c>O.obc>0.求证：a,b,oG1 .设。也CeR.(1)求证：2+bz-(w+Z>)(2)求证：a'+h'+Z>'+Jc2+«'2(+b+c)(3)若。+6=1,求证:2 .a1.b,ceR,求证：(1)(+Z>+c)d+19abc19(2)(+)+c)(-+-+)-+b+cca23 3)+b+ccaa-b+<23 .求证：+I22232X-f-VXV4 .设x>O,y>O,=-,ft=+,求证：o<b1+>t1+x1+y5.若x,y>0,且x+y>2,则匕上和匕2中至少有一个小于2基砒巩Ia1.设o,bcR,求证：aabh(ahfra"ba2 .证明1g91.g1.1.v1.3 .设<o,b,c<2.求证：(2-Qk(2-b),(2-c)b,不行能同时大于14 .证明1.og<"-D1.ogn5+D<1.5 .已知x>O,y>O,2-+y=1.,求证：-+-3+22Xy6 .求证3+?<2+"7 .设a、b、C是三角形的边长，求证”+3b+c-ac+a-ba+b-c8 .若给杨¢,则一+一+一Oa-bb-cc-a9 .证明+-+->1(R,tt2)nj+1n+2n10.证明:M211+1.+2C1.a,b,c>O,且2+b2=c2,求证：on+bn<cn(n3,neR,)12.若o<x<,证明ggi1.-x)>Mg,+x)(”>o且“hi)13.iSta>b>O,求证：aW>514 .对于Rfi意实数a、b,求证二7二）'（当口仅当=）时取等号）15 .已知a、b-ceR.+,+c=1.,求证一+工+129.abc实力提升II7516 .己知".Z>g,a+b=,求证：（a+-）?+（+f2ab217 .甲乙两人同时同地沿同一路途走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走：有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速僮“行走，假如mn,问：甲乙两人谁先到达指定地点？18 .证明：通过水管放水.当流速相同时,©如水管截面的周长相等，那么裁面是即的水管比裁面足正方形的水管流量大19 .已知>>>c.求证：一+一+一>0a-bb-cc-a20 .若>O.b>O,且2c>+Z>,求证：c-yc2-ab<a<c+jci-ab.