人教版高数选修2-3第二章2.1随机变量及其分布（教师版）.docx

随机变量及其分布1 .理解随机变量的概念.2 .娴熟驾驭陆机变出的概率分布及其性质.3 .能娴熟应用两点分布.4 .能娴她运用出几何分布.1 .机交一般地,线如的机试验的结果.可以用一个变盘来表示,那么这样的变量叫做随机变量,通常用大写拉丁字母x匕式或小写布字母.，)等表示，而用小写拽丁字母X,八Z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.留意：(1)一般地，一个试脸敏如满意下列条件：i)试脸可以在相同的情形下重复进行：ii)试验的全部可能结果是明确可知的，并旦不止一个：iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能确定这次试抬会出现哪个结果.这种试验就是个随机试验，为了便利起见，也尚称懒.(2)所谓随机变量.即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系.这种对应关系是人为建立起来的，但乂是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中,函数Ax)的自变;&是实数，而在的机变量的概念中，珈机变M的自变业是试蛤结果.(3)一股状况b.我们所说的随机变量有以卜两种：假如的机变出全部可能的取优都能一一列举舟来,这样的随机变量叫做两散型随机变肽假如随机变房可以取某一区间内的一切值.这样的随机变Iit叫做连续型的机变衣.(4)试放型随机变破和连续型加机变盘的区分：离散鞭前机变呆和连续型随机变量都用来刻亘随机试脸所出现的结果，但二者之间又有在报本的区分：对于离散型随机变量来说,它所可能取的值为有限个或至多可列个,或者说能招它的可能取伯，按确定次序一一列出，而连续型Ki机变盘可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举.1 .1机交量的概率分布一般地.假定的机变显X有11个不同的取伯,它仰分别是A，X>,X“，且P(X=XJ=P1J=123,.，则称为随机变量X的概率分布列.3IK机交二播率分布的性质(1)时于随机变敏的探讨，我GJ不仅要知道1.机变信取哪些值.前机变m所取的色衣示的叨机试骆的结果，而且须要进一步了解随机变后：取这些值的慨率.(2)随机事务A的格率酒息Op,必定事务的概率P(S=I.若离故里随机变量X全部可能取的值为*/2，,*X取每一个值,g1.,2.，川的概率为P(X=X,)=%piOJ=1.2,3.-.n,p1.+p2+p3+p“=1.不满意上述两条性质的分布列确定是错谈的,即分布列满意上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件.(3)由离散型随机变依分布列的概念可知，或微型KI机变累各个可能的取值表示的小分是互斥的.因此.离散型随机变St在某一范用内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4 .两点分布黄如陂机变mX的概率分布为：X10PPq其中O<pv1.g=1.p.则称旗机变量X听从参数为P的两点分布.口两点分布乂称01分布Q两点分布的应用特别广泛，如抽取的彩券是否中奖、买W1.的一件产M是否为正品、新生根儿的性别、投篮是否命中等等，都可用两点分布来探讨.5 .超几何分布I在含有的件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=A)=陪*=o.1,2,，m,其中m=minM,n,且rrN,MWN、n.M,WN,.称随机变mX听从邮几何分布.X01mPcac»Cg1.CaaT1.类型一.随机支量及其概率分布例1:下面给出四个的机变Ji1.一高速乌路上某收费站在1小时内经过的车辆数J：一个沿面线y=进行陆机运动的质点,它在该直线上的位比：某无线3呼分1分神内接到的寻呼次数4：1天内的淑度小其中是离散型随机变量的是()A.(TX三B.®Cd)D.作案C解析中的随抗受瞅可能取的值为有限个，而能取到一区间内的一切值.写出卜列各随机变埴的UJ能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：例2,从一个装有编号为1到10的10个球的袋中,任取1球,被取出的球的编号为X:(2)一个袋中袋有10个红球,5个白球,从中任取4个球,其中所含红球的个数为X:解析(I)X的可能取伯为1,2,3,，10,×=k(k=1.,2,，10)表示取出第文号球.(2)X的可能取值为0,1.2.3.4,X=A表示取出个红球，4-个白球,其中A=0,1.2.3.4.缄习1>写出下列随机变家的可能取伯，并说明W1.机变J1.t所取的位所表示的的机试史的结果：拗掷卬、乙两枚假子，所汨点数之和为兄解析)X的可能取值为2.3.4,12,若以小力表示抛掷甲、乙两枚故子后故子甲得，点且IR子乙得j点,则X=2表示(1.1)：X=3表示(1.2).(2.1)：X=4表示(1.3).(2.2).(3.1):-：X=12友示(6,6).练习2,-袋中袋有5个球，编号分别为1.2.3.4.5,从袋中同时取3个环，用彳衣示取出的3个球中的锵大号码，写出随机变量J的概率分布.【解析依据题意可知随机变优J的可能取值为3,4.5.当=3时，即取出的3个球中最大号码是3.则其他两球的编号只能是1.2,故有r-1PC=3)=m=历：当。=4时，即取出的3个环中最大号码是4则其他两球只靠在编号为1.2,3的球中取.故有尸¢=4)=胃=W,当=5时.即取出的3个球中最大号码为5,则其他两球gIUC23只能在编号为1，2,3.4的四个球中取.故有产怎=5)=诔=：.嫁上可得的概率分布如卜表:v<D345PIIo3To35类型二.机票率分布的性朋例3：推断下列表格砧否是随机变J1.t的概率分布.-3-2-10120.10.20.30.20.10.2【解析不是随机变量的概率分布，因为0.1+0.2+03+02+0.1+0.2=1.1.X1.修习1,推断卜列&格否是随机变量的概率分布.01234P0.30030.50.5【解析不是的机变量的概率分布，因为P(J=O)=-03<0,不符合1.机变量概率分布的性质.类室三.两点分布例4,设某项试脸的胜利率是失败率的2倍,用随机变fitJ去描述1次试5金的胜利次数则Pe=O)等于()1 I9A.0B.-C-D.-2 33答案)CI,正面向上；练习1.在抛掷一枚便币的陆机试险中，令X=1.一=,假如正面时上的概率为P：试写0.正面向下.出随机变量X的概率分布表.解析由分布列的性质可知,正面对上的概率为P,则正面刻下的概率毡U-P).于是1.机变量X的概率分布表是:类垂四.机变量的IK率分布性期的应用例5：设时机变信J的概率分布为Pe=W)=k(k=1.,2,3,4.5).求常数。的值，求出金解析1解:题目所给概率分布衣为:525354555Pa2o3o45。(1.)io+2÷3o+4÷S=1.得G=.33453454PR1)=Pd=6+Pe=?+P(E=*=真+«+福=三JJ1*I*»I*同因叫«*所以T矣17I231232故P('<J<,)=P(4=2)+PGf=W)+PGf=三)=£10/05551515155修习It袋中有1个E1.球和4个黑球，集次从中任取个球，每次取出的果球不再放回，食到取出白球为止.求取球次数X的概率分布表.【解析)X的可能取值为1.2.3.4.5.则第1次取到白球的概率为P(X=I)第2次收到白4114311球的概率为汽X=2)=-x-=.第3次取到白球的概率为HX=3)=-X-X-=.第4次取到白球的概5455435率为P(=4)=±22!=1.,5次取到白球的概率为：P(X=5)=d22,!=1.所以X的概率54315543215分布我是:X12345P1111155555类51五超几何分布例6：设有产品100件,其中有次品5件,正品95件,现从中随机抽取20件,求抽到次品件数。的分布表.解析从100ft产品中以1机抽取20件，抽到次品件数岁是一个悬效型的KI机归也其次从件数可能是0、1.2、3、4.S.依题意的机变量岁（次品件数）所从超几何分布.所以.从100件产品中抽取20件,其中有*件次品的概率为P（JM）=(=0.1,2.3.4.5).所以Pe=O)=C)C>。益N0.3193,P(J=I)=0.4201,Z0.0479.所以P(=2)=Gf号0.2073,P(=3)=JV虬("，Joo所以的分布表为:O12345P0.31930.42010.20730.04790.00520.0002练习1.在20件产品中,有15件是一级品5件是二领品,从中任取3件，其中至少有1件为二级品的率是多少？137解析）设S表示二级品的件数.所以Pg)=PG=D+2)+=3)=笠+费2282281 .地掷2颗骰片假如将所得点数之和记为那么=4我示的附机试验结果是（）A2颜都是4点8.1颗是1点,另1颗是3点C.2颗都是2点0.1颗是1点,另1颗是3点,或者2即都是2点（答案D2 .题机变出。是1个无线寻呼台Imin内接到的寻呼次数;骊机变量要是某工厂加工的某种捌管的外径与规定的外径间的尺寸误差;随机变是测M1名学生身而所得的数做精确到ICm）;随机变址&是1个沿数轴进行随机运动的防点的坐标,那么这4个随机变量中,禹散型随机变量的个数是（»A.18.2C.3DA答案JB3 .命咫p:离散型K1.机变晶只能取有限个位；命即q:只能取。限个值的随机变限是离散型K1.机变我翁睡。连续型加机变/可以取某区间内的切值;命SSs:可以取某一区间内的,切伯的用机变址是连续里随机变量,这四个命题中口命座的个数是（）A1.82C.3D.4答案JB4 .己知随机变业的分布列为PG=A)=J/=1,2,3,则P(2<4)=()3A.一161.-40【答案5.下列变量中,不是随机变量的是（A.某人投篮6次投中的次数C.标准大气压下，水沸腾时的温收B.某日上证收盘指数D.某人早展在车站等出租车的时间答案）C6.有20个零件.是一等品的概率是（其中16个一等品,4个二等品.）若从20个零件中任取3个,那么至少有一个D以上均不对A强y【答案D7 .在15个村庄中，有7个村庄交通不太便利，现从中的急选10个村庄，用J农示这10个村庄C*rft中交通不便利的村庄数.卜列概率中等于言的是1GSA.,(=2)B.,(2)CP(J=4)0.,(4)俗案C8 .例如随机变地4的分布列P(=k)=-.k=1.234,那么P(1.)=.【答案）10基础巩Ia1 .假如，是一个禹故型随机变Sb那么下列命遨中不正确的是（）A.取每个可能值的概率都是非负实数B（取全部可能侪的概率之和为1C石取在某一范围内的值的概率等F它取这个范困内各个值的概率之和Dg取在某一范附内的值的摄率大于它取这个范附内各个值的概率之和1答案）D2 .袋中有完全相同的5个钢球，分别标有1、2、3、4,5五个号码，随意抽取2个球，设2个球号码之和为3则岁全部可能取但的个数是（）A.25B.10C.7D.6答案）C33 .盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么言等于（）A.恰有1个是坏的的概率B.恰有2个是好的的概率C.4个全是好的的概率。.至多有2个是坏的的概率【答案B4 .在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件,那么以得为概率的郸务是（）A,都不是一等品B.恰有1件一等品U至少有1件一等品D.至多有1件一答品答案JD则。等于（）A.IB.1±乎C.I邛D.1+当【答案）C6 .他痴两枚殷广所得点数之和记为或届么=5我示的Ri机试验的结果是（）A.2枚都是5点B.1枚是1点,另一枚是4点U1.枚玷2点，另一枚是3点DJ权是1点，另一枚是4点，或者1枚是2点，另一枚是3点【答案D7 .设机变显看的分布列Pe=A）=wg）”,k=1.,2,3,则m的值为.俗案）W3o8从有3个果球，5个白球的盆中取出2个球，其中恰有一个是F1.球的概率是.【答案）2o实力提升1.一个段子连续投2次,点数和为4的概率.【答案1.8 .一个筒中放有标号分别为O.1.2.9的十根竹签从中任取一根.记所取出的竹签上的号数为X写出X的概率分布；(2)分别求“XW(g,|)"；"X>7”，"3SWXW6”的概率，僭案)(1)标号分别为0,1.2,9的十根竹签.每一根被取址的可能性相同其概率均为2,于是X的概率分布为：X0123456789P0.10.10.10.10.10.10.1Oi010.1(2)Pt2<X<-)=,(X=1)+P(X=2)=0.2;J，P(×>7)=P(×=8)+P(X=9)=0.2;P(3.5×6)=P(×=4)÷P(X=5)+PX=6)=0.3.9 .在一块耕地上种抵一种作物,每季种植成本为10元.此作物的市场价格和这块地上的产信均具有K1.机性，口互不影响,其详细状况如下我：作物产IMkg)300SOO概率0.50.5作物市场价格(元kg)610概率0.40.6设X表示在这块地上种植I季此作物的利涧，求X的分布列.【答案】设八表示事务“作初产量为300kg”，。衣示事务”作物市场价格为6元小院,由题设知HA)=O54)=04.利润=产量X巾场价格一成本，.X全部可能的取值为5×IO-100()=4000.500×6-1000=201.9.300×IO-1000=2019.300x610=8,所以X的分布列为X40002019800P0.30.50.210 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行嘉奖，规定：每位顾客从一个袋有4个标行面值的球的袋中一次性的机推出2个球.球上所标的面值之和为该顾客所荻的嘉奖S若袋中所装的4个球中有I个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(1)顾客所获的嘉奖额为60元的概率；(2)顾客所获的嘉奖额的分布列.【答案)设帧客所获的嘉奖额为X依题通.得代X=60)=等斗即顺客所获的拓奖额为60元的概率74,依趣意，得X的全部可能取信为20,60.X=60)=,X=20)=,即X的分布列为X2060P0.50.S11 某高校志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这IO名同学中，3名同学来自数学学院,其余7名同学来白物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这IO名同学中随机选取3名同学,到希里小学进行支教活动(年位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率：(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求1.机变届X的分布列.49【答案)(I)P=-CnCy1C1C21(2)依据出几何分布，P(4=0)=m=7,Pe=I)=-=3，所以前机变址X的分布列是X0123P16123W13012 一个盒子里奘有7张卡片，其中有起色卡片4张编号分别为1.2.3,4：白色卡片3张.编号分别为2,3.4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率：(2)在取出的4张卡片中，红色R片编号的/大值设为X,求随机变量X的分布列.C1.Cv*I传案)设“取出的4张卡片中,含有娘号为3的卡片”为事芬A,则=所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的做奉若.(2)随机变IitX的全部可能取值为1.2.3.4.AX=I)=g=±m=2j=g=±rAX=3)=,MX="*所以随机变QX的分布列是X1234P1354352747