人教版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算(教师版).docx

华面对董基中定理苫龙标送点6大脑体掾)上作业完成情况金教学目标)*1 .笃取平面对量的正交分解及其坐标表示；2 .会用坐标表示平面对量的加、减与数乘运算.3 .会用坐标表示平面对量共线的条件，进而解决一些和关问题.4 .了解平面对量的异本定理及其意义.一、平面对立基本定31.1.平面对量基本定理，慢如，或兄JTM内的两个不共线不火线向量，那么对于达呼而内的I1.二-向量。.有且只行-内实数J使/='£+'£我们把不共线向iU、e；叫做表示这一平面内全部向址的一组班底；(2)荔底不惟一，关键是不共战；(3)由定理可将任一向fita在给出基底e；、c的条件下进行分解：(4)基底给定时,分解形式惟一.A1.入？是被G.唯一确定的数盘二、平面对的坐标表示I.如图.在直角坐标系内.我们分别收与X轴、y轴方向相同的两个一y,胞位向量i、j作为基底任作一个向成。，由平面对质基本定埋知，有0且只有一对实数X、y,使JHa=Xi+W.J，：我们把,y)叫做向量。的(直角坐标，记作_:o=(x,y)其中K叫做在轴上的坐标，y叫做在)，轴上的坐标，式叫做向的坐标表示与相等的向量的坐标也为(Ky).特殊地，=(I.O),y=(0.1.).0=(0,0).MdUit设况=x+W则向心苏的飞标(My)就是点A的坐标：反过来.点4的坐标(x.y)也：就是向量次的坐标因此，花平面点用坐标系内，姆一个平面时附都是可以用一对实效*一表示三、平面对量的坐标运算：(1)若a=(x,y),=(.q,yj,则“+坂=(3+.卬乂+外).a-b=(耳32.另一力)两个向Ift和与差的坐标分别等于这两个向依相应坐标的和与差.(2)若A(.r.y).仇生为)，则八公乂占一%,)、-)；)一个向Ift的坐标等于表示此向辰的有向跳段的终点坐标减去始点的坐标(3)若a=(x,y)和实数义,处"=(x.y)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(4)向盘平行的充要条件的坐标表示：设口二(X“y.).b-<×.yJ其中6*。ab(b6)的充要条件是A1V2-x,y1=0逢典例讲练)类型一平面对量基本定理的应用【例I】(2012南京质检)如图所示，在AABC中，为3C上异于3,C的任一点，M为A的中点，若而=9+“流，WJ+=.I审飕视点I由RH,C三点共线可用向量，访，危来表示第/.解析由8,H,C三点共线，可令科=H+(I-K)而，又M是A”中点，所以崩;=AW=A+(Ix)4C.又麻+/.所以).+“=$+:(1a)=.答案I方法8制应用平面对量基本定理衣示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数装运算,共线向量定理的应用起着至关支委的作用.当私底确定后，任一向量的表示都是唯一的.【训练I】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若疝=.以方+)，危，则X=.y=.解析以八8所在直线为X轴，以八为原点速立平面直角坐标系如图,令AB=2,则麴=(20),C=(0.2),过。作。入1.AB交AB的延长线干F,由巴知得DF=BF=,R'Jib=(2+3,3).'AD=xAB+yAC,(2+3,3)=(2x,2y).即有2尸”3=2v.=1.÷尸里IWU在.20AB中,反=J凉,而=1.丽M与比交于点Mi殳d="，OBb,ma.b42表示而MSB*I若4,互是一个平面内的两个不共线向亿则依据平面对址的基本定理.平面内的任何向JA都可用4.可线性表示.本例中向盘。.b可作基底,故可设。何ma>nb.为求实数附”,需利用向僦AM与AD共缥向心（7而与C7?共缥建立关于,n的两个方程.MFri戊OM=ma-nb，则AA1.=(，H-I)“+/，,AD=-a+-b2；点儿K。共线，/RH与4。共线,："=起EKffiCf=OM-OC=(n-)a+nb.CB=-i+b44,.4MB共戏.丽与丽共线,11-j4-=-.4Hzf1.13I3联立锵和冲F,：.OM=-a¥b协习：1.若已知“、啊是平面上的一组基底,则下列各祖向信中不能作为基底的一组是（）A.e与一ejB.3e与2e?C.4+°2与61。D.e与2巧答案：D2.在.，1中.已知加：的=I：3./1,V：AC=1:4.Zitv与QZ交于点P,且B=a.AC=,W用ZB发东八/；.裤：VAU-AB=1：3,f.V:AC=1：4,：.AM=-AB=-a,AN=-AC=-b,3344VM。三点共规,故可设MP=/MC.reR,于是，.A1.i=AM+MP=Ia+rMC=g+«)=(：-；)“+Ib同理可设设NP=SMB,sWR,AP=AN+NP=(-)h+sa.44他得(-.v)f1.+(r-+-)b=6.3344由此解汨s-1.,1.-.AP=-a+-b.HIi11I1.类型二平面对量的坐标运算【例2>(2011合肥模拟)已知A(-2.4),5(3,-1),C(-3,-4),且不=3*,的=2曲.求f,N的坐标和府”I审题视点I-CA,油的坐标,依据已知条件列方程组求M.N.解V4(-2,4),8(3,-1),0(-3,-4).,.C½=(1.8),CB=(63).GV=3CA=3(1,8)=(3.24),丽=2丽=2(6.3)=(12.6).设Ma,.y),则由=(x+3,y+4).fx+3=3,1.v=O,得i.M(020).Iy+4=24.Iy=20.同理可得A9.2),W=(9-0,2-20)=(9.-18).方法总第利用向量的坐标运算解题，主要就是依据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方穆(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要留意向量的方向，不更用错坐标.【训练2】在平行四边形ABC。中,AC为一条对角线,若丽=(2,4),At=(1.3),则丽=()A.(-2,-4)B.(-3.-5)C.(3.5)D.(2.4)解析由题意得而=R-而=尿'一通=(病一静)一而=庆-2,通=(1,3)-2(2,4)=(3.5).答案B3.1.f(0.1),B(1.,2),C(3,4)则丽-2而=答案：(-3,-3)解：AB-2BC<1.1)-2<2,2>=(-3,-3)4.若M(3,-2)N(-5,-1)且MP=BMN,求P点的坐标;解：设Pay)则-3.y÷2)=1.(-8,1)=H.1)a-3=-4(a=-14y+2=',j.v=-.P点坐标为(T,-y)2I2类型三平面对量共线的坐标运算【例3】已知=(1.,2),b=(-3.2),是否存在实数3使得与a-3b共线,且方向相反？I审题视点依据共线条件求k,然后推断方向.解若存在实数k,则fa+b=(1.,2)+(-3,2)=(-3,2k+2),-3fr=(1.,2)-3(-3,2)=(10.-4).若这两个向量共线，则必有(J1.-3)×(-4)-(2J1.+2)×10=0.解得&=一；.这时人a+b=(-,1，所以ka+b=1(a-3).即两个向量恰好方向相反，故题设的实数J1.存在.方法电第向量共线问速中,一般量依据其中的一些关系求解叁数值，侬如向量是用坐标表示的，就可以运用两个向量共级的充要条件的坐标表示列出方程，依据方程求解其中的参数位.【训练3】(2011西安质检)已知向量:a=(1.2),b=(2,-3),若向量C满意(c+a)"b,c±(a+).则c=().2一9;7-3,7一夕解析设C=(，”.)，R1J1+c=(1.+w,2+w),+b=(3,-1).(c+a)b,-3×(1.+m)=2×(2+w).又c1.(+b).，3，一=0,.解存J=答案D7-3=7一夕9.已知Z=(1,2),乙=(-3,2),当实数A取何值时，k1+2A与2%而平行？【解析】方法一：Y2)BHo,二存在唯一实数2使上£+2-五(2143)将Z、的坐标代入上式得(k6,2Jt+4)=(14,-4)对Jt-6=M%I1.2A+4=，"，解得h-1.方法二：问法一有&Z+2U=4<2(t-b>,UP(k-2)a+(2+1)A=O-fA:2=O.F与0不共战，,：.k=-12÷4A=O奇当堂检前一、选择题I.设为、史是平面内全部向知的一组基底则下面四组向量中,不能作为基底的是()A.e+兜和e-e：B.3ej-Zejf1.1.4e；64rC.e+%和妇+2曲D.e?和e+e:【答案IB解析1V4e2-6e1.=-2(3e-2e<).'.3e-2e1与4g一6七共度.工能作为基底.2.下面给出了三个命题：非向量0与b共线,则a与b所在的直线平行：向ht与共战的条件是当旦仅当存在实数、不，f史得小=4力：平面内的任一向量都可用其它两个向敬的线性组合表示.其中正除命卷的个数足()A.0B.IC.2D.3I答案IBI解析I命题两式线向量。与b所在的直线有可能更合:命题平面内的任一向量都可用其它两个不共线同*的线性组合表示.故都不正确.3.给出卜列结论：若"hb,则+“<a+非零向埴0、b共线，则Ia十”>0；对随怠向量a、b,-60;若非零向：ft。、b共线且反向，则|a-bY.其中正确的有()个.()A.IB.2C.3D.4I答案IB解析中有一个为零向量时不成立：中*b若是相反向量则不成苴：、正确，故选B.4.已知向IXe.力不共跳,实数x、Iy满意(x-)e)+(2x+y)e)=6e,+3e?.则xy的值等于()A.3B.-3C.6D.-6I答案ICI1.y=6'三''"共线，.由平面对量基本定理可得%+尸35.设始终线上三点A,H.PAP=PB(±),。为平面内的意一点，则说用OrORk示为()A.OP=OA-VXOBB.OP=OA+(+)-OA,OB-I-I-C.OP=t.D.OP=O+-7B1.+xX-答案IC解析I.OP=OA+PB=+(OB-OP)=OA+OB-.OP.OA+OH：.(1+)OP=OA+/.OH.：.()P=j7j.6. (20广东文,3)已如向40=(12)、b=(30),则br=()A.(-2.1)B.(2.-I)C.(2.0)D.(4.3)【答案IB解析IV=(1.2),6=(3.1),t-=(3-.1-2)=(2.-1).7 .若向St丽=(2,3)、CA=(4.7),则就=()A.(-2,-4)B.(2.4)C.(6.10)D.(-6.-10)答案IA解析IBC=BA+AC=BA-&=2.y)(4J)=(-2,-4).8 .(2014北京文，3)已知向量=(24卜h=(-.1.),92ab=()A.(5.7)B.(5.9)C.(3.7)|答案IA解析I2-h=(4,8)-(-1.,1.)=(5.7)D.(3.9)9.已划施=(5,-3)、C(-I,3)历=2Ak则点。的坐标是(A.(11.9)B.(4.0)C.(9.3)答案1DD.(9.一3)I解析IV=(5,-3),CD=2=(IO.-6),设D(x,y),又CD=(x+1.,>3),(x+I=10Ix=93=-6'"|v'=-310.已知“BC中.点A(-2.3)、点8(-3.-5),重心f(1.-2).则点C的坐标为()A.(-4.8)B.(J.一§C.(8.-4)D.(7,-2)答案IC解析I设点C的坐标为(x,y),(,-2+(-3)+x1.3由重心坐标公式,科<C°、，-3+(-5)+丫2-3W=8解程,Iy=-411.己知八j分别是方向与X釉正方向、*F轴正方向相同的单位向冰,。为阻点,设晶=，+X+1"(/一+1识其中在1<).则点八位于()A.第一、二象限B.其次、三象限C.第二象限D.第四象限【答案ID解析IV+x+1.>0.-Cr-+1.)<O.点A位于第四象泯.二、填空题12 .在。ABeD中,AB=a,AD=bV=3VC.AfHCf'1.1.,示).答案I-+I解析IJAN=3NC,.4,=3C=3(÷*>.4=+.A禾=永0+¢)-+13 .已知向依Q与力不共线,实数x、满意等式3m+(IO-.v)h=(4>),=.=也K1.WV=(KJa.b&+7w+2a分.则X=.14 .若点。(0,0)、A(1.,2),8(7,3),请=2OA,OB'=3OB,则点A'的坐标为.点,的坐标为.向愤"的坐标为.答案I(2,4)(-3.9)(-5.5)解析V0(0.0),4(1.2),W-1,3).OA=(1J),(=(-13),OA'=2×(1.,2)=(2.4).OB'=3X(-|.3)=(-3,9).：.A'(2.4),B'(-3.9),A,B,=(T-2,9-4)=(Tf).15 .在平行四边形ABCC中，AC为一条对角战，若=(2.4),E=(1.3),则而=.I答案I(-3,-5)解析IAD=MJ=AC-AR=(-1.-I).：.BD=AD-AR=(-3.-5).三'解答题16 .如图，已知4A8C中,M、M尸顺次是AB的四等分点，CB=e1.c=ej.试用8、G表示南、&、CP.I解析I利用中点的句量表达式舜:(,=e+e2:国31CP=Se1.+不?.17 .1)设向设0、6的坐标分别是(一/,2)、(3.-5).求+b.f,2+36的坐标：(2)设向设b、C的坐标分别为(1,-3),(-2,4).(0.5),求30f+c的坐标.解析)(1.ta+fr=(-,2)+(J,-5)=(-/+3,2-5)=(2.-3)；ab=(-1,2)-(3.-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);2a+3b=2(-t,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9.-/5)=(-2+9,4-15)=(7,-/).(2)3a-b+c=3(.-3)-(-2,4)+(0,5)=(3.-9)-(-2.4)+(0.5)=(3+2+0.-9-4+5)=(5.-8).，他当堂总结)毒家庭作蓦础巩同一、选择踱18 已知a=(-1.3、h=(x.-1).J1.ab.则X等干()A.-3B.-JC.ID.3答案IC解析I由。瓦(-)×(-1.)-3x=0,密得X=/2. (2014安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)若A(3,-6),(-5.2)C(6,)三点共线，则y)A.13B.-13C.9D-9I答案ID解析IVA.B、。共蝮，与最;共线，V=(-8.8).AC=(3.y+6),-8(>+6)=24,：.y=-9.3.向fit=(3,1.>A=(1.3)、C=优7),若S-C)。则:等于()A.3B.3C.5D.-5答案IC解析a-c=(3.-6),=(1.,3),由题意得.9-3=-6.：.k=5.4.设ci、内是两个不共跷的向也向:ta=e+geR)马向量"=一(打为决线，则()A.A=OB.A=-IC.=2D.=-I答案IDI解析I由共设向遛定理，存在/GR,使=fb.即e+ze2=Z(-e+2e),2t=1.IVei.G不关线，.，解得2=一东Iz=-25 .已知向IRQ=(3.4)、=(cosa.Sina),且a氏JUftana=()3-4A4-33一44-3B.D.I答案IB解析I：%b.'.3sin-4COSa=O.,tan=*6 .(2OI41.1.1.东济网商河弘然中学离一月考)若向量力与向吊=(2,1.)平行,且阚=2j,则。=()A.(4.2)B.(-4.2)C.(6.-3)D.(4,2)11X(-4.-2)答案IDx2+y2=20解析I设b=(x.y).由题意.得I、,1.x=2y二、填空迎7,设八j分别为小y轴方向的单位向量，己知万1.=2i,(¾=4i+4,而=一灰，则点C的坐标为.答案I(1.-I)I解析I由巳知力=(2.0),=(4.2),.W=(2.2),设C点坐标为(x,y),则/=(X2,>),'：AB=-2AC,/.(2.2)=-2(a2.y).(-2(x-2)=21.-2>=2=I=I'点C的坐标为(I.-I).8 .设向埴=(4sin,3)、/>=(2.3sina).H.ab.则锐角a=.(答案I5解析I由已缸I2sin2a=6.sina=±,二”为钝角，二。=：.三、解答这9 .设向状晶=优12)、=(4,5)C=(10,k),当人为何伯时，A、8、C三点共线.解析IVfM=(J1.JZ).Off=(4.5).OC=(K)1k),.4=-O=(4,5)-(A,I2)=(4-.-7).HC-OC-Oh=<10.处一(45)=(6,k5).V.H.C三点共线，.'.AB与8C共段.(4-A)(-5)-6×(-7)=0,解存A=I1.或k=-2.实力提升一、选择题I.已知向Te1.H0,zR.=e1+ze2,b=2e1.,若向附。与b共税.则()A.2=0B.G=OC.eeD.色或；.=0I答案IDI解析),：a.b共线，二存在，R,a=b,.'.e+ze2=2e,.(1-2惘+加=0若心、¢2共线,则肯定存在，、大使式成立；(1.-2r=0若仃、的不共线，则.,.U=O2 .己知平面对地。=(1.2)、。=(-2,m,则2+3b=()A.(2.-4)B.(3.-6)C.(-4,-8)D.(-5.-10)答案IC解析Iab.I×m-2×(-2)=0,.n=-4.,2+3=(2,4)+(-6,-2)=(-4.-8).3 .已知平面对破a=/1)、b=(-,X2),则向M0+W)A.平行于.、轴B,平行于第一、三象限的角平分线C平行于)轴D.平行于其次、四象限的角平分线【答案IC解析IV=(x,1.).h=(-.2).+ft=(0,.r+1.),V1.+0.；.向量。+»平行于y轴.4.已如向母a="。)、=(0.1.),c=A+fc(eR),d=a-b.假如cd,那么()A.A=I且C与d同向B.Jt=I且C与d反向C.A=-IJ1.C与d同向D.K=-If1.c与d反向I答案ID解析I.：cd、.,.c=d,即ka+b=(a-b),又a、b不共赎.A=1.='.c=-d,：C与d反向.二、填空题5 .已知“=(-2.3)，ba，。的起点为A(1.,2),终点8在坐标轴上，则8点坐标为答案I(0.加0°)解析I由ba,可设b=M=(T,3z).设B(x.y).则检=(xI.y-2)=b.J-2z=x-1.x=1.-2.叫32=y-2(v=32+2又8点在坐标轴上，则I-T=O或3，+2=0,所以0,今或停°)-6 .已知点A(5,1)、MO,0)'C(5,0).设/8AC的平分线AE与Be相交于£,那么有反'=，隹,其中X等于.I答案I-3解析I为/JAC的平分线.画画，一，一IcIAciJ.BE=-2CE.：.BC=BE-CE=-2CE-CE=-3CE.三、解答题7 .平面内给定三个向量4=(32)、b=(-i,2).c=(4,1.),(1)求湎意“="0+"，的实数"，、"：(2)(a+kc)(2b-a).求实数K.解析I(1.)Va=M+w.(3,2)=n(-1.2)+n<4,1.)=(-m+4«,2m+n).2),."(a-ikc)(2b-a),又a+%=O+4*p2+Q,2-a=(-5,2),2×(3+4A)-(-5)×(2+)=O.1613-8 .已知A、B、C三点的坐标分别为(-1.0)、(3,1)、(1.2),并且危=紧，F=.求证：Eh'/AH.解析I设E(XI.Ti),F(x2.5).依题意有:C=(2,2).C=(-23),i=(4,-I).四为赢二年?，所以怠=停.；).3BF=fiC.所以乔=(-1,I).2-3因为(+1.Vi)=4以所23O一耳(I)=o,所以用箭9 .已知直角坐标平面上四点A(1,0)、94,3)、C(2,4),0(0,2),求证：四边形ABe是等腰梯I解析由已知，tf=(4.3)-(1.,0)=(33).CD=(0.2)-(2.4)=(-2,-2).V3×(-2)-3×(-2)=0,二冲与历共竣.XAb=(0-(1,0)=(-1,2).3×(-)-3X20.而与47)不共竣.J.AHCD.AB与A/)不平行.又前=31.CD=22,.HC7J,epABCD.,.f1.C=(2.4)-(4.3)=(-2.1.),D=(-,2),ffC=5=A>.故因i形A8CC是号腰椅形.谋在勒同冬李:教学主管筌李: