[高等代数(下)课外习题-第六章-向量空间] .docx
第六章向量空间一、判断黑I.(XM,=()./-J2、所有”阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间M式/?)的子空间.().3、雄向通空间V的任总个战性无关的向量都可构成V的一个茶.().1.设线性空间V的子空间W中每个向盘可H1.W中的线性无关的向量组q.r.,线性表出，JWit(W)=S.5、子空间1.(.%,r)的维数等于向匏筑区,见,的秩()6、名。”q,为V的基，川,鱼,a为V中向值,且(1.,2,.f)(a1.,ai,a1.)A,则四,用.,。,为V的基当且仅当AUr逆。)7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同.()8.设囚。2，,%是向量空间丫的一个基./是V到卬的一个同构映射.则W的一个基是/()J(%)，J(,).9、,如果向景空间V是3整的,那么如中任意4个向是必是的性相关的(910.、非齐次线性方程祖的解集不构成一个向量空间()。Ih线性空间的组基所含向量的个数是该空间的维数.12.设匕,匕均为线性空间V的子空间,满足匕c%=0,则V=K金匕.().14.若V=K匕.%，。2,，是K的基,.2M,是的基,则a1.a2.at是V的基.二、填空J1.I、复数域C作为实数域R上的向磁空间,维数等于.它的一个基为2, .P1',若,=(1.2.0.1).a,=(1,1.1.1)./=(1.&.-1.1.).%=(0.14.1)线性无关，则A的取值愆用足.3、若V=Y匕，则V1.CK=；4、若dim（h+%）=dimK+dim%.则KCK=:5、/Ixh中山基1.x,/到基】+x,1.+2.r,1.+2.r+3/的过渡矩阵是+x÷x2在这两组基下的坐标分别是.'abc'6、子空间W=Aw严'A=Ode的维数=;OOf7、设基4=Z-%+现血=+%氏=。3,则由基6,a3,ct冽基即角,角的过渡矩阵T=：8、A=（；：&=（；）&=（；“（；）是产的基.那么.4=Pj在该基下的坐标为-9、设也是方程组N+x,+x,+x4=O解空间,W,是方程组卬7''"°那么吗（X+j-j+X4=0n吗是方程组的解空间.10、设比=(A(KhO)t(IA1.)1VV,=/.(0,1.,1.),(1.,2,3)dim(VV1+W2)=。三、选择应I、Rt中下列子集()不是R'的子空间.（八）.IV1=(x,2.xj)c内|与=1(B).W,=(.r,)Rixi=0(C).W3三(xi,2,xj)g,Ixi三X1三I(D).w4三(x1,x2,x3)e,1=x1.-X)|2,若W1.W2都是维税性空间V的子空间，那么<>（八）维W+维(WCWD=维w+雄(%+W”:(B)维(W+W1)=维W+维Wj：(C)维Wi+堆(V+W"=维W：+维(W1.CW力(D)维WI-维(WewD=堆(%+W"-维W”3、设q.%,4为雄性空间V的一纲基.则V的维数足()<A).4(B).3(C).2(D).不确定4,设是数域。上线性空间V的向埴，kwP,如果Aa是等向量，那么()（八）仅当£=0时J1.a=0.(B)&w.工0时可能有Jta=0.(C)仅当=0时Ka=0.(D)&=0或=0时Ka=0.5、设凡是数域。上雄性空间V的向城，则(>（八）当r<时.,线性无关。(B)当r="时即?.,是V的基.(C)当r>”时.a2.,线性相关。(D)当r>n时,2,-,可能规性无关.6.W=(.Z>.c.d)4.Z>.c.dwR.d="+b.e=-)是R'的子向fib则dimW=(（八）I<B)2(C)3(D)47、设丫是数域P上维雄性空间，匕.4是V的子向崎，则(>(A) dimV1÷dim¼n.(B)匕.力的基的并集所含的向量是V的基.(OV1.r>V2=(OJ.(D)dint½+V2)<n.8、若匕,匕是V的子空间.旦dimV1+dimV2=dimV,则<)(B) V=VtV1.(B)V=V1.+V2.(OVVi+Vj.<D>匕+匕是/的子空间，9、由3阶对称矩阵构成的子空间的维数是()；(C) 9<B)6<C)2(D)3四、计算题1、下列子空间的维数是几？I)Z.(2,-3.1).(1.4.2).(5.-2,4)K'；2)1.(-1,I-x2,j-x)fx2,证明/=(IJO).%=(0,1,1),=(1,0.D是R'的一个域，并求四=(3,1,2)在这个翦F的坐标.3、设W,1=1.(at,a3,ay),W2=Uv2),求Wt11%和W1+%.其中a1.=(1.,2.-i.-2),2=(3.1.1.,1.),=(-I.O.1.1.);1.=(2.5,-6.5)./?,=(-1.2.-7.3).4,在向量空间叱中,求由向量四=(2.1,3.-1).%=(4,5.3,-Dr=(TIT)%=(1,5,-3,1)生成的子空间的一个班和维数.5、谀Wz1.=(I,I,O),2=(0,1,1),此是齐次方程+8=0的解空间，求*+卬”吗cW?的一组基和维数.6、.求实数域上关于矩阵A的全体实系数多项式构成的向JS空间V的一个基与维数.其中(OOA1.ACn-1+4A=O30.=.21.01)7,在线性空间PX中,H2仔沁(i於对)I)求1.(A.A)QA(M.8J的维数与一组基.2)求UApAJ+B1的维数与一组基.8、设V为数域上全体次数小于3的多项式再添上零多项式何成的找性空间PIxh.考虑如下的生成于空间，K=WI，%),其中q=1+/=1+£匕=,其中四=x?=./求匕+匕匕C匕的各一组法“=W尸/9、设4=(4)是"X"矩阵，其中UUJ=J<a)求行列式detA的猿,这里detA表示矩阵A的行列式：(b)设W=XAX=Oj,求W的维数及W的一组地,五、证明越I、设叱,明为向量空间V的两个空间.证明：%+%是V的即含W1.乂含明的最小于空间.2,证明：堆向做空间丫中.任意“个我性无关的向业都可作为丫的一个地.3、设推向吊:空间V的向埴组,>,见的秩为r,使得KaI+&&+k.a“=0全体维向琼(k.k2.-,k)的集合为M证明W是F的-r维子空间.4,设.为向玻空间的一个基.令夕,=4+%+a1.,i=.2,z?H.氏=以).证明vwiw2-.w.5、证明：x'+x.F-x,x+1.是6用的一个基.并求2+7+3关于这个基的坐标.6、设.仇yeV,如果+"/?+Cy=0,并且“cw,痴么1.(a,0)=1.(0,y).7、设川.也分别是齐次线性方程组为+%+&=0与n=.0=七的解空间.证明:Fn=VV1.IV,.8、证明脩一个维向量空间都可以表成/t个一维子空间的直和.9,V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令.=(ev.f(x)=f(-x).W2=f(x)f(x)GV.f(x)=-f(-x)证明，W1SW1.-为V的子空间,I1.V=WiVK.10、设AwP"",且A?=A,记V1=AaaPn.V,=Aa=0.aePn证：Pn=V1V2.
