“爪型”三角形题型总结word版公开课教案教学设计课件资料.docx
“爪型"三角形题型总结“爪型"三角形定义：在一个给定的三角形中，连接一个点和对边上的任意一点，这科图形称为“四边三角形，俗称“爪ST三角形.与“四边三角形”相关的解三角形试效，是高考中高期出现的题鞭，本文从“四边三角形”的代数特征和几何特征舟发.力求在解法上寻找最简洁的方法.总结解起规律,从整体匕认识把握.做刎石的放矢.用例、(2015年全国2卷理T17&BC中，D是BC上的点，AD平分BAC,ABD是&DC面积的2倍。(1)求二0：(11)若Ao=1,DC=，求3。和4C的长.SinZC2好、(1)5=-ABADsinZIUI),S=-AC-ADsinZCADJP2JZ>C2因为S=2S,ZBD=ZCAD,所以AB=2ACBf>MX由正弦定理可得怨(2)因为S：S=BDiDC,所以BD=J5ftD4A0C在/1AW)和/VVX：中.由正弦定理知B-DB1.)i-2D>cosZDB,C2AD7DC2ADDCcosZDC.所以AIf+2AC?=3AgB1.y+2DC'=6由D知AB=2AC,所以AC=I.NADB+ZAIX?=jr=>c(xsZADB+c(xsZAIXJ=0：(3)六边的关系式(斯特瓦尔特(Stcwart)定理3NfBC=AtfDORC1.DB-BCDBDC证明：(法一)如图所示，作AH1.BC于H.为了明确起见,在点D的同恻。由广勾股定理有：C2=AD,tDC2-2DCD1.1.(1)A1.i2=Ab2+BD1+2BDDH(2)用BD乘(D式两边得:AC2BD=ADiBD+DGBD-2DCM1.BD<3)用DC乘(2式两边得：AB2DC=AD2DC+BD,DC+2BI)W1.DC<4)由(3)+(4)得到:AC,B1.)+ABiDCAD2(BDDC)-DC2WBD2-DC=AD1BC+BDDCBCB2DCC2BDD2BC-BCDCBD【注科】广勿股定理在任一三角形中.(1)脱角对边的平方，等于两央边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍.(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一-夹边在此边廷长上的投影乘枳的两倍.(法二)由氽弦定理易知:BD2<BD-2DBDcosZADBAC'-AgDC'2ADDCc。SNADC0DC+0BD得:AB-DC+ACDB=AD-BC+BCDBDC(ZADB+ZADC=x=>CoSNADB*cosNADC=O)即AD:BC=ABjDC+ACi-DB-BC-DB-DC(引例可由此结论H接得出答案)特别的：若AD是NA的平分戏,则有=>A!i.1.)C=AC.HU代入()式可得:AgABAC-BDDCACDC若AD是BC边上的中戏，则有BgCD,代入<*式可得：.5=(A1.f+ACi)BC2(中线氏公式)解法分析几何方法1.作高，过点A作AEJ.HC于点E：2、设元：DE=x,C=m,AH=2m3、列式：在三个口角三加形中，用已知我段长分别表示AE：在RtdAED中：AEJI-X2在RIz1.ABE中：AEz=1m-(2+.t)在RtdACE中IAEJmy立Xy24、求解联立4J(+X)2=m(T-X)'和卜r=m，-X)'消去K解得m=1,由此得AC=I【总结提升】几何特征提煤I过点A作BC边上的茶AE,可以得到以下结论，(1)三个直角三角形RtAED.RtdABE,RtACE边角关系：AEJAD2DE-AB1-BE5=AC2YRAE=ABsinB=ACsinC=AI)sinZADE.(2)外角定理：ZaDC=ZB-ZBAD.ZRAD=ZC+ZCAD【练习】在AABC中，A=包.A8=6.AC=30,点D在3C边上，AO=BZ),求的长4四型一、互补角问咫【2010全国卷】在AABC中,。为边BC上一点，BD=；DC.NADB=I20：AD=2,若AADC的面枳为3-,则/BAC=【2010大纲卷】在C中.。为边8C上一点，8/)=33.sinB=-.cosZADC=-,求AO135【2014北京卷】如图，在aABC中，/8=孑，A8=8,点。在8C边上,且Co=2,cosNAD(?=;.(1)求sinN8AO:(2)cBD,AC的长.四型二、用平分线型【2015重庆卷】在AABC中,8=120",AB=2.A的角平分线八。=#,则AC=题型三、中线性【2016全国卷】在MBC中，B=-,BC边上的商等于1.BC,则cosA=43鹿型四、其他类型(2017浙江餐】已知AC,A3=AC=4,8C=2,点。为A8廷长线上的一点，比>=2,联结8,则ABDC的面积是.CaSNBDC=【2017全国卷】ZA5C的内角4B.C的对边分别为","c.Ssin4+3cos4=0,=27,b=2.(1)求c：<2设。为BC边上一点，且ADJ.AC,求的面积【2013福建】如图击ABC中,已知点。在BC边上，AD1.AC,SinNBAC=亭，A3=3JI.AD=3.则BD的长为【2010陕西卷】在MBC中，已知8=45",D是8C边上一点，AD=IO,AC=14,OC=6,求A3(2018江苏卷】在AABC中,角八.8.C'所对应的边分别为.瓦。,乙48。=12。'./八8(:的平分线交4(?于点。，B.BD=，则4+c的最小值为一边形中的解三怠婚问题1,已知点。为AASC'外一点，BC=2AB=2AD=2CD.NAZ)C=I200,则8=(30。B.45°D.90°2,如图，在平面四边形ABCo中，AD=2,CD=4,A45C为正三角形,3、如图，在边长为2的娈一形ABCo中，/B=,AEW“是以A为圆心,1为半径的扇形，点M为圆弧EF上任意一点，WV八8设/也乂产=。，则当EM+MN取得最小假时，0=.4、平面四边形ABa)中,AB=ZBC=4.CD=5.DA=3,则平面四边形ABCD面枳的最大值为5 .在平面四边形人8C/)中,ZA=NB=NC=75,fiC=2.WjAB的取值范围足6 .在平面四边形ABCD中,NOC=9(尸,NA=45。.八8=2.8。=5.(1)求CoSZ/WR(2)若DC=2&,求8C.7、在ZkABC中，分别为内角AB.C所对的边，b=c,且满足芈C=匕£巴0,若点。是AABCSinACOSA4+5J外一点，ZAOB=(0<<11).OA=2OB=2则平面四边形OABC面枳的最大值是()8+53A.8、如图所示,AaC。为平面四边形ABCD的四个内角,A1-cosA<2)ZfA+C=11,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值2222o9、如图，在ZiA8C中，O=C,且满足COSC+(COSA-J5sinA)cos?=O,点。是aABC外一点.OA=208=4,则四边形QtCA的面枳的最大值是/10、如图，已知平面四边形A3CD,AB=CD=,AD=42BC=2,A+ZC-11,4则8。=11,在平面四边形ABCDV.AB=.C=6BD±BC.BD=2BC,则Ao的最小值为第10鹿12、如图，在平面四边形A8CD中，八3=4,八。=2,/"A。=60",AC=38C,则C'。的最小伯为第12题
