代数系统.docx
代数系统一、i&M.I、下列正整数集的子集在一般加法运算下封闭的是(DA、(MX30)B、(MX与30互质)C、(MX是30的因子)D、x.r足30的倍数I2,设S=1.,2.IOJ.则下面定义的运算,关于SIE封闭的有DA.y=max(x,y)B、x*y=min(x,y)C、x*y=取其最大公的数D、xy=取此最小公倍数3.设集合A的存集为必人),n、u、-、x为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算,则下列系统中是代数系统的为(D)A、(p(4),rB、S,J)G(/X4),-)D、(X),×)4,在自然数集上定义的下列四种运算,其中满懑结合律的是(C)A、db=a-bB、a*b=a-hC、含力=maxa.6D、a*b=a+2b5,设Z,为正将教集,表示求两数的最小公倍数对代数系统A=(Z,*有(八)A、1是么元,无零元B、I是零元,无么元Cx无零元,无么元D、无等麟元6,设非空有限集S的杼集为/5),对代数系统A=(zXS),n),有(BA、是么元,S是零元B、是零元,S是么元C、唯一等哥元D、无等林元7、在有理数集Q上定义的二元运算:x*y=A+y-.n'.则Q中元素酒意C)Ax都有逆元B、只有唯一逆元C,x1.时,有逆元D、都无逆元8、设R是实数集合,“X”为一般乘法,则代数系统VR.x行定不是(DA、半群B.独异点C、可交换的独异点D,循环独异点9、设S=10,Ih”为一般乘法,则SJ(B)A、星羊群,但非独异点B、是独异点,但非群C、是群,但非阿贝尔群D、是阿贝尔群10、陶意具有多个等窄元的半群,它(A)A、不能构成群B、不泞定能构成群C、能构成群D、能构成阿贝尔群二、填充题,I、下表中的运算均定义在实数集上,请在相应的空格中打7”或填上详细实数(不满意或无该项者不埴)+X结合律X交接律X么元(含左、右么元)OO(右幺元)!零元(含左、右零元)XXO2、设A=2,46,A上为:a*b=maxatb,则在独异点A,*中,么元是(2),零元为(6)”3、设A=369,A上*为:a*b=min(a,b),则在独异点A.*中,么元是(9,零元为(3)4、代数系统va,*中,闻1,若e和0分别为vaj的么元和零元,则e和的关系为e工0,4abCaabCbbaCCCCc5,设Vahc.*为代数系统,*运算如下:则它的么元为S1.:零元为£:a、b、C的逆元分别为小b、无.6、设G”是一个W,W1.(1)若a,b,GG,ax=bWIX=(a'*b):(2)若a,b,GG.a*x=a*b,JMX=(b).7、群G*的等解元是(么元),有(I)个,零元有(0)个。8、设。是12阶群的生成元,则U2是(6中介元素.a-是(4阶元素.9、设。是IO阶群的生成元,则”4是(5*介元素,/是(IO)阶元素.10、在一个群Q*.若G中的元素的阶是k,则-的阶是(k).三、简答题II、设A=1.,2.A上全郃函数的集合记为A'.。足函数的亚介运算.试给出AA上运算。的运算表,并指出AA中是否有么元,哪些元素有逆元?答:因为|*=2,所以A上共有2=4个不同函数.令履=工.力.。,/,,其中:+31.1.IIJ12)1010m121HI(U2oP1.I20in£(1)=1,/(2)=2;/,(1)=1./,(2)=1;=2/(2)=2;4=2/(2)=1OZ/.Z1.工为AA中的么元,和人有逆元.2,已知定义在(合0,b,c,d)上的运算如下表:abedabCdabedbadccdbadcab遨号12345答案>1.试问:1)<“力工,刈.>是否为代数系统?2><,6.c,d,*>是否为子群?3)<a”,c,d,*>是否为群?4)v,b,c,d),*>是否有单位元?5)<(,c,d,*>是否满意交换律?3、设I是整数集合,Zs是由模3的同余类组成的问余类集,在ZJ上定义+3如下:+31.H=Ki+)md3.试给出+3的运算衣并指出<Z.+A是否构成群?答:<Z.+j>构成群.四、计第1、设S=Q×Q.Q为有理数集合.为S上的二元运算:对随意(a.b),(c.d)WSM(a.b)(c.d>=(ac.ad+b).求出S关于二元运算”的么元,以及当a()时.(a.b)关于的逆元.解:i殳S关于的么元为(a,b).依生;,和么元的定义,对V(X,y)WS,有(a.b)(x,y)=<ax,ay+b>=(x.y),(x,yF(a.b)=(ax.xb+y)=(x.y)»即ax=x,ay+b=y.xb+y=y对V.yQ郡成立.解褥a=1.b=O,则S关于的么元为(1.(小当a*0时,设(a.b)关于的逆元为(cd).依据逆元的定义.(a.b>(c,d)=(ac.ad+b)=(1.O).(c,d)*(a,b)=(ac.cb÷d>=(1.,O)即ac=I,ad÷b=O,cb÷d=O.解寿C=I3,d=bu所以(a,b)关于*的逆元为(1t>)2、试求<N6.+6>中每个元素的阶。解:0是<N6÷6>中关于+6的么元。则IO1.=1:I=5k6,2=4=3.3=2o五、证明愚II、设R是一个代数系统,*是R上二元运算,PabwRa*b=a+b+ab,则。是么元且R是独异点.证明:1)VaCK.O*n=O+O4=,*O=+O+0O即O*a=*O=0,0是么元(2)由于+.在R封闭,则“在R上封闭.(3)Pa,b,CGR(a,*b)*c=(a+b+ab)4c=a+b+(ib+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc(c)=+Z+c+b+«c+/?c+;c所以(*Z)*c=(*c)因此,(R.*是独异点.2、I上的二元运算*定义为:Va,bI.ab=a+b-2.试证:I,*为群。.证明:1)Va.b,cI.(a*b)c=(a»b)÷c2=(a*b-2)+c-2=a*b+c4,a*(b*c)=a÷(b*c)2=a*(b+c-2-2-a+b+c-1.故(a*b)*c-a(b*c).从而*满意结合律.(2)记e=2°对VaWI,a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.故e=2是I关于运算*的单位元,(3)对VhgI,因为a*(4-a)=a+4-a-2=2=e=4-a-2=(4-a*a-Ka是a关于运算*的逆元.踪1:所述,1,*为群.3、设*是集合A上可结台的二元运算,且Va,bwA,若a*b=b*a,则a=b,试证明:(1) VaA,a*a=a.即a是等帘元:(2)Va1bA,a*b*a=a(证明:(1)YaWA.记b=a*a.因为是可结合的.故有ba=(a*a)a=a*(a*a)=a*b.由已知条件可用a=a*a,(2) Va,beA,因为由(1).a(a*b*a)=(a*a)*(b»a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a»a)=(a*b)a=a*(b*a)。故a(a*b*a)=(a*b*a)*a,从而a*b*a=a.1.设半群5,中消去律成立,则S是可交换半群当且仅当Ya,bGS,(ab)1.=ai.b%证明:=Va,beS.(ab):=(ab)(ab)=(ab)a)b=(a(ba)b=(a(ab)b=(aa)b)b=(aa)(bb)=a:b:;=Va.bwS.因为(ab:-a:b所以(ab)(ab)-(aa)(bb).故a(ba)b)=a(a(bb).由于满意消去律,所以(ba)b=a(bb),即(ba)b=(ab)b,从而ab=ba。故消毒交换律.5.若S,是可交换独异点.T为S中全部等后元的集合,则T,是S,的子独异点.证明:、:ee=e,.peT,即T是S的非空子集.Va,beT,/S.是可交换独异点,(ab)(ab)=(ab)a)b=(a(1.a)b=a(ab)b=(aa)b)b=(aa)(bb)ab,BPabeT.故T,是S.的子独异点.有么元旦满意消去律的有限半样肯定此群.证明设VG,«是一个有么元旦满意滴去律的书"限半群,要iEG,是群.只掰证明G的任一元素“可逆,VeG.W1.f1.4GG,对G/.因G只有有限个元案,所以存在J1.使得d=。'.w=-有/¢=/5,其中e是么元.由消去律得,产=e.于是,当”,=1时,4=e,而,是可逆的:ff1.IBt.u*=严从而“是可逆的,其逆元是.总之,“是可逆的“6、对独异点.,若A中每个元素都有右逆元,则A,*必为群.证明:设e为vAJ的么元.Vf1.GA.记b是a的右逆元c是b的右逆元.则/*a=(/*a)*e=e”/)*S*c)=A*(“*)*c=*c=e.则b是a的左逆元.故YaGA.a布唯一逆元b,于是,A,*必为群.7、设群e.*除地位元外每个元素的阶均为2,则S,*是交换群。证明:对任一awG.由已知可得a*a=%即a-'=B.对任一a,beG,因a*b=g*b)=b'*a=b*a,所以*满意交换律.从而C,*是交换加。8、证明:(1有明群中阶大于2的元素的个数肯定是偶数.(2)偶数阶群中阶为2的元素的个数冷定是充数。.证明:1)设(;.,是仃限群,则YaGG.桁a-a,.且当a阶大于2时,aa'.故阶数大于2的元素成对出现,从而其个数必为偶数.证明:(2)设G,是儡数阶即,则由于群的元武中阶为I的只有一个通位元,阶大于2的元素是偶数个,剌下元素中都是阶为2的元素。故偶数阶群中阶为2的元素肯定是奇数个,9,设G,*是由g生成的循环群,则若G为无限循环群,则G只有两个生成元g和g证明:因为g是群G,*的生成元,所以对随意的“WG,存在iZ使得“=£。又”=(短尸,所以g-'也是群G,Q的生成元。再证G只有g和K'这两个生成元.毅设A也是G的生成元,对G的元素8.存在整数s.使得g=.对于力来说,由S是G的生成元,存在整数,,使得A=/.千是.R=h'=gu.由G中的消去律得gw=e因为G是无限群.必疔W-I=0.从而有$=,=1或s=,=-I,即ft=g或h=f'.IOxG,*是个群,uWG,定义G中的运算“A”为ab=a*u'*b,时随意a,bG,求证;G,也是个群。证明:1)Va.bG.ab=a*ubG.运笄是封闭的,2) Va.b.cG.nb)c-(au'*b)*u'*ca*u(b*u,*c)-a(bc).运算是可结合的.3) VaGG,i殳E为A的球位元,则aE=a*u'*E=a,E=U,存在单位元u.-1)VaG.ax=a*1.*x=Ex=u*a'*u.JWxa=u*a1.*u,*a=u=E.各元素都有逆元。所以G,A也是个群。11.设G,是群,作EGG.aia'证明:f是G的自同构OG是交换群.证明:=设f是G的自同构.对Va,beG,ab=(b'a')'=(f(b)f(八))'=(f(ba)'=(ba)'=ba故运算.湎意交换律,即G是可交换群,=因为当ab时,a,b,.Wf(八)f(b).故f是G到G中的一个单射.又对VaGG,f(a,)=(a,)=a,故是G到G上的满射.从而f是G到G上的血射.对Va,beG,因为G是可交换群,则f(ab)=(ab)"=(ba)'=a'b,=f(八)f(b)故r是G的自同构