克莱姆法则及证明.docx
第7节克莱姆（Cgmer）法则一、线性方程组“元线性方程组是指形式为：aux1+ux3+-+to-61.a3jXj+2jx3+tax,-2*W牝（1）的方程组，其中X2'&代表R个未知量，制是方程的个数，气,G=12.掰；）=12：%）称为方程组的系数.沙>-1>2）称为常数项,线性方程组的一个解是指由“个数5%&组成的有序数组（45G）,当"个未知量天冬冬分别用GM£代入后，式中每个等式都成为恒等式C方程组（1）的解的全体称为它的解集合，假如两个线性方程组有相同的解集合,就称它们是同解方程组。为了求解一个线性方程组,必需探讨以下一些问题：（1） .这个方程组有没有解？（2） .假如这个方程组有解.有多少个解？.在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解.本节探讨方程的个数与未知量的个数相等（即川=S的情形。二、克莱姆法则定理1（克莱姆法则）假如线性方程组aux1.+0xj*-+ux,-A1<x1.+<Xj+-+<xw=b3的系数行列式:D-那么这个方程组有解.并且解是唯一的.这个解可表示成：*0_a_%._wa15,2万一。万其中4是把D中第J列换成常数项也所得的行列式，即分析：定理一共有3个结论：1方程组有解；2,解是唯一的；3解由公式（3）给出。因此证明的步骤是：第一，把、片"'uM代入方程组，验证它的确是解。这样就证明白方程组有解，并且（3）是一个解，即证明白结论与3其次，证明假如X1.CI用xJG是方程组（2）的一个解，那么4马.%肯定有O''J'。O这就证明白解的唯一性，即证明白结论2o证明：先回忆行列式的一特性质.设外阶行列式,'N1则有：y*4F4+<%+%4=o当1.J时.W,A,当/J时；M】FM2+3o当JWJ时.接下来证明定理。首先，证明（3）的确是（2）的解。将行列式4按第1列绽开得：Di-4*Mk+,"*4O-1.2,.)其中4是行列式D中元素%的代数余子式Wj1.2,mo现把X1-(,-1.2.)代入第先个方程的左端，得：ju+*a*,*sju+*aA*"*¾gM(AA1.+Mai+4)%曲44&+*.4j)+演(44»+6j4.+44»)】(<>mAi+0*A*",*atoA.)*i(f1.uA*i*,1.rj,)+4防/+%/+%4)】这说明将（3）代入第上点7,2，冷个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。其次，设-FEF&F是方程组的一个解，那么,将XiF代入（2）后.得到“个恒等式：auc1.+ne3+-+bcj,三¼%q+%j+”."jW"?+”,（4）用系数行列式的第12/）列的代数余子式.4依次去乘（4）中“个恒等式，得到：ajj>Vjr4nca+%.4jAMJJ4g+4>cj+4a-iA>将此个等式相加，得：（hA+J14*"*1.）c1.+（¾+uA>+"*.2,）c3+SuA+。“4）G=AA+6禽+6.4从而有：MF''fT22这就是说，假如（G）是方程组（2）的一个解，那么肯定有；1.'N"），所以方程组只有一个解。三、齐次线性方程组在线性方程组中,有一种特殊的线性方程组.即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。明显，齐次线性方程组总是有解的，因为Xi=Oa=1.2."）就是它的解.这个解称为零解；其他的，即大不全为零的解（假如还有的话），称为非零解。所以，对于齐次线性方程组，须要探讨的问题，不是有没有解.而是有没有非零解。这个问题与齐次线性方程组解的个数是有亲密关系的。假如一个齐次线性方程组只有零解,那么这个方程组就只有唯一解；反之,假如某个齐次线性方程组有唯一解.那么由于零解是一个解,所以这个方程组不行能有非零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有推论工假如齐次线性方程组IaUXJ+%xj-0%X+<x,+%x1三0*>+a1.j2+f1.w-O（5）的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。推论2齐次线性方程组ux1+aax3+>+<x,-0axjax3+%x,-0artx1.+artx3+-+axB-O有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。四、例子例1解线性方程组3x1.+xi-xi+xt-3解：方程组的系数行列式：D-31211-110-I12212-11-13*0所以依据克莱姆法则.这个线性方程组有唯一解。又因A-3476-I1222-1-13D3-3121-34762-11-110-39DA-II0所以这个线性方程组的唯一解为：xj't-3x*¾例2解线性方程组- Xa+3x+2x4.6- 3x2÷3x3÷2xi-5- X3-÷243- x33xjx44解：方程组的系数行列式：2-1323-13-1所以依据克莱姆法则,这个线性方程组有唯一解。又因所以这个线性方和组的唯一解为：已知三次曲线尸/斯斗生/在四个点x71.XT2处的值分别为JD(T)M2)6J(-2)-6,试求其系数a01.J3o解：将三次曲线在4点处的值代入其方程，得到关于ao%/%的线性方程组：%01a3+Oj6<+<J(-1.)+a(-1)j+j(-1.)j=60+12+j2a+<2,三6/+a1(-2)+a(-2)j+aj(-2)j-6它的系数行列式是范德蒙行列式：-18-72*0所以依据克莱姆法则.这个线性方程组有唯一解。又因所以，8吗-Ia2-25T.即所求的三次曲线方程为/(x)-8-x-2*a例4假如齐次线性方程组有非零解，那么0小必需满意什么条件？解：由克莱姆法则知，齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零，因此有又由：D-OI11O1O11-31abO-4-a(I)2-AbO-1b-a需满意的条件为(aM)'4b°注用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的片元非齐次线性方程组，须要计算"7个"阶行列式，它的计算工作量很大。事实上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零与方程个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法，一般都采纳后续章节介绍的方法来求解。克莱姆法则主要是在理论上具有重要的意义，特殊是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系。
