《指数函数与对数函数》大单元教学设计.docx

指数函数与对数函数大单元教学设计1.单元内容指数函数和对数函数是两类重要的基本初等函数。在第三章“函数的概念和性质”中研究函数的般方法的指引下，本章让学生借助研究募函数的经验，学习这两类新的重要的基本初等可数-指数函数和对数函数，认识它们的变化规律，进一步理解函数的概念，并利用这两类函数建立数学模型解决实际问题数及其运算的产生和发展是推动数学发展的重要源泉和动力。数、式、方程、函数等内容的基研!是数及其运算，函数是数及其运算的延伸和发展。对于指数函数，本章首先引导学生经历从整数指数用到有理数指数林再到实数指数帮的拓展过程，建立实数指数案的概念，并研究其运算，为指数函数.y=(aX),且a#1.)的学习奠定基础;然后，教科书通过典型卜富的实际何选，抽象概括出指数函数概念;最后，重点研窕指数函数的图象、性脑和应用.I可样，在建立对数的概念、研究其运算，以及研究指数函数的基础上，研究对数函数的概念、图缴、性质及其应用。2.单元学情：在初中阶段学生已经掌握了正整数指数界的定义及其运算性质,随着新知识学习的新要求，正整数指数事已经不能满足学习的需要了。本章将正整数指数塞的概念与运鸵推广到了实数范围，在对恭概念进步理解的基础上引人辞函数、指数函数、对数手数.学习其相关性痂与应用。通过探究、发现、感悟等形式，让学生体会指数函数与对数示数广泛的实际应用.掌握本章内容，对学生今后的学习、实践将会产生重要的景响.3.单元目标：11解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数席的意义,通过具体实例J'解实数指数得的意义：2 .理解指数函数的概念和意义厚握f(x)=a*的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像.探索并理解指数函数的仃关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学.体会指数函数是种重要的函数模型：3 .理解对数的概念及其运兑性质J解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或臼然对数，了解对数的简化运算的作用；4 .通过具体函数.直观了解对数函数模型所刻画的数量关系.初步理解对数函数的概念.学握f(x)=1.ogax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型；5 .能借助计算器或计尊机画出具体对数函数的图像,探索并了解时数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点)；4.评价任务：课内：例题及对应的H标检测课外：作业检测5.单元实施，编号单元名称单元主要内容课时I对数函数对数函数I对数函数的图像和性痂1【学习资源】背景性资源：1637年，法国数学家笛卡儿(DeSCartCS,15961650年)开始用符号/表示正整数班，在他的几何学一书中,用才代表aaa，用/代表aaaa分数指数需在十七世纪初也开始出现，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师司格文(Stevin).十七世纪末，华里斯开始使用"表示分数指数及负数指数事.十八世纪初，英国数学家牛顿（NCWtOn,16421727年）开始使用,表示任意实数指数驿.这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数.对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（NaPier,1550年7617年他发明了供天文计鸵作参号的对数，并于1614年在爱丁堡出版了*奇妙的对数定律说明书h公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的-:大成就.【学法建议】学习流程：指数T指数函数一对数T对数函数T函数的应用（二）.重点难点：本堂的教学重点为实数指数塞及其运算,对数及其运算，指数函数和对数函数的概念、图像、性质及其应用.本章的教学难点是抽象、概括指数函数和对数函数的概念和性质.新旧联系：在教学过程中，以研究函数概念与性质的一般方法为指导，借鉴研究密函数的过程与方法，学习指数函数与对数函数，理解这两类函数中蕴含的变化规律：运用函数思想和方法，探索用二分法求方程的近似解；创设尽可能多的情境和机会，逐步培养和提升学生的规察,分析、探究、概括能力，通过建立指数函数模型、对数函数模型解决实际问题，体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用，从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的也要数学语言和工具.课时教学设计课题第I课时对数函数课型新授课（3豆习课口试卷讲评课口其它课口（一）教学内容分析本节主要内容是对数的概念，对数与指数之间的转化关系,以及一些常用的对数，这是后续学习对数的运算及对数函数的基础。本节内容属对数知识里的基础内容，是为r后面能够更好地理解对数函数而设计的,所以单独考杳本节知识的情况不是很多.（二）学情分析对于学生而言，前面已经学习了指数概念，而对数与指数是可以互相转化的，从这个角度切入，学生的兴趣比较高。但是对数这种形式的数学牛.之前没有接触过，在书写和使用上存在着一定的困难，需要一段时间来适应。（三）学习目标（1.）理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系，及常用对数和自然对数.（2）掌握指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.（3）根据对数的定义，归纳总结出时数的3条性质和对数恒等式：（四）教学重、难点重点：对数函数的概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养。难点：从不同的问题情境中归纳对数函数的定义域，并掌握对数函数的定义域。（五）教学评活动过程教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图问题1在4.2.1的问题I中，通过指数解运尊，我们能从y=1.1.1.中求出经过4年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，那么该如何解决？教师提出问题，通过分析上述问题其实际上就是从XX2=1.11.3=1.11，K4=1.11,.中分别求出X,即己知底数和零的值，求指数.这是本节要学习的对数。开门见山，通过对上节问题的提问和引伸,提出新问题.从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养。教学环节，新知探究教学内容师生活动设计意图1.对数(1)指数式与对数式的瓦化及有关概念:根据预习的情况，给出指数对数式互化公式，并强调底数a的取值范围两个对数的引入，直接给出即可通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系,进而理解.III=J二!:围是对数的概念，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养IIQ(2)底数aQ-1。及_|的茕2 .常用对数与自然对数,令互/Q用也)(f-(jyf,a¾(kN)(B¾¾3 .对数的基本性质(I)负数和零没有对数.(2)k>g0I=Q(>0,且).(3)1.og,><<=1.(f1.>0.且1.).思考：为什么零和负数没有时数？1.思考辨析(I)IoguW是Iogn与N的乘积.()(2)(2"=-8可化为1.og<248)=3.()(3)对数运.算的实质是求某指数.()答案(1.)×(2)×(3W通过指数对数式的互化给出时数的基本性质，强化指对互化的重:要性。由学生抢答，学生纠错，自主完成在处理两个小问题过程中，检测学生对概念和性质的理解程度教学环节I例题解析教学内容师生活动设计意图<三)典例解析例I将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：(1.)54-625;(2)27-1.28;(3)(%=5.73(4)1.og2=-5i(5)1.g100O=3：(6)1.n10=2.303解(I)由5"=625,可得k>gs625=4.由27.S，可得°i%28-7.由()m=5.73,可得Iogi5.73-2=m,(4)由1.og；32=-5,可得=32.由IgI()00=3,可得IO5=I(XX).由In10=2.303,可得e2w3=10.I规律方法指数式与对数式瓦化的方法将指数式化为对数式，只需耍将黎作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式：将对数式化为指数式，只需将真数作为弊，时数作为指数，底数不变.写出指数式：例2求下列各式中的X的值：(I)IogMX=-Tt(2)1.og,8=6：(3)1.gI00=r,(4)-Inc2=x._2_2解)(I)X=(64)3=(4。3=42=111(2,=8,所以x=(.=86=Q3)61=2=2.(3)10»=100=IO2,于是x=2.(4)由一1.ne2=x,得一X=Ine?,即e例1,例2学生抢答例3学生独立思考并板45,教师修正并完善，归纳总通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化。深化对对数概念的理解。*=c2,所以X=2.规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将时数式化为指数式，再利用指数杼的运算性质求解。探究问题1.gr,1.你能推出对数恒等式aMa>0且0,NX)吗？提示：因为o=N,所以X=IOgjIOgdN代入a，=N可得。=N.2.如何解方程Iog4(1.ogu)=?提示：借助对数的性侦求解，由Ig4(1.g3x)=1.g41»得IogAX=IX=3.例3设51.og5(2x-1)=25,则X的值等于()A.IOB.13C.I(X)D.±100若1.og5(1.gX)=O,则X的值等于思路探究：利用时数恒等式HogN=N求解：a利用1.og=1.1.ogI=0求解.aa1.g5(2-1)(I)B(2)10(I)由525得=25,所以,r=13,故选B.由IogS(IgX)=O得IgX=1.=1.().通过问题探究进一步理解对数的概念,并推出对数的相关性质，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养；归纳总结:1.利用对数性侦求解的2类问题的解法(I)求多费对数式的值解题方法是由内到外，如求IOg“1.og”的值，先求IOg的值，再求IOgJogM:的值.(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“1.og”后再求解.1.og11jV2.性质a=N与k>gd=Z)的作用1.ogujV(I)«=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式.(2) IOMO=8的作用在于能把以“为底的指数转化为一个实数(3)教学环节：课堂练习三、当堂达标1 .在b=1.oga("1.1.)中，实数卅的取值范围是()A.RB.(0.+o)C.(-oo,I)D.(1,+oo)【答案】D由1.>0得心1,故选D.2 .若1.og"1.og<9)=1,则X=.【答案】3由1.og2(1.ogt9)=1.可知1.og9=2,即2=9,.v=3(x=-3舍去).】IOgQ3 .IOgj3+3=.Iogi2【答案】31.ogj3+3=1+2=3.14 .求卜列各式中的X值：32(1.)1og.27=：(2)1ogzX=一下(3Xr=1.og27;(4)X=IOgjJ6.23【答案】由1.ogr27=1可得/=27,22x=273=(3j)3=32=9.2-Q由1.ogi=一亍可得=2,2T)3=需=坐由*=1.og27,可得27'=上，二3"=32,.,.x=T.通过练习巩固本节所学知识，巩固时数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。(4)由X=IogJJ6,可得g)=16，2'x=2i.Ax=-4.教学环节：小结思考四、小结1、对数的概念，指数式与对数式的转化：2、对数的性的及运用：五、作业1.课时练2,预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自已在学习中的易错点。（六）板书设计对数1、指对互化4、典例分析5、总结例1、例2、2、两个对数例3、6.作业3、对数的基本性质（七）作业与拓展学习设计1.完成教材：第131页练习1,2,3.2.预习下节课内容.（八）教学反思与改进在新课程背景下，如何有效利用课常教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学牛.在课堂上45分钟的学习效率，首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化。注意知识前后的衔接及联系，形成知识框架，其次要了解学生认知规律,知识水平，以便因材施教,再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的美系。课时设计：第2课时对数函数的图像和性侦一、教材内容分析本小节是高中数学在指数函数之后的鱼要初等函数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图彖亦仃其独特的美感。在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。二、学情分析学生已经学了对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性侦，从而深化学生时对数函数的理解，并且解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。三、学习目标1、掌握对数函数的图象和性质，能利用对数函数的图像与性侦来解决简单何超培养学生实际应用函数的能力.2、经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系,对数函数内部的的联系。培养学生观察问题、分析问题和归纳问巡的思维能力以及数学交流能力：渗透类比等基本数学思想方法。3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯，培养学生数学抽象,数学建模的核心素养.四、教学魔点重点：对数函数的图象和性质。难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质.五、教学活动流程(一)新知导入1 .创设情境，生成问题历史上纳皮尔是当之无愧时'对数缔造者”,理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作6自然辩证法中,曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的一：大数学发明,法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(PicrrcSimon1.ap1.acce1749-1827)曾说:对数,可以缩短计算时间，”在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.【想一想】我们能用研究指数函数的方法研究对数函数的图象和性质吗？提示：研究指数函数和对数函数的方法是相同的.2 .探索交流，解决问题【问题I】在同一坐标系内用描点法画出函数y=bkx和y=k>g,x的图象。列表描点并连线:【思考I】通过上述过程，说出这两个函数图象从左到右的变化趋势？【提示】这两个函数的图彖从左到右均是不断上升的.【思考2(I)在所画函数y=bg>r和y=1.og,x图象的基础上,再画出函数y=k>gx和y=bgx的图象,观察新画出的这两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征。(2)通过上述过程，你发现了什么？y/->bgI喻IkOg产函数y=1.og1X和y=1.og1.的图缴从左到右是下麻的.B.函数y=Iog”和S=IOg1.X的图象关于X轴对称,同样,函数y=Iog3.r和y=1.og产的图彖也关于X轴对标.(2)这四个函数的定义域均为(0,F),tfi域为R,都过定点(1,0)【设计意图】由问题引发学生思考：类比指数函数的研究方法，做出对数的图象，得出性质，培养学生数学抽象的核心素养。()对数函数的图象及性侦I.对数函数的图象及性质。的范围OVaV1.a图象Ir1Ho),阿*Iy-Iot1.i。心0)一a的范围O<<1.«>1质定义域(O,+<x>)值域R定点t.01,即X=1.时，y=0单调性在(0,+8)上是减函数在(0,+8)上是增函数3 .点瞄之箔：对数增诚有思路.函数图望看底数：底数只能大于0.等于1来也不行;底数若是大丁1,图象从下往上增;底数O到1之间，图象从上往下减;无论函数增和减，图象都过(1,0)点.【做一做】1 .函数y=1.og”的图象如图所示，则实数的可能取值为()A.5B.C.eD.r2 .)，=1.OgU的图象与尸1。电工的图象关于对称./3 .y=bgnx+1.(AO旦a1.)的图象过定点.0/'4 .Iogj3.4与Iog28.5的大小关系为.解析：)1. AC函数图象是单调递增的，所以底数大于1.2. X轴两个对数函数的底数互为倒数，所以关于X轴对称。3. (1.1)4.Iog23.4<1.og28.5函数IogiY是单调递熠函数。【设计意图】通过具体的例子，让学生加深对对数函数图象及性质的理解,(三)当堂达标检测1 .函数Kx)=In(X2+1.)的图象大致是()2 .(多选题)(2021辽宁丹东市高期末)已知点恒；在对数函数/的图象上，则()A35)>0B.7>JC.若Xf则/(x)H-2,1.D.函数f(/-2x7)的单调递增区间为(3.+»)【解析】1.Af(-x)=1.n(-x)2÷I)=1.n(x2+1)=f(x).所以f(x)的图象关于y轴对称.又x(0,+8)时，f(x)是增函数，且过点(0,0),所以A图符合.2.BD设对数函数/(x)=1.og,因为点(峙在对数函数/的图彖上，所以I=Iog11S.解得。=4,所以/(x)=k)g,x,对于A：/(05)=1.og40,5=-<0,故A不正确：对于B：0</(2)=卬2</(5)=尔5,所以卡>木，故B正确：对于C：f(x)=。氐*在上是增函数,所以卜小/，而fj)=g,=7'f(2)=og,2=T'所以"x)e-1.3,故C不正确：对于D：令SxJ-2x-3X),解得YT或f>3,IIr在(3+功上单调递增，乂/(M=I。氐X在+8)上单调递增.所以函数/(F-2x-3)的单调递增区间为(3.2),故D正确。【设计意图】通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。(四)课堂小结，反思感悟1 .知识总结：2 .学生反思：(1)通过这节课，你学到了什么知识？(2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。六、板书设计对数函数的图像和性质(一)新知导入例题(二)对数函数的图象及性质例题(三)对数函数图象及性质的应用例题七、作业与拓展学习设计完成教材：第135页练习1.2,3第140页习题4.41.2.4,7.12.13.