【《导数极限定理的推广与应用》6100字（论文）】.docx

导数极限定理的推广与应用摘要:长期以来.导数和极限都是大学数学的基础部分,是学习高等数学的开端。而对于偏导数、方向导数、高阶导数来说.学好导数函数的基本极限定理则是班厨省疑的第一步。导函数的极限定理是高等数学理论学习中非常基础的一个数学定理,既是导函数的基本性质之一,又是我们求导的数的重要工具,可以很好的帮助我们将高阶导数应用到偏导函数、方向导数及其他高阶导数等数学领域中。本文首先给出了导数与极限定理并给予注记,即利用函数的连续性求出Dmf'(X)='(x。),并XXo招其逐步推广应用至其他方向。最后.给出导数极限定理在方向导数、偏导数、复数域上的推广。关锁说：导数与极限；万向导数；偏导数；奥数域目录1.极限与导数21极限21.2 .导数41.3 关于导数极限定理的讨论52 .导数极限定理的推广72.1 导数极限定理在高阶导数中的推广72.2 导数极限定理在悔导数中的推广82.3 导数极限定理在方向身故上的推广102.4 导数极限定理在复数域中的推广123 .导数拨限定理的应用133.1 号函数无第一类间断点13结束语13参考文献：14引言被限和导数不仅是我们学习大学教学的第一门功课,也是我们学好高等教学乃至数学分析的重要基础,正所渭基础不牢,地动山摇.所以熟练竽握导数函数中的极限基本定理对于后面的本科学习工作是至关重要的。另一方面.微积分自1958年创立以来一直在国内外学界处于一个特姝的学术地位.近年来,随若我国撤积分的不断创新发展.导函数中的板限基本定理逐渐在数学分析中的方向导数、但导函数、复数域上得到推广与应用。1.极限与导数1.1.极限设函数/定义在.+刘上，我们研究当自变量X趋于+8时对应的函数值酢否无限的接近某个正数A例如,对于函数f(x)=：,从图像上看.当X无限增大时，函数值无限接近于0；而对于函数“。心工则当X趋于+/函数值无限接近于今我们称这两个函数为当X趋于+碉的极限.一般地.当X趋于+的函数极限的定义如下：定义1.1.1设/为定义在.汨上的函数,八为定数.若对于任给的£>0.存在正数M(").使得当x>W时有.f(x)-A<,则称凶数/当工趋于+领以A为极限.记做Hmf(x)=A或f(x)TH(XT+8).例1.1.1证明IimN=Oxaox证任给£>0.取M=I则当x>M时有-o=<=e,IxIk1.M所以Iim-=0X0pX定义1.1.1(函数极限的£-3定义)设函数/在点X。的某个空心邻域Uo(x0,')内有定义，为定数.若对于任给的£>0,存在正数S(<'),使得当0<x-x°<6时有fx)-A<,则称函数/当1.趋于X(J时以A为极限.记做加1.imf(x)=4或/(x)A(xM)Nfo例1.1.2设f(x)=头.证明IiW(X)=4.XT×2证由于当x2时，/4Ira)-4=-4=x+2-4=x-2,X-Z故对给定的£>0.只要取S=£,则当0<x-2|<6时有|/(x)4<r这就证明了!”沙(x)=4.例1.1.J证明!吧表M=:证当x1.时有pi2_.=|卫二|=IIzx2-X-I32X+1332X+1若限制X于0<僮-I1.<1(此时X>0),则2X+1>1于是.对任给的£>0,只要取6=min3e,1,则当0<x-1|<6时，便有1.2.W定义1.21设函数产/(x)在点x。的某邻域内有定义，若极限1./()-r()Iim*-孙X-Xo存在，则称读数/在点X。处可导.并称该极限为函数/在点X。处的导数.记作f'Go).令X=Xo+AX,y=/(x0+x)-/(1.),则上式可改写为Iim丝=Iim3立3=1.G)AX-OAXAX-OAX,，所以,导数是函数增空y与自变垩增室X之比号的极限.这个增呈比称为函数关于自变量的平均变化率,而导数/'(Xo)则为/在点X。处关于X的变化率.例1.2.1求函数/(X)=/在点X=1处的导数,并求曲线在点(1.1.)处的切线方程.解由定义求得/(1+X)-(1)(1+x)2-1.f(1)=Iim=IimX-*0XX0X=Iim2"+'X=Iim(2+x)=2.XOXX0由此知道抛物线y=/在点(.)处的切线斜率为k=f'=2所以切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1.定义1.2.2设函数，=/(切在点4的某右邻域肉，(1+可上有定义，若右极1. j,.f(0+x')-f(×0)Iim=Iim.(0x-0*XX0*XVXV6)存在,则可以称该函数极限为正值称其为了函数在某一点的有导数.记作f'.(X。)类似地.我们可定义左导数fz(0)=Iim"*d°).-AXTO-AX右导数和左导数统称为班贝J号数.定理1.2.1若函数y=/(%)在点X。的某邻城上有定义，贝旷'Go)存在的充要条件是f'_&>)与f'+G(1)都存在，目U)=()例1.2.2设八幻=；-8SX'；：,讨论/CO在x=0处的左、右导数与导数.解由于/(O+X)-(O)_x>0-XAXI1.fAXVO因此.，,1-COSX/.(0)=Iim=0,f,(0)=Iim1=1.,"AXrCr因为f'.(0)f(0)所以/在X=O处不可导.1.3关于导数极限定理的讨论定理1.3.1(导数极限定理)若函数f(X)满足下列条件：(1)在闭区间卜0-6,Xo+S上连续，(2)在开区间(XO-6,XO)及Go，X11+6)内可导.(3)1.1.m,(x)=,(A为有限值).XTXo则f(X)在点Xo可导,且1.(Xn)=k,即imz(x)=z(x0).X1.XO证明对VXW(X1.),Xo+<5).函数在区间区，切上满足微分中值定理的条件，则有“幻一/Go)=/'(E)(X-Xo),££(孙，X),且#,r、./(X)-/"(%().e'fff,(Xf1.)=Iim=Iimf，,+°-0*X-X0XfJ又煦/z(X)=k,且XT与+时£x0+,所以则，(£)=Jjrn/,(£)=k,即f'+(%)=匕同理可证z-(xu)="即f'+G。)与/'_(凡)都存在.且/'+(xu)=/'(&)=%,因此fCO在点右可导，且f'(%)=".注定理13.1的条件是充分但不必要的.如函数Ix2Sin-,x0r,0,x=0汝0时.f(x)-2xsin:cos%当.v=0时.f(0)=IimC°'=Iimxsin-=0,XTO-X-OXTo-×f,+(0)=Jiin=如XSinq=0则f'(0)=0,故有×(x)=f2xsi11i-cosi,x0,(0,X=O显然，燃1.f'(幻与J""'(x)都不存在,从而如M'(幻也不存在,但/_(0)=广.(O)=1.(O)=O.由此可见.函数可能在其他点小的一个单侧函数极限不存在,但是可能在其他点与的一个单侧导齿数极限存在.2、导数极限定理的推广2.1导数极限定理在高阶导数中的推广设物体的运动方程为S=S(/),则物体的运动速度为VQ)=s'(t),而速度在时刻S的变化率Iim典=Iim出R.t0t-to"S就是一个运动中的物体在某一时刻的运动加速度.因此,加速度幽数是一个速度路程函数的高阶导函数*也就是说一个路程回数S的高阶导数是环数的高阶导函数,这就由此产生了一些高阶导函数的基本概念.定义221若函数f的导函数f'在点与可导，则称f'在点勺的导数为/在点X(I的二阶导皴.记作/''(0).图Iim33=f''(0).XXTG同时称/在点X。为二阶导数.若f在区间/上每一点都二阶可导，则得到一个定义在/上的二阶导函数.记作f''(X),XEI,或者新单记为/''.一般地.可由/的J阶导函数定义/的“阶号函数(或简称阶导数).二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数/在点X。处的阶导数记作,ytnk“或会1.相应的，n阶导函数记作fMy或含这里鬻亦可写作为念,它是对F相继进行”次求导运算的结果.JES2.1.1设/S)()在UaI)连续，在“。(X(I)可导，IimfSF(X)存在,则叫)在X。处n+1.阶导,且*+】)3)=jm(n+1.)(x).XXn证/("D(X11)=如匕号誓2对函数m)()在区间卜，X。阈°,切上应用拉格朗日微分中值定理得f(n+D(0)=im-&)=Xx0XrQ1.im/S”)(£)=IimfS”)(幻.£介于郊与x0之间XTXqXFQ例2.1.1f(a)=(c-*x°.求f''(0).10,X=O解/U)在U(O)连续，在U°(0)可导，？喇(X)=期,C-K=0,所以/(x)*2-1pr?XH0在X=O处可导，目r'(0)=0'(X)=港',在U(O)连续，在u'(0)0,x=0可导.且盘广(2)=盘偿£)eT=0,所以广(X)在x=0可导.且广'(0)=0-例2.1.2设/（八）=arc1.x,求RO).解/'S)=7于是/''()(i+=1.故两边在求(n-1.)阶导数即可得到f00(x).故写出，'(幻(1+/)67)=0,由莱布尼茨公式,有fn>(x)(1.+X2)+(n-1.)<n-1>(x)2x+y)12)(幻.2=o.令尸0.代入上式并化简.得f(n)(0)=-(ZI-i)(n-2)/5-2)(0)/(0)=0,由上式,z(0)=0,<4>(0)=0.<2*J(o)三0(fc=0,1.2.-).f'(0)=1.,ff,z(0)=-21.1.,(5)(0)="43,''(0)=4!.由此可得严+D(o)=ji)k(2k)!(A=o,1.2.).2.2 导数极限定理在偏导数中的推广定理2.2.1(I)(x)=(x.%)在U(XO)连续.在(/。)可导.屈g，(幻存在，则f(X,y)在值,%)对X的偏导数存在，fiA(.y0)=im5,(2)设力(y)=f0,y)在仇)连案在。()可&ImizJ，&)存在，则f在(X0,%)对X的辆导数存在,且y(o.%)=J世力,(y)证记Va)=4则fx(u,y0)=Iim""止"、=HmeW-ex°)=Iimg'(x)=A.m×X(jX-M×X(jXfofxo例2.2.1iSu=In(x+y+夜).证明U满足u,uiu1x+y+z=2-证从而u_1?XaX2x+y÷z'r1rmu1Jyu1vzz.理白»=15+P+FZd7=2x+y+z,故u1.u1.u1x+y-+z-=×zyz2CT2.3.1(高阶偏导数)由于Z=&y)的痛导数&(x.y),fy(x.y)仍然是X与的函数,如果他们关于r与)，的偏导数也存在,则说明函数/具有二阶扁导数.二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：W偿)=会=加8D5偿)=施=&y(x，y)，傍)=蕊=Ray)(三)=S=y)类似地可定义更高阶的倡导数Z=/(x,y)的三阶偏导数共有八种情形,如(B)=B=,(y)累焉)=r)例2.3.1求函数z=靖+2>的所有二阶偏导数和柒.解由于函数的一阶偏导数是因此有怒=傍)*(*2=1土悬哈偿)W(i)=2.募=氯给*(2尸2,)=2eR=(2e"y叫和言吗僚)=加)=8ex+2y.2.3 导数极限定理在方向导数上的推广定义231设三元函数/在点P(I(X1.).y°.Z。)的某领域U(PO)UR3有定义.I为从点出发的射线,p(x.V,Z)为I上且含于U(Po)内的任一点,以P表示P与PiJ两点间的距离.若极限Hm-)=IqPTo4PPsP存在,则称此极限为函数/在点Po沿方向1的方向导数.记作Ipn»Zi(Po)或i(xo'y。,o)容易看出,若/在点PO存在关于X的偏导数.则/在点尸。沿X轴正向方向导数恰为打1_%当!的方向为工轴的负方向时，则有Mh=-凯CT2.3.1若函数/在点P1.I(X0,y0./°)可微.则/在点Po沿任一方向，的方向导数都存在,且i(Po)=i(P1.)cosa+4,(Po)cos0+6(P(I)COS.其中CoSa.cos,cosy为方向I的方向余弦.证设尸(x,y,z)为，上任一点,于是Xx0=X=PCoSa,y-y0=y=pcos,.z-z0=z=PCoS.有假设/在点PO可微.则有/(P)-/(P0)=人(PO)x+4(PO)y+fz(Po)z+o(p)上式左、右两边皆除以P,可得P=fx(P。)TfyW加。)VV=x(%)COSa+G(PO)COS+i(P0)cosy+等.因为当PTO时.上式右边等TO,于是左边极限存在且有/e。)=,谈”亍约=A(PO)CoSa+4,(,)c0s+G(Po)CoS.对于二元函数f(,y)来说相应结果是Zi(Po)=&Go,y°)cosa+fy(x0,y0)cos,其中.3是平面向盘1的万向角.例231设/(x,乂z)=x+y2+z3,求/在点(1,1.1)沿方向1.(2,-2,1)的方向导数.解易见/'在点PO可微.故由&(PO)=1.y(P0)=2,(P0)=3及万向，的万向余弦22cosa=,=",22+(-2)2+I23-22COSB=,=22+(-2)2+I2311COSY=1：=-,22+(-2)2+1.23可求得f沿万向，的方向导致为Zi(Po)=I1：+2(-：)+3；=%2.4导数极限定理在复数域中的推广数学分析很多结论可直接推广到复数域上来.本文给出复数域中直线段上的中值定理.CT2.4.1设复数量函数/（三）在区域。内部可导.力上连续，复数凡Z>万且b,则存在£,(.b),使得%=Refz(f)+Umfz().这里(”.口表示区域万中连续复数“，力的直线段(不包括端点).方为区域。的闭包.SS2.4.2设复变函数7在点ZO满足:(I)某邻域U(Zo)连续,(2)，(ZO)内可导，(3)极限Iim1.（三）存在,则f在点ZO点可导，Bf1.1.im/z（三）=z(z0).ZTZOZfZo证明显然有满足定理2.4.1的条件,故任取ZIT(Zo),存在£.E(z,Zo),使得侬二3=Ref,G)+Umfz(7).ZrOf（三）-/(Z0)因此当ZED,ZTZo(不管沿着任何方向)时,均有£TZo且4TZo.对上式两边取极限,便得IimRef,()+iIimImf'()=IimRef,（三）+iIimImf'（三）=Iimf,（三）由条件Hmf'（三）存在,从而Iimf'（三）=f'(z0).3.导数极限定理的应用3.1导函数无第一类间断点定理3.1.1(导函数无第一类间断点)设函数/()在(出b)内处处有导数f'().则(ab)中的点为'(X)的连续点，或者为f'(X)的第二类间断点.证明因为在(4方内处处可导，所以对任意XoW(%b),假设a为一(X)的可去间断点.Iimf'(X)存在.由定理3.1.1可知f'(切在几点连续.假AXO设与为跳跌间断点,即累J'(X)与累_/'(X)存在,但Iimf'a)=Iimf,(x),x-xo+'x-*x9,可知Xo为函数/(X)的不可导点.因此在3,力内任一点处./'(切连续.或者/'(幻至少一侧极限不存在，即为第二类间断点回.即也说明导数网数不可能存在跳沃间新点.下面进行举例说明,导函数不可能存在可去问断点.例3.1.1设/(X)=1.xJ).证明：不存在一个函数以“X)为其导函数.证明假设存在函数g()满足g'(X)=,X(-8,+8).则有g'(0)=/(0)=1.另一方面,由于g()满足导函数极限定理条件目!吧g，(X)=im(x)=1.imx=0.知g'(0)=11m'(X)=0.矛肯.证毕.结束语导数极限定理虽说只是微积分学习的一部分,但却是学习掌握大学数学不可或锹的中坚力母，在现阶段的发展中.导数极限定理更是起着不可替代的力三.随着微积分领域的不断发展，导数极限定理也在向着更深层次飞速发展.并逐步朝着方向导数、偏导数、复数域乃至更多数学分支的领域不断地推广和应用。参考文献：U1.华东师大数学系.数学分析(上班NM1.北京：癌等教育出版.2010.围否孔.关于导览极限定理分析性债的讨论JJ.衡水学院学报.2007(01):483&3李桂花,刘汝芳.杨军.瞥抱.寻敬次限定理的选一步斫究J科技信息,2010(1.4)51951.9网王片,王金花,赵志平.导数极限定理的推广北沧州师范学院学报,2OI43O(O1X2831.5)张平文,李铁军.数值分和M.北京：北京大学出版社.2007.李海鹏,李高明.关于导函数股限定理的注记叫.高等数学研究2)I7,2(XO5)43I3D)吴艳.导函数极限定理的应用及推广U1.iS等数学研究.2018.21(05):36-38.I引装礼文.敬学分析中的典型i可磔与万法M.北京：惠等教育出版.2005.