【《导数极限定理的推广与应用探究》6100字（论文）】.docx

导数极限定理的推广与应用研究病要：长期以来,导数和极限一直是大学数学的基本蛆成部分,这是学习高等教学的开始。对于偏导数.方向导数.高阶导数和其他广义导数来说,毫无疑问.学习号数函数的基本极限定理是第一步。导数函数的极限理论是高等数学理论研究中非常基础的数学理论,它不仅是导数函数的基本性质之一,还是寻找导数函数的重要工具。它可以帮助我们将高阶导数应用到偏导数，方向导数和其他数学领域中较高阶导数的函数中。本文首先介绍了导数理论和极限，并给出了观察结果.即使用函数的连续性找到Hm/'(X)='(Xo),然后将其逐步扩展到其他××o方向。最后,在方向导致.隔导数和复数域中给出了导数极限定理的扩展。关键消：导数与极限；方向导数；偏导数；复数饿引言iI.极限与导数21.I极限212导数31.3关于导数极限定理的讨论52、导数极限定理的推广62.1 导数极限定理在高阶导数中的推广62.2 导数极限定理在隔导数中的推广82.3 导数极限定理在万向导数上的推广102.4 导数极限定理在复数域中的推广123.导数极限定理的应用133.1 导函数无第一类间断点13结束语13参考文献14引言极限和导致不仅是我们学习大学数学的第一门功课,也是我们学好数学分析的重要基础.正所谓基础不牢.地动山摇.所以熟练掌握导数函数中的极限基本定理对于后面的本科学习工作是至关重要的。另一方面,微积分自1958年创立以来一直在国内外学界处于一个特殊的学术地位.近年来.旃若我国撤积分的不断创新发展,导函数中的极限基本定理逐渐在数学分析中的方向导数、偏导函数、复数域上得到推广与应用。1 .极限与导数1.1 极限假设函数/在a,+8中定义.当自变量a趋于+8时,相应函数的值无限接近于正数A。例如.对于函数S>,当疣穷增大时Jb抚穷接近于0：对于函数/(X)=ananx,当X趋于+8时.f(x)无限接近112o我们将这两个函数称为灌于+a时的极限。一般地，函数极限的定义为：定义1.1.Iw令/为在k，回上定义的函数,并且A为定数.如果对于任何给定的£>0.存在一个正数M(),并在XAW时有.(x)-A<,那么可以说当X趋于+8时.函数f以人为极限，记为Iim/(x)=/1或/(x)Ax+).18例1.1.1证明IimI=0.xaox证明任给£>0.取M='则当x>M时有UVAM所以Iim-=0pX定义1.1.2(函数极限的£-6定义)假设闪数f(x)在点Xo的某空心邻域Uo(x0,')内有定义,4为定数.如果定于任意给定的£>0.则有一个定数6(<,),并在0<以一与|<6时存在(x)-A<f然后函数人切在X趋于X。时的极限称为儿记作Iimfa)=4或f(,×)A(X11).Xf飞例1.1.2设/(外=,证明J吗/(X)=4.证由于当工2时./4Ifa)-4=-4=x+2-4=x-2,故对给定的£>0.只要取6=£,则当0<反一2|<6时有|八外一4|<4这就证明了!四/(幻=4.例1.1.3证明J吧W=*证当x1.时有XZT_2|Ix÷1._2|Ix-I1.12XJT一W1.-2x+1.-另|-32x+1.若限制X于若限制X于OC1.X11<1(此时X>0),则2x+1.>1.于是，对任给的£>0.只要取6=nin3e.1,则当OV1.X-I1.V<5时,便有XJ1.2,Ix-I1._H11J<F<e1.2.翎定义12.11设因变量产/(X)在点Xo的某邻域内有定义,若极限1.-r(0)IiniXfqK-XO存在,可以说函数/在点X。上是可导的.其极限是函数/在点&处的导数.表示为/'(X0).令x=X0÷x,y=/(x0+x)-/(1.),然后上式公式可改写为Iim?=Iim乙对=1.(X)AXTodXXOAX因此,导数是函数增军y与自变垩增室X的比率W的极限.该增至比率称为X函数自变量的平均变化率，而导数'GJ则为/1在点见处关于X的变化率.例1.2.1求函数/(x)=/在点X=1处的导数,并求曲线在点(1,1)处的切解由定义求得广=J/(1+AX)-(1)XX0XIimI"""Iim(2+x)2.AX-OAXAX-O能够得到抛物线y=/在点(,1)处的切线斜窣为k=f'=2所以切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1.定义1121假设函数y=/(X)是在点X1.I的某右邻域ko,X。+5上定义的.若石极限f(n+X)-f(n<x<5)(0存在，函数的极限可以在某个点称为了函数的右导数，记作/'+(X。)类似地，可以定义左导数f'-Go)=髻皿右导数和左导数通常称为单侧导数.定理1.2.1若函数y=f(幻在点X。的某邻域上有定义，贝叶'(4)存在的充要条件是/1.(x0)与/'+(人)都存在,且例1.2.2设/(x)=SXj讨论/在产0处的导数.I入IJ解由于/(O+Axf(Q)_X1,X<0因此，,、1cosXf÷w=A÷AX=0>/'-MR=1-因为f'+(O)1(O),所以/在X=0处不可导.1.3关于导数极限定理的讨论定理1.3.1(导数极限定理)如果函数/(X)满足以下条件:(I)在区间1.n-6,X。+6上连缀(2)在开区间Go-，X。)及(X0,/+6)内可导.(3)史"(x)=A.仅为有限值).则/G)在点/可导，且广&)=,即!吧/'(x)=1.G°)证明对于Vxe(与，x。+。).函数b)在区间ko,上满足微分中值定理,则有f(x)-fGo)=f,(E)(X-XO).£e(X0，X),且,/、/(X)-f(XD).e,(t)f+&)=%X二X。=理J也又PTfyX)=k,且XTXJ时£X0*,所以J吧J，()=hmfz(f)=k,即f'+(X。)=k同理可证,-(u)=k即f'+(X。)与/'_(XI1.)都存在.fi,+(u)=/.(XO)=上因此f在点Xo可导，目r'Go)=k.注定理1.3.1的条件是充分但不必要的.如函数(x2sin-,x0r，0,x=0当XHO时.f'(幻=2xsin：-CoSj.当X=O时.f(0)=Iim'C°'=Iimxsin-=0,一0"*一。XT(TXf,0)=Jhn空詈=Jiinxsin7=0,则f'(0)=0,故有,(幻2xsini-cosi,x0(0,X=O显然，Iimf'(x)与Iimj'(切都不存在.从而Iimf'(幻也不存在，但/'.(0)=XTO-X-Ofxo/,.(O)='(O)=O.不难者出，该函数很可能不存在其他点X。的一个球侧函数极限.但是可能存在其他点Xo的一个单侧导函数极限.2、导数极限定理的推广2.1导数极限定理在高阶导数中的推广假设某个运动物体的方程为S=SQ),物体的运动速度为u(t)=s'Q),则速度在某特定时间to的变化率Iim地卫3=Iim吆2,toAtCTro就是在某一时刻运动物体的运动加速度.因此加速度函数是一个速度路径函数的高阶导函数.换句话说，路程函数s(t)的高阶导数是该函数的高阶导演数.因此产生了高阶导函数的基本概念.定义2.211)如果函数/"的导函数/'在点Xo可导.则在点Xo处的导函数称为,在点见的二阶导函数,表示为f''(X0).即Iim，(?)=f''(x0).XXTG如果/在区间/上每个点都是二阶可导的.则得到在/上的二阶导数,表表示为f''(),Xe或简单称为f'通常地,可以由/的n-1阶导函数定义/的n阶导函数(或通常称为阶导数).二阶及更高阶的导函数都称为高阶导数函数,并且函数f在点X。处的阶导函数表示为fG。).y(叫X=”或第d相应的，n阶导闪数写为f叫/或含此处震也可以表示为这是对y进行“次求导运算的结果.定理2.1.1设#)(幻在U(Xo)连续，在u。(Xo)可导.J叱/("D(幻存在.则/(x)在W处n+1.阶可导.且<n+(x0)=MmS+i)(x).xo证fn+(xo)=Iim/5Wg%对函数/(伙外在区间上j或卜，xXTXoX。上根据拉格朗日中值定理得*+%)=Iim/-Ng)='°XfX-Xo1.in+,>()=IimfS+D(x).£介于X与之间XTXOXTXG例2.1.1f()=(c-3,x°.求f''(0)1.o,x=0解/(-t)在U(O)连线，在V(O)可号期f'(X)=期号=0,所以f"21pRX¥()(-t)在=o处可导.目/'(O)=0.fz(X)=X3'.在U(O)超绿在0,X=OU'可导.！则(2)=!吧G-点)e-=0,故1.(X)在X=O可导,且/zz(0)=0-例2.1.2设f(x)=arctanx,求/(0).*z=.于是f'(X)(I+/)=1.故两边在求(n-1.)阶导数即可得到00(x).故写出'()(1.+2)S)=o.由莱布尼茨公式,有/(«)(1+X2)+(n-1.)<n-1>(x)2x+ST):-2)1吁2)(),2=0.令x=0,代入上式并化简，得f6)(0)=-S-1.)(n-2)/3-2)(0)/(0)=0.由上式.有f',(0)=0.<4>(0)=0,-.a(O)=OR=0,1.2.-).Az(0)=1.,f''z(0)=-21.1.fG)(0)=-43f'''(0)=4!,，由此可得产W(O)=(Ty3)!(=o,1,2,).2.2导数极限定理在偏导数中的推广定理2.2.3(I)设g(x)=/(x,凡)在U(Xo)连续，在UoGo)可导，Iimg'(x)存在,则f(x,y)在(与，儿)对X的偏导数存在,且x(1.1.,y0)=Iimg，xXTXG(X).(2)设/(y)=f(xa.y)在Ub)连续,在U°(凡)可导.JinU'(y)存在.则/(X.y)在(Xo.y。)对X的偏导数存在，目6(xo,y0)=Iimh'(y).证1.ir11r三则A(xo,X0)=f(xyj(hy“)_n1g()-o(XU)X-,0Xx0XrI)=Iimgz(x)=A.io例2.2.1iSu=1.n(x+y+z).证明U满足u,u1.u1x+y+z=二.xJayz2证从而u_1Xx2,x+y÷,rnu1Jyu14iHr同理=1五诉忑.zd?=2J+y+z,故OuIuu1+y诟+z瓦=3定理222(高阶偏导数)因为z=f(x.y)的偏导数A(x.y).fy(x,y)仍然是与X与y相关的函数.如果他们与X与y相关的偏导数也存在,这意味着函数,拥有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数具有之下四种情况：卷偿)=募=源(Zy),尚偿)=施=加(尤y)高偿)=照=R(Xy).(1)=怒=加8y)可以定义更高阶的辆导数,Z=/(Ky)的三阶编导数有八种情况，例如氯鉴)=f=f*Gy)，恭哥)=小加y)例2.2.2求函数Z=e*+2y的所有二阶偏导数和粉.解由于函数的一阶偏导数是行尸/g=2e-因此有B=(三)+2y>三+2y偿)吗(e"=2i.施一僚)=Qxf=2e",g=(三)=x+2y)=4ex+2y和需吗制呜5”8i.2.3导数极限定理在方向导数上的推广定义2.3.1假设三元函数住点PO(X°,y°.Zo)的某个邻域的U(PO)UR3处定义,并且，是从Po出发的射线，p(x.ytZ)为!上任一点,并包含于U(Po)中.如表示两个点P与PO之间的距离.如果极限HmgZ3=Hm.p0*PP-0*P存在,则此极限称为因变量，在点PO沿方向I的方向导数.表示为瓜，力(Po)或(出，%，)可以看出,如果底点PO具有关于X的偏导数，则/在点Po沿X轴正方向导数正好是曳I一里I训出一纵3'当I的方向为K轴的负方向时则韵%=一蜘4定理23如果因变量/在点a(勺，y°,ZO)上是可微的，则/在点Po沿任意一方向!的方向导数存在.并目i(Po)=-cosa+G(PO)COS。+人(Po)COS,其中COSa.cos.cosy为方向!的方向余弦.证设p(x.y,Z)为/上任一点,于是X-X0=X=pcosa,y-y0=y=PeOS.Z-ZO=z=PCoSy.有假设/在点方可微，则有“P)-f(P。)=人(PO)x+4,(P0)y+-(PO)z+O(P).上式左、右双方皆除以p.可得P=fx(P。)mo)Vfz(p。)jr+jr=fx(P0')cosa+6(Po)cos+1.(PO)COSy+等.因为当PTo时，上式右面手TO,于是左极限存在且有A(Po)=期J(P)/=A(Po)CoSa+4()cos+A(P0)COS.对于二元函数f(,y)来说相应结果是i(Po)=Zr(Xo，%)cos+4(x0,%)cos,其中.0是平面向呈，的方向角.例2.3.1设f(x,y,z)=x+y2+z3,求住点儿(1,1,1)沿万向1.(2,-2.1)的方向导数.解易见/'在点PO可微.故由人(PO)=1,1.(PO)=2,A(P0)=3及万向，的万向余弦22cosa=,=-,22+(-2)2+I23-22cosB=:=r22+(-2)2+I2311COSV=,=-,22+(-2)2+1.23可求得/汨方向，的方向导数为i(P0)=1.三+2(-)+3A=12.4导数极限定理在复数域中的推广可以将许多数学分析的结论直接推广到复数域上来,并获得复数域中直线段上的中值定理.定理2.4.1假设登数f（三）在区域D内是可导的.D上连续，及数Dfiab,则存在£,E(,b),使得怨詈=Ref×()÷Umff(),这里(“，b)表示区域方中连续复数,8的直线段(不包括端点),方为区域0的闭包.定理2.4.2殿设复变函数/在点ZO处:(1)某领域U(ZO)连续.(2"。(Zo)内可导,(3)极限J粤f'（三）存在.则/在点ZO点可导.即JW（三）=f'(z0).证明显然7(2)达到了定理241的条件，故任取ZWtr(Z0),存在£,e(z,Zo).使得”等=Ref'(£)+Umfz().因此当ZWaZTZO(不管沿着任何方向)时.均均有£TZo且rz0对上式两边取极限,便得Iim_/"。)=IimRef,()+iIimImf'ZTZOZ-Z0ZTZOzz0=IimRef'+iIimImfzZTZOZTZQ=Iimf'（三）.1.NO由条件把篡'存在.从而Z吧广=广(2。).3.导数极限定理的应用3.1导函数无第一类间断点定理3118)(导函I数无第一类间断点)假设回数/(X)在(凡b)内到处都有导数'G),则(凡b)中的点为f'(x)的连续点，或者为rz(x)的第二类间断点.证明由于，可以在与内任一处可导，对于任何x1>w(.b).假设X(I为/(x)的可去间断点,Iim/G)存在,并且从定理3.1.1知道'(x)在看XTXO点连续.假设X。为跳沃间断点,即存在Iimj'(均与Iimj'(x),但是X*XqX"XpIimf'8=Iimf,(x),XX0*r-x<T，可以看出Xo是函数/(X)的非导数点.因此在(",切内任何一点上J'8是连续的.或者Ua)至少一侧极限不存在,即为第二类间断点.这也说明导数函数不具有跳沃间断点.下边一个示例说明，导函数不可能存在可去间断点.例3.1.1设f(x)=PF*证明：不存在一个函数以f(x)为其导函数.11,戈一U证明假设存在函数g(x)满足9'(幻=f(x),X(一8,+2.则有g'(0)=/(0)=1.另一方面,由于g(x)满足导区(数极限定理条件目%。'a)=Ii则a)=期田=0知g,(0)=Hm.9z(X)=0.矛盾.证毕.结束语易载极限定理虽说只是微积分学习的一部分,但却是学习掌握大学数学不可或缺的中坚力量,在现阶段的发展中.导数极限定理更是起若不可替代的力三,随着微积分领域的不断发展.导数极限定理也在向着更深层次飞速发展.并逐步朝着方向导数、偏导数、复数域乃至更多数学分支的领域不断地推广和应用。参考文献：U1.华东师大数学系.数学分析(上班NM.北京：癌等教育出版.2010.周否孔.关于导览极限定理分析性债的讨论JJ.衡水学院学报.2007(01):4838.3李桂花,刘汝芳.杨军.曾抱.寻敬次限定理的进一步斫究J科技信息,2010(14)51951.9网王片,王金花,赵而平.导数极限定理的推广北沧州师范学院学报,2OI43O(O1X2831.【5张平文,李铁军.数值分和M.北京：北京大学出版社.2007.李海鹏,李高明.关于导函数股限定理的注记叫.高等数学研究2)17,2(X05):"I3D)吴艳.导函数极限定理的应用及推广U1.iS等数学研究.2018.21(05):36-38.引装礼文.敬学分析中的典型i可成与万法M.北京：惠等教育出版.2005.