专题01 数与式问题（解析版）.docx

专题O1.数与式问题【考点1】实数与数轴问遨【考点2】整式的求值问题【考点3】分式的求值问题【考点4，根式ms与化简【考点5】数字的变化规律【考点6】图形的变化规律典例剖析【考点1实效与数轴问题【出1】.实效a,b在敷轴上对应的点的位如图所示，下列结论正稽的是（）、a.、b、,-2-1012.a>bB.-a<bC.a>-bD.-a>b【答案】D【所】【分析】根据数轴即可判断“和的符号以及fi对他的大小，根据有抑数的大小比较方法进行比较即可求解.【详解】根据数地可得：<O.h>O.i>.【点肪】此牌主要考出/代数式求值,以及仃理数的混合运尊.要熟练掌理.解他关犍是理解H尊流程.【考点3】分式的求值何JI例3.t2+3x=-1.»则X=.x+1【答案】-2KM1.【分析】X-；中两飒分弁利用网分母分式的减法法小计力.；+3=-1.,代入化於即UMJ到结果.【详解】1.V+X-1F+3>x2x2x22(.r+1).x+1x+1x+1x+1x+1故答案为：2【点BH此也考查/分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关圾.【支大31】若,+1=2,期分式56±5二2加的值为一.mn-m-n【答案】-4.【丽】【分析】将已知等式左边通分并利用同分得分式的加法法则计。，得到m+n=2mn,代入所求式子中计和，即可求出值.【徉解】+=2.''1.(,im+n=2umn5m+5n-2m11_5(n+n)-2tni_10m11-2wn-m-n-(，”+)-2ntn=-4j故答案为-4.【点命】此型考ft分式的化简求值,掌握运。法则是解亚关雄1支大32】先化简.再求值，m-r+-,其中，”，足wj-,h-1=O.nV+2m÷Im【答案】m：一,tI.m+1.KM*f1.【分析】将分小运用完全平方公式及平方公大进行化简,并根据m所满足的条件得Hin=1n+1.，将其代入化简后的公式.即可求得答案.【详解】原式为m;-m+2m+1.m-1+m(m+im-1.)m=m；×(m+1.)n-1.m+1.m2+mm=m+1m+1m219m+1.乂Ym满足m'-m-1.=O即m2=m+1.格m"1.入I-弋化向i'J”保.1.,1.nrm+1.1 .原式=I.m+1.m+1.(.Hft1.本3S主要考察了分式的化简求值、分式的混合运"、完全平方公式及平方差公式的检用,该题用于基础超,计算上的错误应避免.【考点4二次根式的性国与化简【例4】.实数“、/，在敷轴上的位如图所示，化管而WFTM"117-府方的结果是().a1.,1.bT4O123D.2bC.-2a【答案】A【所】I分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范困，再利用二次根式的性侦和绝对值的性防即可求出答案.【详解】解：由数轴可知-2VaV-1.,1.<b<2.a+i<O.b-1.>O,a-b<O.2 J(+1+JS-I)-(a-b)=<+1.+h-1.-a-=-(+1)+(>-1)+(-Z>)=2故选A.【点BH此题主要考查/实数,数轴之间的对应关系,以及二次根式的性质,要求学生正确根据数在数粕上的位置判断数的符号以及绝对值的大小.可根据运算法则进行判断.及共生口.牯计仅6+3播卜4的值应在().4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间【答案】A【所】【分析】根据二次板式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.【详解】(23+32)=2小乂川&XA=2+y.V4<6<6,25.V2<6<2.5.4v2*6<5,故选：A.【点脑】此即考查了二次根式的混合运算.无理数的估尊,正确掌理二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估。是解题的关键.HA14-2.1(X)1-+o-1002=»««'1.-I(X)I2=10(>2.【分析】由二次根式有息义的条件得到“£1002,据此去绝对值并求得。的值,代入求值即可.【解析】.“100220.：.(11002.I1.川OOI-u+_1002=«拶-I(X)I+rt+-1002=«.f1.-1002=11.-1OO2=1OO12.：.a-100I2=1002.故答案Ah1.OO2.【史44-3已知v=y(-4)2-x+5.当分别取.2,3,202。时,所对应y值的总和是【答案】2032【丽】【分析】先化而二次根式求出y的衣达式，再将X的取值依次代入,然后求和即UJ得.【详解】y=y(-4)2-x+5=x-4-x+5W1.XV4时.y=4-.v-x+5=9-2x“ix24时，y=x-4-x+5=1.间所求的总和为(9-21.)+(9-22)+(923)+1.+1.+1.=7+5+3+1.×2OI7=2032t详解】1.×3-22=3-4=-1.<2)24-32=8-9=-1.<g)3×5-42=15-1.6=-1.<)4X6-5:=24-25=-1;故答案为4X6-5?=2425=1.<2)第n个式子为：nX(打+2)-+1)、=-1.故答案为“X(/;+2)-(+1)=-1.【点睛】木造主要考送了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键.【义大$3】.按一定规律挎列的一列数I3,32.3T,九3'37,3-,3%，若。，儿C表示这列数中的连跳三个数，Wath,C洪足的关系式是.【答案】bc=aCMfr1.【分析】根据也门中的数字.可以发现相邻的数字之间的关系.从而可以得到小b.<之间满足的关系式.【佯解】解：.列数：3.32.3-'.3'，3-.3.3-".3'"f可发现：第n个数等于前面两个数的两.Vrt.儿c表示这列数中的连续三个数./.bc=a,故答案为：bc=a.【点脐】本题考查数字的变化类.解答本题的关键是明确题意.发现超目中数字的变化规律求出c之间的关系式.【考点6】图也的变化加律取一个正方体，抽到带“心”字正方体的凝率是()【答案】D【分析】报据图形规律可得第n个图形共有1.2+3÷4+n=0+")”个正方体.最卜面行n个带“心”字正方体.从而2得出第100个图形的情况.再利用概率公式计R即可.【详解】解：由图可知：第I个图形共有I个正方体，以下面有I个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体.最下面有2个带“心”字正方体：第3个图形共有1+2+3=6个正方体,WMIIi有3个带“心”字正方体：第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体,鼠下面有4个带“心”字正方体:第n个图形共。1.+2+3+4+.+n=上必个正方体，Ja下面有n个带“心”字正方体:2以第100个图产I,*"J.+KxK+00)100T)S,b1.'KXH21000.从第1(劝个花宴所需正方体中甑机抽取一个.：，体的微率是777=777.5050IO1.故选：D.【点腑】本题考表/图形变化规律.横率的求法,解翅的关犍是总结规律,得到第I(Jo个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数.【支义&2】.一个电子跳遥在数轴上做跳跃运动.第一次从原点。起落点为4,点X表示的数为h第二次从点八,起跳.落点为0八的中点八”第三次从心点起H,落点为。小的中点小I如此跳跃下去后落点为"Ay的中点4瑜.则点Aam表示的数为.第一次【答案于丽AMfr1.t分析】先出抠数轴优勺定义分刑求W点A,a2AA1表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可【详解】由Je意袍：点A*万'j=-立A&小的数为0A1=：=亍点A3我示的数为10A=1'1：小的玄-OA1=g=5打二类推得：点4衣示的较为则小AM示的数为F故答案为：71(A1A1.W本题查了数轴的定义、线段中点的定z.IMB点A，4,4,4表示的效，正的M1纳一解的关犍.【支戈&3.如图，0A,A,为亶角三角形,OA1.I,以斜边OAz为直角边作等腰直角三角形OA2Aj,再以OA为直角边作等腰直角三角形OAS“，按此爆神作下去，JBOA“的长度为(3已知实效，在数轴上的对应点位置如图所示.则化倚S-I1.-Jg尸的结果是)aIIIdO12A.3-2«B.-IC.1D.2。-3【答案】D【师】【分析】报据数轴上a点的位置，判断出<a-)和(a-2>的符号,再根据非负数的性质进行化简.【详解】解：由图如：IVaV2,a-I>0.a-2<0.原式=aT(1.-2=a-1.+(a-2)=2a-3.故选D.(A1.fi1.此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出a-1.>0.a-2<0是解跑关健.4. .实效“在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数清足-a<b<(if则的值可以是(aI.aI1_tAd-3-2-I0I23A.2B.-IC.-2D.-3【答案】B【丽】【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围,从而可得出b的取值范围,由此即可得.【详解】由数轴的定义得：1.vav2.-2<-a<-1.<2'j-a<b<a.b到原点的距禹一定小F2观察四个选J.只行选项B符合故选:B.【点睹】本题考查了数轴的定义，然记并以活运用数轴的定义是.解题关键.5.下列各正方形中的四个数之间都有相同的短律，根据此规律，X的值为(.)KMW1.【分析】.ft,方形内有:2X2=4,2X3=6,2X4=8,可求解bI从得到。.再利用a,h,JC之R的关系求解X即可.【详解J解：由观察分析；每个正方形内有I2×2=4.2×3=6,2×4=8,/.2/?=18,:.b=9,山观察发现：=8.又每个正方形内有：2×4+1.=9,3×6+2=20,4×8+3=35,.18+=X,.=18x9+8=170.故选C.'IW本必考查的足数字类的规律题,掌握由观察发现.总结.再利用规律是解跑的关柳.6.1. 一定短律排列的单项式，“，-2“，4a,一&/,I6,-32，第”个单项式是A.(-2广B.(-2)""C.2"TaD.2na【答案】A【师】【分析】先分析箭面所给出的单项式，从三方面(符号、系数的绝对值、指数)总站规律，发现胡体进行概括即可得到答案.【详解】斛：丁2a4。/1-32。可记为:(-2)1.z,(-2)1,(-2)'«,(-2)'«,(-2)4«,(-2)511,第项为：(一2)"Ta故选A.W本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类同超的关键.7.下列运算正确的是()a伍短=层=±gR.(dj=ab"C(Xr+言)1+,，+/三B=(X+»D纪+金=生3ab4ab5a【答案】CKAMfr1.【分析】分别根据：次根式的乘法,¥的乘方和枳的乘方，分式的混合运。，分式的除法法则判断即可.【详解】=工+上(.v+y)(x-y)x+yy-y+y(x+y)(x-y)y1故答案为：.X-y1点Mf1.本的由普考簧分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.9.已知=7-劝，则代数式/+权而+汕的值为.【答案】49KMtr1.【分析】先将条件的式子转投成。+3加7,再平方即可求出代数式的值.【详解】解；.O=7-劝，。+勖=7，(i'+Gab+9b'=(«+m=7?=49,故答案为：49.【点肪】本他!若吉完全平方公式的简单应用,关键在于通过已知条件进行转换.10.若+8=1.,2-fr+2b-2=.【答案】1KM1.【分析】将原式N可为(+z>)(一彷+”一2,内将+b=1.代入求值即可.【详解】a2-bi+2b-2=(a+b)(a-h)+2b-2将+Z>=1.代入，原式=-)+%-2=a+b-2=1-2=1故答案为：1.(.,Hft人四力c'代数式求泡，其中解题的关涩是利川平，j(a+b)(a-b)+2-2.II.按如图所示的程序计算的数、的值，着入的'值为-3,则出的结果为.【答案】IXCMfr1.【分析】根据-3<-1确定出应代入y=22中计尊出y的值.【详解】料：V-3<-I.x=-3代入y=2x，得y=2×9=18,故答案为：18.【点评】本的主要考查次数值的计律,理解虺意是前提条件.熟练常群精数值的定义是解跑的关缎.1.1. 如图是一Ift有短律的Bg案，它们是由边长相等的正三角形蛆合而成，第1个图案有4个三角彩，第2个图案有T个三角形，第3个图案有H）个三角形按此短体摆下去，第"个图案有个三角形（用含的代数式表示）.AvWvWv第1个第2个第3个第4个【答案】（3"+1）【呻】【分析】由图形可知第I个凶案f;3+1=4个用形，第2个图案右3X2+1=7个三角形，第3个图案有3X3+1=10个三角形依此类推即可解答.【详解】解：由图形可知：第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3X2+1=7个三角形,第3个图案肖3X3+IHO个三角形,第n个图案有3Xn+I=（3n+1.）个三角形.故答案为（3n+1.）【点睛】相回考杳图形的变化规律，根据图形的择列、也纳图形的变化规律是解答本胭的关键.13. .海南IW1.有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录.图是IMB上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的,若按照第I个图至第4个图中的加律纲图案,则第5个图中有个菱形,第,个图中有个菱形（用含“的代敷式表示）.A2个图63个图64个If1.O第I个用【答案】412-2n+1.【所】【分析】根据第1个图形有1个菱形,第2个图形有2X2X1+1=5个笔形，笫3个图形有2X3X2+1=13个菱形，第4个图形有2×4×3+-25个菱形，据此规律求解即可.【详解】解：；第I个图形有1个菱形.第2个图形有2×2×1.+1.=5个菱形.第3个图形有2X3X2+I=13个箜形.第4个图形有2X4X3+1=25个菱形.，第5个图形有2X5X4+1=41个差形.第n个图形仃2XnX(n-1)+1-2/_2”+1个登形.故答案为:41.2-2n+1.(.Hfi1.本鹿考查了规律蟹一图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律.并应用发现的规律解决问题.14. .在函数Y=岑三+一中，自交猫X的取值苒图是.7+1.x-5【答案】3I5KMW1.【分析】根据：次根式的性项和分式的意义，被开方数大于或等,0,分母不等于0,可以求出X的莅眼.详解】x-3()根据题意得:x+1.>0.x-50解得：311.x5.故答案为：x3I1.x5【点瞄】本题考查j'函数自变量的IU值范用,函数自变址的葩阳一般从三个方面考虑：(I)当函数表达式是整式时.自变出可取全体实数：2当函数发达式是分式时.考虑分式的分母不能为0：<3)当函数我达式是二次根式时,被开方数非负.15. .观察下列各式，卜*+h+r+(E>W*!用你如的规律，计氟J+好+?+J1.+身*+g2018,20192其结果为一.Mf案】2018黑【所】【分析】根据题蔻找出规律.根据：次根式的性质计算即可.【详解】1+产+20182019201«=2。嚼2O182OI92()18:2019:-1J:20182019(AUfi1.本他!考疝的是：次板式的化荷、数字的变化规律掌握二次根式的性鲂足解也的关犍.16.1. 图，把同样大小的IR色铁于摆放在正多边形的边上，按瓶这样的短体摆下去，期第2。个国扁要I1.色棋子的个数为【答案】440【所】【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数,再归纳类推出一般规律，由此即可得.【详解】观察图形可知，黑色机千的个数变化有以下两条规律：<1)正多边形的各顶点均需要I个黑色棋子(2)从笫1个图开始.每个图的边I黑色枇F的个数变化依次,k,23.即笫I个图,Aj¾T色拱上的个数为3+3X0第2个困褥要黑色根子的个数为4+4XI43个图茴要黑色根子的个数为5+5>2第4个图芯要玳色极广的个数为6+6x33泊5+2)+("+2一D=H+2).j1.,11jEft划第20个图焦求出色棋子的个数为20X(2()+2)=440故答案为：440.【点睛】小胭考查J'架式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳先推出般规律是解黑1关遨.,.,31x+4x+4.r-17.先化倚，再求值tIx-1.+»其中K=*"一2.I+1.)+1.【答案】x-2771【所】【分析】原武括号中两J灵通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形.约分得到金简结果,将X的值代入计算即可求出值.【佯解】帽原K=x+(KI)(XT3Xx+1.r+i(x+2)(x-2)X+Ix+(x+2)2x-1S.V+2当x=0-2时，Iiig鲁舒=T0【点断】此牌考查r分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关惯.18.先化简，再求惘；一里卜一其中“足/+加一3=0.,.a+2)11+4u+4【答案】2M2a6M4f1.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的战法法则计纾，I-JIt-I利用除法法则变形,约分得到及简结果,再代值计算即可求出(ft.【详解】“i”,2«?+4?12。、-4解：原式=(-)÷-T«+2a+2(a+2)a+2(+2)j_2a(a-4)(a+2)2a+2a-4=2a(a+2)=2a4a.；"+23=0，a-+2a=3.二原式=2（aj+2a）=6.【点睹】此胞主帙考竹J'分式的化简求俏，正确化简分式是解题关谊.19.在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络JHI进行网上学习，九年AH班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全球每两个同学部it过一次电话，互相勉Jft,共同提高，如果该班共有48名同学，若两名同学之间倪通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式耒解决向.用点I、4、44、分表示第I名同学、第2名同学、第3名同学第48名同学，把该班锻人敷X与通电话次段、之间的关系用如图模型表示I（O填写上图中第四个图中y的值为第五个图中、的值为.（2）通过探索发现，遢电话次数'与该9E1.Mft之间的关系式为.当x=48时，对应的>'=.（3）若九年AuaE全体女生相互之闾共通话190次，M：该班共有多少名女生？【答案】（1）1015：（2）'=：”,，）,1128：<3>20【所】【分析】<1）观察图形,可以找出第四和第八个图中的y值：<2）根据）值版X值的变化,可找出），=”），再代入x=48可求出*x=48时对应的）俄：<3）根据（2>的结论结合九年SH班全体女生相互之间接通话190次,BP可得出关于X的一元二次方程.舞之取其正慎即可得出结论.【详解】（1）观察图形，可知：第四个图中F的值为10,第五个图巾F的值为15.故答案为：10：11<2)V1=,3=2.x(x-1.)"IX=48uJ.)'=48XBT)=U28.故答案为：yX(X-I)1.1.o:I1.zo.<3）依题意，得:2小a。.23×2/4×3S5×4,_6×5,6=,10=,15=.化苒:，得：x2-x-38O=Ox1.=20.,=-191人介题点，；答：该班共有20%女生.【点睛】本题考查/一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键.20.倒读现ID用IOcmx20«的矩形登痔，可拼得一些长度不同但良度均为20S的图案.已知长度为IoC加、2（kw,30c，的所有图案如下，20cmIOcw20Ctn20cm皿用EZ（D如图，将小方格的边长，作IOcm,请在方格t中出长度为40c,的所有图案.（归纳发现）（2）观察以上结果，探究图案个敷与图案长度之间的知K,将下表补充先签.图案的长度IOcw20cm30cm40cm50(7,)60Cm所有不同图案的个数I23【答案】(1)见解析：(2)5.8.13.【分析】根抠2知条件作图可知400”时，所有图案个Ia5个：(2)推出长度为5()Cm时的所彳i图案，继而根据已知猜想60Cm时所有图案的个数即可.Hf解】如图：根据作图可知40cm时.所行图案个数5个:(2)50cmB,如图所示,所方图案个数8个;同理,60cm时,所有图案个数13个,故答案为5,8,13.【点肪】本题考查应用与设计作图，规律探究:能够根抠条件作图图形.探索规律是解即的关U1.