专题1.6 空间向量与立体几何综合检测2（解析版）.docx

专题1.6空间向量与立体几何综合检测2考试时间：120分钟；满分：150分姓名：班级：考号：考卷信息：木卷试题共19题，敢选81S,多造3题，填空3题，解答5题，满分ISO分，限时ISO分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年N题，练刘础，提能力！选算黑(共*小题，设分却分，每小JBS分)1. (2024«二下江苏盐城,阶段练习)己知向最“=(1,1,0),5=(-1,0.2),若*“+与2”-在平行，期实数A的值为()A.-B.IC.-2D-2【答案】C【分析】根据已知条件结合向量共线定理求耨即可【佯解】因为O=(U.0)6=(-1.0.2).JVfWJtn+h=J1.(IJ-O)+(-1.0.2)=(k-1.Jt.2).2-=2(1.1.0)-(-1.().2)=(3.2.-2).因为场+B与1.所以/"E唯一实I1.使后+6=以痴-加.k-=3所以内-IA2)=2(3.2.-2),M以k22=-22故选：C2.(23-24高：上,内蒙古赤嵯期末)己知支间四边形ABco中，OA="，OB=6,OC=C点N在BC匕旦CN=2NB,W为QA中点，则MM等于(I工；IA.-06+-c12IB.-0+-6+-c233D.-d÷-6-c233【答案】B1分析】f1.，M啊向:运算求得正确(i-fV=ON-OM=OB+BN-OA=OB+-BC-OA232故选：B3. (2024高二下福建度门阶段练习)在正四梭椎P-A8C。中，=<1.-1.4).Ar=(1.-2.23),则该四校椎的体枳为()A.21B.24C.67D.57【答案】B【分析】根据正四枝把的性顺，结合空间向V模的坐标公式、极推的体枳公式进行求解即可.【讦解】：住正IStfc1.H4:增点P在底面的射影为0,。为I：方形AHCD对角线的交点，I竭=1.+1÷16=3M=>+4+1.2=5.所以AO=；AC=1(32)2+(2)'=3.PO=yJPA2-AOs=25-9=4所以该四校锥的体积为g×(32);×4=24,故选：B4.(2024河南焦作三模)在校长为4的正方体ABCD-AIB1.e1.D1.中,点E、F分别在核AA1和ABE.fiCiEJ-EF.【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出G.E.F坐标,WI=IC1E1.EF,求出IAFI满足的关系式,然后求出最大值即可.【详解】以AB,AD,AA1.所在H战为X.,Z轴，建比空间口角坐标系如图所示，则C1.<4,4,4>,设E<0.0.z).ze0.4,F(x,0,0),×I0.4,则IAF1.=x.EC1=(4.4.4-z),EF=(x,0,-z),因为C1.EJ_EF,所以鬲E户=0,即；zi+4x-4z-0.X=Z-当Z=2时，X取得烛大值为1.IAF1.的JS大伯为1.【点瞄】本题考查直线与直线的垂过关系的应用,利用向St法却到IAFI的关系式是解题的关位.属F中档5. (2024全国模拟预测如图，两个相同的圆柱Qq与圆林。0,中，四边形ABERBCDE分别为两个国柱在同一平面上的轮豉面，G,分别为所在半圈孤的中点，若AB=A",则异面H戕AG与Q，所成角的余弦假为).【答案】A【分析】解法-；先作辅助线,*我所求用，再利用解三角形的知识求解即可:解法二：根据M柱的特怔建；血"用变林系，匕相应点的坐标，求出在观AG,O1H的方向向it，利用向吊的夹角公式即可求.解.【详解】解法-:如图连接“COiC,根据两个圆柱的位置I柱的对ttAG/HC.所以NaHC为异丽火线AG与。,”所成的角或其补角.不妨设AB=AF=2,则在4O,“C3易知O,"=O,C=F7F=#HC-J1.-MWcosZO4C=O1H'+HC-O1C220,HHC5+2-52×52IO所以异面SftAG1.jOtH所成用的余弦值为胆.10故选：A.O1G,易知。，O1C,qq网网垄总,收以Q为坐b.分别以OQ,o1c,aq所a”线为.»二轴建立如图所示的空间宜角坐标系.不妨设AB=AF=2,则A(0T0),G(1.0.0),O1(0.2,2),H(T.20),所以AO=(1.1.O),/O,=(1.0.2).皿网.儡徽)噜,>.u;'；O1H所成用的IkU伯为叵.IO故选：A.6. （23-24高二上浙江杭州期中在正方体ABCD-AqCQH,二面角A-80-A的余弦值为（）A.iB.J1.C.立DW2322t答案】B解析】分别以。4。仁。A为xFz轴建V如图所小同“角FM1.：法向fit后可得所求：面角的余弦值.注:解分别以DA.DC.DD1为Ky.二轴世立如图所，；、，间门角坐标系.设正方体的校长为1,可得0(0.0,0),(1,1.0).4(1.0.1),(1.0.0).t+Z=Ox+y=0IIUUU1.BI设”=（）？TmA8。的个法小'，；，."1?=：）,即n-BD=O取X-1.得yz7.，,平向AB。的一个".向Ift为J=（"1.-1.）ZM1TiinAWX，平面Aff1.）的一个法向状为M=（0.0.1）Z岚“镰111.邛所以.I1.rftA-BD-A飒余弦鼠吟.故选:B【点睛】方法点聆：本题考查求二面角的余弦假,用向地法求：面角大小的两种方法：<1）分别在二面角的两个半平面内找到与桢重汽H以垂足为起点的两个向W，则这两个向优的夹角的大小即为:面角的大小;<2）分别求出二i6i用的两个半平面的法向1.1.然后逋过两个法向Itt的夹角得到二面题大小，解的时要注意结合图形判断出所求的二面角足镣角还是饨用.7. （2324高二上四川内江期中在正三极推P一八8。中,P.PB.PC两两垂直,¾=2点E在线段ABh,且AE=2CB.过点E作该正三梭锥外接球的裁面，则所得截I皿圆面枳的最小伯於（）85I1.-6A.-JtB.-11C.KD.X9699【答案】D【分析】构造以小，。8,PC为桢长的正方体内。B-CFG”,I1.该正方体校长为2.以8为原点,BPhx轴，BD为y轴,8"为二轴，住直空间口角坐标系，则该正三极推外接球球心为A”中点5求出外接球的卬.I1."懒耐«面职II1.Uft小伯时截面BmB1.心为尼从以时"诉儿鼠小值时线面圆的半径为r=jN-m，由此能求出所得截面蹿面枳的址小伍.【详解】历在正=楂铢P-AfiC中,PA.PB,PC两两垂直,P=2,G）构近以例.PH.”为校长的I1.方传W）8-C7G"1.i加1斤体桢氏为2.以8为原点.BP为X轴.3。为F轴,8”为：轴,建立空间出向坐标系.期该亚三棱锥外接球毋心七八+J.丫”为R=粤=JrBI点E在线段BI,且AE=2EB.Ijj°"(1'U)Eo=i-J+(,-+(,-°);=,过点£作该正三棱惟外接球的戴面当所得截的泗而枳取最小值时被郦ma心为E.13当所得做面即面枳取最小值时截面10的半径FrTM)二件jg(3过点£作该正二梭惟外接球的极面.则沔小加h:黑而职的最小/为S=W28. (23-24高二上广东广州期中)四边形A8CZ)中，AB=BD;IN-4,WC=C7)=2,现将ZX8Q沿8”折起，当二面角八-8/)-。的大小在B.时,直线八8和CD所成的角为”,则C。Sa的最大值为()C.D.【答案】B【分析】取8C中.,iO.CO,求；：；8C£>%标,设NAOC=G&示出AJm,进而徨到M.CZ>结合向量夹角公式和三角函数，即可求解最值.【详辞】ti1.1.W.取初中点。.连接Aa8切OC方向为工轴.OD方向为y轴，垂直于底面“D方帧“建日，'IH系.山=f1.D=ZM=4,c=cc=2忘UrMAABD为个边三角形,!?CO为:物?直角三向形，故CC1.班）.AOJ./"）.的你A-BD-C的Y附为为/AOC,设NAOC=依则C(2,0,0).J(0,-ZO),«(0,2.0).A(23O,2zn"),H=(23cw12,Asi11>),CD=(-2,2.0),则coscr=BCD1.-4cos0,111,1X2._I正一.ZA.yj,COSGj-,g.1.-3cos6-2.+y,所以COS4的G大住为故选：B二.多逸题（共3小题，设分18分，每小题6分）9. （2024高：上山西运城阶段练习）下列关于空间向此的命题中，正确的有（）A.若向JIt与空间任造向量梯不能构成基底则,避：B.若非零向砒,b.C满足“4,±c.则有t三演C.若。A.OH.比是空间的一组基底,且“>="A+；O8+：OC,则AB.C,。四点共向：D.若“>.c是空间的一组基底,则向量“+c.c+也是空间TI1.基底：【答案】ACD【分析J根据空间向量荔本定理，艇作为J底的向量一定是不共面的向量,由此分别分析判断即可详解】XjrA,芥响MfFcr;不佳构成花底，则可得向量力,5是北葭向*,即>布，所以A正确,对于8,若落学向月：,）满足力5,1.o剜向量Z与Z不能确定.可能平行.所以B<JJC.<OA-Off-OC'1.O(W-ff1.三te.=+OC.则市%间同m、定埋可得A,f1.C.。四点共面，所以C正确,MJD.因为>之是空间的一组基底.所以对JF个向盘ff,存在唯一的实物概y,z).使=Xa+.W-'言:仿+)+J+；=,(5+1)+K+；-)(£+$,所以向仄“+/八*+I.<+也足空4/4间一组基底,所以D正确.故选：ACD10. （2324高二上河北保定期末）如图.在四极推P-AOC。中,M1.T1.fihWCD.ABCD.ZABC=.AB=PA=CD=1.8C=2,W为尸。的中点.则（）A.宜线8M与平面PBC所成角的正弦值为竽B.直践BW与平面P8C所成角的正弦值为(C点M到平面PHC的距漓为企D.点JW到平面PHC的即离为，【答案】BD【分析】构造空间直角坐标系，求出千面PBC的法向量K分别利用W晌¥I世而竹角的正弦值'点而距的解答过程.即可求豺答案.【详解】如图所示.以A为原点,CC中点和A的连线,A8所在也设，W所在直线，分别为X轴，y轴，2耗，建立空间直角坐标系.所以8=(WPB=(OJ,-1),PC=(22.!.-1).设'1.fPBC的法向：.；11(x.乂z),可汨PBh=OV-Z=O，即:厂PCn=()1.22x+y-z=0解得X=0,)=z,K(fty=.IC1.n=(OJ1I).所以cos<8M,n)=即且践则与平面/WC所成珀的正弦值为g.故选项A错误，逡项B正确.乂iBMI-cos'HM,")=X；=*即点M到平面PBC的距离为4.故C错，D对.故选：BD11. <23-24ft:上福建三明期中)如图，已知正方体力BC"-A4G。的校长为2,点Af为CG的中点,A.满足平面BD的点尸的轨迹长度为0B.满足MQ，A的点的轨迹长度为史2C.存在唯一的点满足ZPM-3D.存在点/>满足IM+*m=4【答案】ABC【分析】利用纹面TiJ的判定定理可以iM3.的r)MJft'rA：让；，FiJt尔坐k菰行到A(20)W(0.2.1),Pay,2)1.02,OM)W2,进而对BCD各健行请集Ift证即可判断并【详解】对于A,取4G的中点O.AG的中道N,又点M为CC,的中点,山正方体的件而K'MQ队D.MQa111.DAOT(JBDA、所以MQIfT1.h;BDA同轩NQT-1HDA1.MQNQ=Q.MQ.NQc'-'aMQN.所以7f!BDA1.又MPUT1.f1.MQN.MPH中而BDA1.祗.tP的轨迹为线葭NQJrT0",故A,f:以D为酸点,分别以Q4DC.OA为“八：轴建M竹山工用生心菰则A(NO1O)./(0.2.1).atP(>',2)fiOx2,OVyM2.AP=(x-2,y,2),MP=(,x,y-2,),AM=(-2,2,1).Xtj'8.ffP-2+2(r-2)+1.-2x2y-3-().即丁=X+,乂O4K2,0y2.则点P的筑迹为戏段EAf,.2,F(g,2,2)且EF=J=故B正确:MJC,AP-MP-(X-2)÷(y-2)y+2-2-2+y2-2y*2-(Ar-1.)'+(y-1)2.1.1.S,(f=1.,V=I1.bi.八PWP=O.即APIA/。'""HFJP涵，1.NAPM=，故C<JJ-D.点/大JT'而A8,CQ,的对称点的为Ar(O23)A,P,M,上线段和最Jg,故PA+PMAM,=23÷25+3,=717>44Ztx,满足PA4PM=4-故。者世.故选：ABC.三.填空J"（共3小愚，清分15分，每小J15分）12. （2324高二下四川成都期中）tai1.?1,一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条校长都为。，且它们彼此的夹角都是60，则AG的长为.【空案】向，分析hAC1=丽+配+CC；两边同时)方然展开NQ即可.【佯解】Ae=AA+8C+MAIAC112(Af1.tBC+CCyA1.f+tiC¼CC11+21.iUC+20CCt+2BCCC1=+a+a:+2a:CoS60+2z*cos6(>+2a2cc»60=6a:.Af1.=y6<i,即AG的氏为曲,.放答案为：Jba13. (2324高二上湖北期末)长方体八8C0-ASGP中,B=AD=2.A,=I,已知点H与A、G三点共线且AG±Ii1.H.则点H到平面八8C。的距国为【芥案】I【分析】利川坐标2，KU1.InJii1.A-.：1”偿11)即求.详解、.i!iM(0.0.0),q(2.2.1.),Bi(2,0.1).因为点月与AG三点共线且招1.耳克,AG=(2,2,1).WA=AC1.=(2,2.1)=(2,2,),WH(1.2,),GOfiH=(2-2,2Z-I).aB1.HCt=(2-Z2,-1.)(Z2.1)=41.-4+4+2-1.=0.51.1.1.u(WIO5)9k999F至:TiUA8C。的江例为今故答案为:14. (2024高二上浙江阶段练习)在正三极锥P-AfiC中,Aff=2Pa=43£为BC的中点，F为AE上靠近八的三等分点，M在平面A8C上，且满足“EMF=-3，N在二ABe的边界上运动，则直规/W与PN所成用的余弦值的取值范围是.【分析】分析可知M的轨迹以点G为眼心,1'径长为1的Bh分析出NM/W取被大值和最小值时点M、N的位置，卜用余弦定理可求得立线PM'jPN所成仙的余弦值的最小值和最大,可得N详解P在平面ABC内的射影为点G,则G为正AA8C的中心，.EhBC的中点,则AE±BC.以点G为坐标原点，C6.AE.G)的方向分别为s、'、Z轴的正方向建立如下图所示的空间直希坐标系.VPG1.TufuMfiC.AGU平面人BC.PG1.AG,.-,PG=yPA'-AG2=242-则A(O1.TO)、£(0.2.0),F(0,-10),川2赤.2.0)、c(-23.2.).P(,.2<),设小M(KF.0),ME=(-x.2-),MF=(-x-2-y,0).所以.EF=+y,-4=-3.可得./+y2=I.易知*AAC的内切同步匕为GE=1AE=2.'M/1.A8C内运动.所以点M作以也G为心心,半径K为I的同匕运M,作出-AfiC的平面图如F图历示:IhJ止，是固定的.AWH蚊大值.此时ZAZAVKZWXffi.I此时匕N为/4BC的'小妨设点N与点Aig合，则”为线段侬的中端i此时,PN=PA=2加.MN=AE-GE=5.所以W当MN取最小（|,|时.味,NMPN取最小体.此时点N为*A5C某边的中点,不妨设点N1.j.,.iE而合,W1.''./yGt1.,J',.则尸N=Jrt+GE?=2召，ME=1.所以,(cosZjWP,)iit=PM'+PM-MN'532PMPN:,IJt.">tPMIjPN所成角的余弦仇的取M5成足故答案为：印制（.'.'.M1.关慢点点师：本IS考查舁面直境所成用余弦值的取值范用.解本JB的关键就必要通定点M的轨迹,确定ZMZW1.kfi大值和四小值时的位）,再结合余弦定理求解.四.解答愿（共5小J1.,第15题13分，第16、17号15分，第18、19禺17分，分77分）15. （2324商二上北京丰台期中）已如向量;=（132），1.=（-2,1.4）.e=（5,1.,x）（1）若“1.<,求实数X的值；（2）求I亦小若“，3,c不能构成空间向用的一个基底，求实数X的值.【答案】（I）TEF【分析】（1）1.1.a1.c>1.QC-O.再Ih数枳的坐标运算即叽(2)模长公式的坐标运算即可.< 3)利用空间其面向Ift定理即可.详解(3二/0c=rU5+3+2=O.团x=-4.< 2>ai=(1.t3b2).=(-2J,4)r02i-=2(1.2)-(-Z1.t4)=(4.5.0).!2-=42+5-=4T< 3)若Kb,£不能构成空间向城的一个亥底,WIc1Ja-，共血,故存在唯的煲数对(，"，")，使褥c=”“，+”/,，HJ(5,1.x)=m(1.3,2)+n(-2,1.,4).(5J.)=(m-23m+出2m+4")，m=1,'n-2.x=-6，-2=5由%+=.2m+4=.r16.（23-24海下江苏扬州期中）如图，在正方WM8C）-A4C。中，分别是儆.C。的中点,用空间向此知识解决下列向题1求证：D1FIDE（2求证DF1平面ADE.【答案】（1）证明见解析:<2）证明见解析【分折】（1）以CAoGCR为"z他建立在间H角坐标系.出卜方作边长为2.f1.j'JMF=（0.1,-2）.DE=(2.2.1),故HFDE=Q.存免证明.<2>计算八E=(0.2J),计。/)/AE=O,WfiJi:?Vj.【讦解】(1)如图所示：鼬DC,M为马鼻鹤建立空间直角坐标系.设正方体边民为2,则。(注0.2),F(0,1.0).>(0,0),E(ZZ1.),A(2,0,0).D1F=(0.1.-2),DE=(ZZ1.),故Q尸班=0+2-2=0,葭DFI.DE.<2>AE=(0.2J),故"AE=O+2-2=O,KiD1.F1.AE,乂D1.1.CE,4£OE=E,故RFI平面ADe【点跖】本鹿考1J'利用空向向量证明线段庭直.线面垂直,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.17.（2024密二江苏课后作业）如图，在校长为1的正方体ABCD-A中,1是底面A8CO的中心,求点A到口战AfP的距离；求点C到平面4。8的距疡.【分析】1以D为原点,/Dc/g所在直筏分别为X轴，v,Z轴，建立空间直角为标点,利用向K法证巩PA,±PM，从而只。求线殴AP的长即明.PV/<2)It1.<1)得而为JReADB的一个法向*,利用向知法根据公式/=1.p研即可求M答空.【详解】1>以。为原点.Q1.DGDA所在口线分别为X轴.)'轴,小»臻返国i窗坐标系如图所示.则A(OmQ3obWW，所以PA=G-；1PM=卜/;),所以PApM=-!-!+I=O.所以。AJHH.442所以点A1到仃线MP的距离为线由AP的长.乂囚为，48/)；-1匕与、万的等边：角形.为8。上*,所以AP夸.即点A倒直践加的距离述.2<2>D(0.0).C(0J.0),(1.1.0),所以CS=(U),0),Dfi=(1.1.O),AW=Zf1.(1)缸班_1./'A九所以PM1AiDBY1个法向量.所以点C到平面ADB的距M1.d,12因为由丽=_；+；=0,所以P1.)418.(2324高二下浙江宁波期末)如图,在五面体ABCOM中.四边形八Ba)为龙形.8?C为等腰宜角三九形,且尸C_1.8?.而WmIftiABCD.EFMB.H4EF-4.ZJC-22.求证：BE1CF：在线段,18上是否存在点r.使得/)r与平面Ab所成角的正弦假为咚？若存在.请求H;仃的长度：若不存在，请说明理由.【答案】(D证明见解析:(2)8T=g或87=3.【分析】(1)利用面面垂直的性质、线面率R的划定性质推理即行./取8C的中点。，顾型I原点，淋立空间面角镯，设8r=,(014,4%,求出平面Ab的法向I1.再利用线面向的向玳求法求解即得.【详解】(1)由矩形ABo得AB/BC,而平面灯1.平面AeQJ,Fift1.Bac邛面ABCD=C.Ba'VABCD.AB1.rhiCF.ZCFc1.ft1.fiCF.IB±CF.而FC1.FB.EFHAB.BBF=B.B.BFUr向AHFK.因此CF1iFiI1.;ABFE又BEU平面AHFE.所以BEw.2取BC的中点。，作QrMB,连接W,由(1)知,Ox1.T1.ftiBCF.而OFu'1'而BCF.如Ox1.OFZFC1.Ffi.FC=FTi.则OF一AC，即。8。尸两两垂工，以O为原点，fi线Ox.OB,OF分别为X、y.Z建立空Ii-J'i用坐标系.假；U3W1.jtAT,使得079丫面ACF所成角的正弦俏为弓=«344),则4(4.0).B(0.72.0),C(0,-.0),D(4.-,0).F(0.0.).(,2.0).CA=(4.2£O),CF=(O,£),DT=U-4.22,0),设平而ACF的法向7=&.，：），则令K=I,f*i=(1.-y2.V>,tC4=4r+22y=0n-CF»J1.y42z0是IcOM”.O7>=j%=TX1=.整理行21-7+3=0解/I=：或r=3.I«11>p×（f-4r+832所以在线段回上存在点T.使句DT丫而ACF所成角的正弦值为更.此时或87=3.19.（2024想龙江三模）己如正三核柱A8C-AB©中，所有校长都是3,点"E分别是践段叫和AC上的点，BD=I.<11试确定点E的位置，使得8£平面Af>C并证明：<2）若出线CE与平面BCC1B1所成角的正弦值为噜.求二面角C的余弦值的大小.【答案】（I）QjAC：；<?.1".IAC=3AE.证明见解析；12）-亘IO【分析】"）取£为AC的学分点.I1.Ae=3A£.过EWEfm1.1.EK=CC1.=8。仃到四边形HEKD为平行四边形，有1三K）,由线面平行的判定可得8比平曲八/也：<2>设AC中点为M,设4G的小点为P,分别以MA.MB.A,P所在亘线为X,y,:轴建立空间五用坐标系.由直线GE与平时Sg4所成ff川J正弦优为曙.“用上1.内£（g.O.o）然兀分刈求出平冏ABE与Tufti的一个法向批,由两法向Jft所成角的余弦值可得二向角小8£G的余弦（1.t【洋嚼】（I）IUE为AC:等分点,J1.C-3AE.过E作CG.则KK=gcG=川）,所以8KK/）为平行四边形.所以RE/KD.又BE(Z.ADC、.DKcADCt.所以M平而ADG.汇华:(2)设AC中点为W.设AG中点为夕.分别以AM.MB.AfP为.y.二便、工空间立角坐标系.设丫而BCC1B1个M：“JM为，=(X.V.Z).,m-CB".r+V三01.f.»-I1.K22'取x=-6ZM-CC1=32=Oif!)nt(-61.0),设£点坐标为E(a00).纯GE与甲而8CG4所成角的正弦/为可用E点坐你为同厂,。叫,即AC=3A£.易求Ti1.1.ABEiA1.''1.'v.n,=(0,0.1).设丫而8EC；法向最外=(xq").乂因为二而向A-BE-G为地角,所以所求余及片为-叵.10.tW本题考查直线与平面平行的证明,二面角的平面角及求法,立体几何中的探索问题等知识,意在考克学生的粘化能力和计豫求解能力,对于二面用的求法,通常需要建立适当的空间直角坐标系,求出口线的方向向收和平面的法向球，即可求解，属F常考题型.