专题11 立体几何（Ⅰ）（练习）（解析版）.docx

专题11立体几何（I）（练习）练习02一、黑空JB1 .已知网椎的底面直径为8.高足3,则该例椎的恻面枳为【拧案】2【分析】求出澳锥的母线，利用圆镭的侧面积公式求出答案【解析】圆锥的底面半径为r=4,乂高为3,故留锥的母线/=巧丁=5,故该圈锥的侧1.;nr1.=5×4t=2011.故答案为：2O112 .若将两个半径为1的铁球培化后佑成,个球，则该球的表面积为.【容案】40【分析】根据熔化前后体积不变可求出熔化后所得俅的半径长.再利用球体的表面枳公式可褥结果.【器机】设熔化后铸成洋的半径为FH12xy×P=yx/?',可得R=泥.所以，球的衣而枳为5=4“序=4nx（也）'=4次葭故答案为：4WX.3 .已知明柱的底面半径为1,高为2,则该圆柱的全面枳为.1答案16K【分析】利用中柱的全面用公式求解.!',>i由回柱的全面积公式得：S=211r1.+211r,=211×1.×2+211×1.,=611.故答案为：6«4 .个正三核锥的底面边长为6,蚪极长为历.则这个:棱椎的体积为.【答案】9【分析】根据正式极椎的结构特征结合体积公式运尊求解.【下析】由题意可知：；.棱锥的跖为J（J记避x6j=O所以.梭雄的体枳为1./x：x6x6x9.322故答案为：9.5 .如图.RtZ7H用是AOAB的斜二测直观图.其中。8_1./M',斜边OA=4则AOAB的面枳是.【答案】82【分析】易如VA'。方为等狼H角三角形，由此可求得$.代“：根据直.观图面枳与原图面积的比值关系可求得结果.t裤析】由斜：刈画法原理可知：ZA'O'1.f45，一.4。4是以房为直角顶点的等腹直胸,角形，又OA=4,.OB,=AE=44=2SS=2y2×2y2=4.5,uih=225a,=X2.故答案为：8.6 .川科：测口法画一个水平放置的边长为22的正三角形的直观图.则该直观图的面枳为.(分析】斜二测而法以平曲图形的“观图的而枳是原图向积的变倍.4(IWUi)边长为12的正三角形的面积为且Xi2?=%点.斜：测画法画的直观图面枳S×363=96.故答案为：96.7 .在边长为1的正方形中找去一个如图所示的均形,再符剜余的阴影部分绕八8旋转一周,则所褥几何体的体积为,Ii【答案】T【分析】根据题意，出条件可得所形成的旋转体是使柱去掉个半径为1的半球，然后结合优柱以及球的体积公式,代入计算，即可得到结果.【解析】图中阴影部分经八8旋转周所形成的旋转体是圆柱去抻个半径为1的半球,其中圆柱的底面半径为1.而为1，则所得几何体的体枳为阳柱的体枳减去半球的体枳,即y=Kx1.'x1.-：x：XXP=故答案为：j8 .如图是梯形八8C7)按照斜二测画出的直观图八'*C7)',其中ATy=2,IfC=4.ATT=1,则原梯形A8C”的面积为.Br)【容案】6【分析】根据斜JMf1.i法的规则,还原几何图形.即可求原梯形的面积.【解H】如图，还潦梯形，BC=A.AB=1.AD=I,梯形为口角梯形.所以原梯形A8C/)的向积S-'(2>4)x2-6.故答案为：69 .已知V48C中,ZC=J,Z=7.C=1.将VA8C绕AC所在的宜线旋转一邮则所得旋转体的衣面枳2o½.【答案】311【分析】先分析由旋转体为网推,然后根据表面枳等于（M向枳加上底面积求解出结果.【k机】因为/C=m./A=3.8C=.所以A8=2,AC=jA8'-fCc=J2O所以族转体是底面半径为1.高为/,出线长为2的网推.所以表面枳为S=XXF+nx1x2=3”>故答案为：311.10 .若正四棱锥的底面边长是2.高为B北惟被平行于底面的平面所截.已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为1:2,则该校台的体积足.【答案】g7，/66【分析】利用相似比得到被截去的小棱锥的边长与高，再利用制补法,结合极锥的体根公式即可得斛.因为棱台的卜.、下底面的边长之比为1:2,正四棱锥P/W8的底面边长是2高为/.所以正四极椎P-A8CQ,的底面边长为1,高为*.2所以该棱台的体枳为Vi=+2、痔3以冬哈故答案为：7=611 .传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个IH柱.It内有一个内切球，这个球的直径梏好与冏柱的高相等圆柱容球"是阿基米海及为得意的发现.在个"圆柱容球"模型中,若球的体枳为411,则该模型中圆柱的表面积为.【答案】1811（分析借助球体体积公式及圆柱表面积公式计算即可得.【解析】设球的半径为R,则圜柱的底面垂径为R,母战长为2/?,则球的体积为:V?'4心，所以K=1.所以圆柱表面积为2*+2“KX2R=6n*=18.故答案为：18n12 .古希I1.A数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个教学发现,如图.一个"网柱容球"的几何图形,即同柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该22图中,球的体积是网柱体枳的j，并且球的表面积也是网柱表面枳的若圆柱的表面枳是24,.现在向网柱和球的隙里注水.则最多可以注入的水的体积为.【分析】利用假住的表面枳求出球的表面枳,然后求出球的半径.蜃后求出圆柱的底面半径和高.利用留柱和球的体枳差,求出水的体积即可.【解析】设球的半径为，由超.旗得现的表面枳为4万产=gx24r.所以r=2,所以圆柱的底面半径为2,商为4.所以最多可以注入的水的体枳为“x24-*x2'=等.故答案为：味0<1113.已知球。的体枳为上科，高为1的圆锥内接于琼。,经过圆锥顶点的平面“松环。和国推所得的截面O面积分别为$.3，若S1.W,则S,=-Or；Q6【分析】计野球的半径和裁面圆的半径，确定胧椎的轴与邛面4的夹角为£，族而为等腰加形,计算边4长得到面积.【第'析】设球的半径为K,则WnR1.学，解得R之，362设球的截而半径为r,WiJnr苧，故，=也，o4故球心到平面的跟向d="37=也=r.球心在圆锥的轴上，R1.锥的轴与平面的夹角为4KU锥的高为I,故球心到收椎底面磔的即阳为：-1=g.圆锥的底面半径为;；二2,如图所示：截面为等展.角形48,ZCPO1=4-C0PO11,PC=B4AH-221-I'-23-故S1.=WX2yfixJ1.=瓜.故答案为：6.【点瞄】关键点防：本业考查广球与阿惟的做面问题.您在考查学生的转化能力.空间想象能力和综合应用能力,其中，确定阴椎的轴与平面的夹用为5.再确定截面形状褥到面枳是解四的美世.14.有两个相同的直三棱柱，高为上，底面三角形的三边长分别为初,4.5a(a>0),用它的拼成一个校柱或四根柱，在所有可能的情形中，全面积M小的是一个:.棱柱,则"的取位冠用是_.【分析】由不同的拼接方式，分别计算棱柱全面枳，根据全面枳最小值的情况列不等式求。的取值范惕.(WfJr1.拼成个三棱柱时,全面积有三种情况,将上下底面对接，其全面枳为S21.×3×4rt+(3+4<+5rt)×-12/+48.2aM边可以合在起时其全面枳为S=22g34”+2(5+4")x=2*+36.4。边合在起时，其全面枳为S=2×2×-×3rt×4rt+2(5rt+)×-=24/+32.2a拼成一个四极柱,有四种情况,其中全面积有三种情况，就是分别让边长为M,4«.W所在的IW面重合，其上下底面积之和都是22,3a4a=24ai,但侧面枳分别为2(4a+5)x-=36.2(3«+5«)×-=32.2(3<+4«)x-=28,aaa显然，三个四枝柱中全面枳最小的值为S=2213。4+2(初+44)x,=24标+28.I1.1.即意得I2+48v24+28,解得李.所以“的取值范困为(孚.2，故答窠为：(殍(Affi)关过点点的：本月除了考查梭柱全面积的计算外，应点在.：棱柱和四棱柱的拼接方式，要考虑全面,不能有遗漏.二、单选JI15 .已知圆锥So的轴鼓面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥S。的体枳为(>【咨案】D【分析】根据曲意.利用网椎的体积公式计算即可.(Oi1.解：如图所示，Iff1.锥5。中，底面圆半在为r=QA=1.,而为=6-E=0s所以IS1.锥50的体积为：%,=j×11×1.3×=11.故选：D.16 .如图，圆锥形容器的高为3.I里米，圆锥内水面的高力,为1哩米，若将附椎容器倒置，水面高为小,下列选项描述正确的是()A.生的值等于1B.AJG(1.2)C.质的值等于2D.,(3)【答案】D【分析】设晓锥形容器的底面枳为5,由相似的性质可得未倒置前液面的面积为S,根据即椎的体枳公式求出水的体根：再次利用相似的性质表示出倒置后液面面枳,由水的体枳建立关于生的方程，豺之即可求【解析】设IH锥形容器的底面积为£未倒贸向液面的面枳为与,则冬1.q,所以$='S,II410则水的体积为gSx3-：x2S*23s：，X/，设倒置后液面面枳为Sj则今=偿J,.E=第=等，则水的体积为2=察*S，解寿,=192.67.故选：D.17 .如图，半球内有一呐接正四极椎S-A8C”这个内接正四枝椎的高与半球的半径相等且体积为舁那【专案】B【分析】设半球的半径为K，连接ACBQ交于点O,连接SO利用四1锥的体积公式求出半径会再代入半球的衣面积公式即可求解.依阳意,设半球的半径为乩连接AC8/)交于点“连接Sa如图所示:则仃AO=Sc=B()=R导符AB=0,VVAnn,=1|4fi|：/?=|/?'=y,.J?=2,半球的表面枳5=g411底+nW=12x.故选：B.18.如图,正方体A8CZ)-A8CQ中.F分别是A8、8C的中点,过点口、E.尸的截面招正方体分割成两个部分，记这两个郃分的体枳分别为MM（V；<匕），则KM=（>【容案】c【分析】如图所示,过点£.尸的破而下方几何体转化为个人的三棱锥，犍去两个小的三桢锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体枳即可.O.C1设正方体的校长为加，则过点A，£.F的截面下方体积为：MU3%2”2?2=g另一部分体枳为V2=Hai-a'=-a'.WK哈.故选：C【点肪】本魄主要考ft了几何的割补问SS,还考钝j'空间想象的能力，属于中档SS19.在正三核柱ABC-ABG中，AB=AA=I,点P满足BP=/.BC+*BB,其中2式。，/.1.,则A.当2=1时，尸的周长为定值B.当“=1时，三极锥尸-ABC的体积不是定值C.当4：时，有且仅有一个点凡使得AP1.8PD.当时，行且仅有一个点P,使得ABj.平面A8/【专案】D【分析】判断当2=1时,点P在畿段Cc上,分别计算点P为两个特殊点时的周K,即可判断选项A；当“=1时，点P在城段8£上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当2=；时，利用城面乖点的判定定卉即可判断选项C：当=；时，取CG的中点Q,B4的中点。，则点P在戏的Da匕证明当点P在点D1处时，AtR.平面AB1D,.利用过定点A与定直线AB垂直的平面有且只有一个,即可判断选项D.【、'折不影响题意，将题目所给正三校柱的点丸B和A用交换位置并旋转图形如下图所示：时于A.当义=1时，BP=BC+BB1.,即CP=,所以C户,故点P在规段CG上，此时八%?的周长为M1.x+4八”，当点P为CC1的中点时,AB1.P的周长为#+2.当点P在点C,处时，AABF的周长为2+h故周长不为定伯，故选项A错谡；对于B,1.i=1.HP=iC+1.iR,WH1P=ABC,所以8"8C,故点在线段8£上，BtCJIBC.B1.C1.H11A1.BC,8Cu面ABC,则用C面4QC,所以宜线8£上的点到平面的距国相等.又。A8C的面枳为定值，所以三板锥P-ASC的体枳为定值,故选项B错误：C：当人=:时，取线段BC.4G的中点分别为M,，%,连结，M,HP=BC+RB1,即而=两，所以/明，则尸在线段M上,当P在M处时,AAf1IB,C,.AtM1.1.BiB,乂BICJBB1=B1.则AW1I平面BB1C1C,又BM1.U平面BB1C1C,所以A1M11.&%,即AP1,BP,同理，当P在M处，AiP1.BPf故C错误；时于D,当时,取CC1.的中点。-84的中点/).W为HP=%BC+；HH1，UPDP=ABC-所以DPIiBC则点P在线的Z)DJ：.当点。在点。处时,取AC的中点人连结AE，BE.因为平面ACGA.又ARU平面ACGA，所以AR/"；.在正方形ACGA中，AR1«,又BECAE=E,he.AEU平面ASE,故A"J.平面A8E,又ABu平面48£,所以,81.AR.在正方体形八88,A中.A8J.八仇.乂AaCAq=A.AD1.48,U平面八40.所以48J平面ABa.因为过定点A与定直战A8垂百.的平面有且只有一个，故有旦仅有个点P,使得A8J1.平面A87,故选项D正确.故选：D.【点睹】关键点点时h本题B选项的解决关键是，利用等体枳法，结合纹面平行的判定定理即可电解.20.为提高学生数学学习的积极性,亚旦的中联合浦东分校、疗浦分校、复旦中学组织了复旦的中月度数学学科知识竞赛.本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图1所示,已知球的体枳为36,底座由边长为12的正三角形钢片八8C沿各边中点的连战垂H向上折叠成百二面向所得，如图(2)所示.则在图(1)所示的几何体中.下列结论中正确的是)A.CD与8£是异面直线B.异面宜线AB与CD所成用的大小为45*C.由A、8.C三点确定的平面裁球所得的豉面面枳为MD.球面上的点到底座底面DEF的垃大用.底为3-小一卡【答案】Ct分析】取8E尸中点MM,利用给定条件证明伙?"。£A8"DF,推理判断A,B：求出VABC外接网半径.绪合球面截而B1.性质计算,断CD作答.【W折】取。EEF中点MM.连接AB.BC.AC,BM,MN,CN,如图.C-KB/飞、/U7DcHEWABEF为正二:角形.则BM.EF,而平面BEF1.平面DFE,平面BEFI平面DFE=EF.BMU平面BEF.是得""_1_平面W£,同理C"1.平面。F£,即BM"CN,BM=CN=3不，因此，四边形质NAf是平行四边形，HBC/NM/DE,则在线CD与防在同平面内，A不正确；由选项A.同理可得AA"OF,则片面直税A8与C。所成为等于直线/”与CO所成角&r，B不正确：由选项A知,BC=MN="e=3,同理可知八8=AC=3,正VA8C外接网半径rM，由A.B,C三点确定的平面截球所得的椽面13是VW的外接圆,此献面面枳为&r,Cf1.Ifift:体积为36,的球半径H由号*=36;T得K=3,由选项C知，球心到平面八BC的距离4=亚二7=6由选项A.同理可得点A到平面DFE的距离为域，即平面ABC'j'Y而DFE的距离为WJ.所以球而上的点到底座底面。仃的最大即为为K-d+BM=3+4+#.D不正确.故选：C.'.1A1.ffi易借点肪：异面宜纹所成的角的取值范附是(OW.当求出角的氽弦值为负时.要取其相反数作为异面在线夹角余弦.三、解答JI21.如图，己知圆柱的底面平径为2,母线长为3,求该圆柱的体枳和表面枳口角三角形O0A绕。0旋转一周,求所得圈锥的恻面枳【答案】体积为2,表面积为20x；(2)21111【分析M1.)由H1.柱体积公式可得体积,由可面积公式先求侧面枳,表面积为侧面枳加上两个底面积可得:<2)先求IH傩母战长,再由侧面枳公式可得.【解析】明柱的底面半径r=2,用线长/=3,即高=3,(61V=nrh=XX2*×3=I211,表面枳S=2xr2+211rt=211×22+211×2×3=2011.<2>由题感，圆锥母浅/=JTTF=JR,所得If1.I锥的侧面枳为11r=21111.22.如图所示，正六梭锥的底面边长为4,”是BC的中点，。为底面中心，NSHO=GOi.S求出正六梭锥的高，斜高，（W校长;求六校链的衣面枳和体枳.【案】（1）寤为6,斜高为46.IW梭长为2ij（2）表面积为726.体积为48/【分析】（1）依据图象，根据底边是正六边及边长可求出。”,进而在R1.ASOH中，可求出50,即正六极锥的高及斜高，维而在等腰ASSC中可求得侧极长；（2）求出庭面积，利用梭锥体积计算公式求解即可.【解析】（1如图:在1E六校fitS-ABCDEF中，SB=SC.H为BC中航,所以SHA.BC.囚为。是正六边形AHCDEF的中心，所以S。为正六梭椎的高.OHqBC26在Rt中，SHO=601.所以SO=O"1.an60°=6./ER1.SO'p.SHSO2+O/243.在R1.,S8中,SH=4T.BH=2.所以SB=.W1+-=213-故该正六楼饰的高为6,斜高为4J偏棱长为2而.<2>458C的面枳为1.8CxS='x4x4J=81.2208C的面积为;8CO"g*42赤43.所以正六梭锥的衣面积为6x4/卜6x8/72体枳为ISAefTOZX5。-64364833323.我国古代数学名著九章算术，将底面为矩形且有一条他棱垂直于底面的四梭锥称为"阳马".如图所示,在长方体八88-八4GR中,已知A8=C=2.AAt=i.求证：四棱锥R-，Ma）是一个"阳马”，井求该叩H马”的体枳:求该“阳马D1-ABC。的外接球的表面枳.【答案】（1）证明见解析，417,【分析】（1】根据OAj平面A8CD,且ABa）是矩形.可证明四极）是"阳马",根据锥体的体积公式可求其体积：<2>根据长方体的外接球即为四极锭的外接球，长方体的对角找就是外接球的直径，结合理体的表面枳公式求解.【、'折】因为长方体A8C）-A4CA中，/gJ平面八8（7）,且ABC。是矩形，所以四梭饰RA8C。中，出面A8C”是矩形，且侧梭Oqj底面八8C7）,所以四棱推D1-ABCD是一个"阳马",体枳V=%>×DD,=1×2×2×3=4:2长方体的外接球即为四梗椎的外接球.因为AB=BC=2,M=3.长方体的为角线长为J1.+'+1.=历,则长方体的外接球的半径K=芈,该阳弓”外接球的农而枳为S=4,R'=4;TXmi=17*.24.某种“笼具"由上'下两层组成,上层和下层分别是一个Bt1.推和一个圆柱,其中圆柱与阴锥的底面半径相等,如图所示：掰椎无底面,网柱无上底面有下底面.内部镂空.已知圆惟的母线长为20cm.圆柱高为30cm.底面的周长为24ncn.求这种"笼具"的体枳（结果精确到0.km'）:现要使用一种纱网材料制作这样笼具”的保护尊（包括底面SO个.该保护裁紧贴包我“笼具纱网材料（按实测面积计E1.）的造价为年乎万卷8不，共解多少元？（结果就确到0.1元）【咨案】(1)159844CmJ(2)138.7元【分析】（1先通过底面周长求出底面HI的半径,然后根IB1.）母线及底面圆半径求出IB卷的高,最后利用圆锥的体枳加上圆柱的体积即可求解：<2）求出SI口的侧面积,圆柱侧面积及一个底面积,即可得到“茏具”的表面积.然后求出总的造价即可.（'h（1>设优锥的底面半:径为r,理战长为/,高为九,即林商为生，则由超意有2xr=24x,得r=12cm,SU锥高4=Jzo2-=16Cm，所以"笼具”的体积V=打通+；灯诉=n"44X30+gX144X16卜5088»N15984.4cn.<2）网柱的例面枳£=2n,%=72Onem'.网柱的底面积*=n/=144”.网椎的测面积5,=*=240”.所以“笼具”的侧面枳SM=SZ+工=1IWxcnr.,.r.,.110411×50×81104x.故造50个"浣具"的最低总JS价为E，5=138.7兀.答：这种“茏具”的体枳约为1.59M4cm':生产50个笼具尚要138.7元.25.如图.在长方体八BCO-A1B1G。中，DC4.DDD1-2.求:面角G-8°C的正切值:设：检锥Q-8C0的体枳为Ij是否存在体积为“V（"为正整数）,且十二条梭长均相等的直四校柱,使得它的所有梭长和为24.若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小：若不存在，请说明埋由.【捽案】（1）李：（2）存在.答案见解析【分析】（1）过C,作C,G8。，根据题总，证得CGJ.80,得到/CGG为面角G-虎）-C的平面角,在直用ACGG中，即可求解；（2求得：极锥。-BCR的体积为g,结合西鹿，得到班条梭的长度为2,设底面芟形的个角为，i到百四棱柱的体枳为8sin0=gn,进而求得sin。=合.”eV,从而得解.【肝析】（1过作C1G1BD交BDFG.连接E,因为ABCO-ABqn为长方体，可得CC,1平面A8C。，乂因为C1G在底面4&7）的投影为CG且C1G1.BD,所以CG1HD,所以NCGc即为1.jftiffiC1-«DC的平面角.在直角打“中，可得cg,%f.竽,在直知CGG中，可得UnNeGC,=M=正=耳所以二面角G-BD-C的正切值为好.B<2)D-RCD1的体枳为%mya=Vw=15XDD1=11X2X4×2=,因为十：条极长均相等的直四棱柱，使得它的所有极长和为24,则每条二的长度为2,设直四极柱的底面赛形的,个角为，则底面积为22XSine=4$in®,则直四校柱的体积为V=Sh4sin02=8sin0=8”,可得sin。-,neN*.33当”=I时，sin-,可得0=arcsi111.;33当=2时，sintf=y,可得0=arcsin；：当”=3时.sina=1.,可得O=：当”24时,此时sin9=g,无解.练上可得,当r=1.时，。=加Sin;：当”=2时，"=sVSin：当=3时，=?：当24时，不存在.若该三极锥的侧校长为1,旦两两成角为2,设质点W白A出发依次沿着三个侧面移动环绕尚巴至回1b到出发点A,求侦点移动路程的电小例:若该三校椎的所有极长均为1.试求以广为竣点,以三角形A8C内切I眼为底面的网椎的体积：若该三校椎的底面边长为1,四个顶点在同一个球面：.E、尸分别是总,A8的中点,且NCQ'=90"求此球的体枳.旦108482)3)/iJ1.1.【分析】枝惟的IM面展开如图.则/W即为质点移动路程的最小(ft确定NAZW=B根据余弦定理HO算得到答案.2计算V/I8C内切同的半径为，=走,外接网半径为R=*.得到A=也,计算体积即可.633(3)顶点P在底面的射膨。为底面三角形的中心,连接8。并延长,交AC于G.证明三条(W校两两互相垂直正方体外接球即为.三枝惟的外接球,得到R=.计算体积褥到答案.4【解析】(1)如图沿侧枝4将三枝帷的侧面展开如图,则'即为质点移动路程的最小值.I1.做意得/”8=/BPC=/CM=j所以ZAPN=IPA=PA:=I.186HI余弦定理得A'A:=PA:+AP-2PA×A'PsZ=2-2x立=2-瓜.2AA=Q=也产所以质点移动路程的烛小值为逐二立：(2设三校键的也为,VASC内切圆的半径为外接圆半径为R,则1.Xa+1+1)Xr=xP.解得r=立，R=!一=立，2462sin6003所以八FJ-净冷.I训锥的体枳为卜%=如乎"半=令<3>如图,：枝推PABC为正三棱推.则顶点P在底面的射影。为底面三角形的中心,连接80并延长，交AC于G.则ACJ.8G,Po1.平面A8C',ACU平面ABC,故PoJ.AC,POItG-O,H8Gu平面PRG,得AC，平面PPG,PBU平面PBG,WJP±AC,因为£、尸分别是姑、八8的中点，所以EFaPB,ZZCEF=90o.CTEF1.C/?,所以P81.C£,CEAC=C,CEACU平面¼C,故P81平1.hPAC,所以正二极推PABC的三条例棱两两互相垂直.PA=PB=PC=容把三棱推补形为正方体,则正方体外接球即为:极推的外接球,其HIR=V+7F77cr=容R=冬则球。的体枳为V=±xR'=gn.3827.为了求一个校长为JI的正四面体的体枳,某同学设计如下解法.构造一个校长为1的正方体.如图1:则四面体AC8Q,为校长是JI的正四面体，且有图1图2(1)类似此好法，如图2,一个相对梭长都相等的四面体，其三粗梭长分别为不，I3,JG.求此四面体的体枳：对核分别相等的四面体八8C。中.ASuCAACBI).D8C.求证：这个四面体的四个面部是校角三角形：有4条长为2的城段和2条长为小的城段，用这6条城段作为慢且长度为，”的线段不相邻，构成一个三极锥，问为何值时，构成三梭锥体枳地大，最大值为多少？【答案】(1)2证明见解析，”=¥时，构成的二:极惟体积最大,最大值为印【分析】(D类比已知条件中的解法,构造一个长方体,求出长方体的校长,在由长方体的体积减去四个三校推体积即可得到答案：(2)在四面体ABcC中，由已知可得四面体ABCC的四个面为全等三角形,设长方体的长、宽、高分别为a.b、c.证明BM8C为锐角三角形,BP可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形:<3>当2条长为W的战段不在同个三角形中，写出三楂锥体枳的表达式，利用基本不等式求最值.【解析】(1)设四面体ABCD所在长方体的根长分别为ac,n:+b:=502=4Mi+r=1.3,解得炉=I.2+<r=10C1=9所以四面体的体枳V=*-1.1.加x4/Ac=2.323<2>在四面体ABC。中,因为AB=C),AC=HD.AD=BC,所以四If1.i体ABCD的四个面为全等：知形，即只需证明一个面为蜕角三角形即可.设长方体的长、宽、高分别为“、b、c.4-=2+2.BC2=b'+c2>AC2=a2+ci'所以A8'+8C'>AC',AB2+AC2>BC'AC2+RC'>AC2>所以VABC为锐珀.角形，则这个四面体的四个面都是锐用.角形；(3)当2条长为加的线段不在同一个二角形中.如图,不妨设AD，BCm.8f>=CD=4C=2取8C的中点£.迂接AK、DE.则AEA.BC,DE1.BC,而AE-=£,所以8C_1.平面AED.则：极锥的体根V=AW8("在ED中,AE=DE=F?,AD-m.s.H>.Ig4-V-Tr:J'/"-')所以Vr二:n2(4-)=4J三(4-Wm'nIA/T因为苧与V-争"(彳WTy=祟所以V等.当且仅当工=4-巴_,B1.1.m=42方时取等号.故小平时,构成的三极推体枳最大，最大值为萼.