专题07 正多边形与圆的相关运算的4种压轴题型全攻略（解析版）.docx

专题07正多边形与圆的相关运算的4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例JRU1t考点一求正多边形的中心角】I【考点二求正多边形中的圆周角】2【考点三求正多边形的边数】2【考点四求正实边形点的坐标问遨】3【过关检】【典型例题】【考点一求正多边形的中心角】【例第1】正十边形的中心角的度数为()A.30。B.36°C.45。D.60。【答案】B1分析】本题考查正多边形和曲,个正多边形的中心角都相等,且所有中心用的和是360度,用360度除以中心用的个数(多边形的边数).就得到中心角的度数.【详解】正Hi形中心用的度数为360“+10=36。，放选：B.【交式1】如图，点。为正五边形AfiCCE的中心，连接。人。月，期/AOE的度数为()A.72B.54*C.60°D,36【答案】A【分析】根据正“边出的中心角的度数为坨,进行求解即可.n360C【详解】解：由题意，得：NAoE的度数为笺-=72。：故选A.【交式2】如图,已知正五边形AfiCV把内接于。，期/AO8的度数是()A.45oB.60。C.720D.90°【答案】CCQ【分析】根据正“边形的中心角的计算公式与(”为正箔数.23)解答即可.n【洋物】解：.，正日边形Af1.a圮内接ex，36(尸正五边形八OCDE的中心向ZAQB=72°.故选：C.【点睛】本造考交正多边形和即，掌握正“边形的中心角的计算公式坨(”为正整数,23是解题的H关键.【交式3】如图点I是AABC的内心，ZBIC=130%则NBAC=()分析根据加形的外接圆得到NABC=2ZIBC.ZACB=2ZICB.根据.I形的内角和定理求出NIBOZICB.求出NACB÷ZABC的度数即可.【详解】解：Y点I是AABC的内心.ZABC=2ZIBC.ZAC8=2ZICB.-ZBIC=BOe,ZIBC+ZICB=180-ZCIB=SOe,.ZABC*ZACB=250=100.ZBAC=180,-(NACB*ZABO»80,.故选C.【点瞄】本时七要考杏对：角形的内切圆与内心.角形的内地和定理等知识点的理解和学握能求出ZACB，ABC的度数数解此即的关植.考点二求正多边形中的圆周角】【例JB2如图，正冗边形Af1.CT圮内接于。"，P为AB上一点，连接总，PE,则加E的度数为（）A.8aB.36°C.54aD.72°【答案】B360°【分析】本胭考钝的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式"是解想的美键.n【详解】解：连接CM、OB,.A8CT龙是国内接五边形.Z½OE=-=72°.-.ZAPEZOEI72°36°,故选B.【交式1】如图.正八边形A8C0Q'G内接于。O,.W是瓠OE上的一点，连接入M,AW,求ZAM8的度数.【分析】rss主要考查正多边形和圆的有关计算,先求出as所对圆心角的度数，再银据圆周角定理求解印【详斛】解：如图.连接O1.OB.H,.正八边形WC7)MG”是CX)的内接正八边形.406=牛=45°,8.ZAMB=-ZAOH=22.5°.2【交式2如图，正五边形AZO肮内接于点F在如AEENa)F=95,则Nfa)的大小为.【答案】49°【分析】本题考查了正多边形的性质,硼周角定理.根据正五边形的性质得出NCDE与Nfa)的度数是解题的关键.连接OE.aCE,根据正五边形的性精得出/COE的度数，从而得出NFZ)E的度数即NFCE的度数,再根据正五边形ABCDE内接VGO,得出ZECD的度数即可求解.【详解】解：如图，连接OE.OD.CE,五边形八次Z把是正五边形，：.ZCDE=(5-2)×180o÷5=108o,QNCoF=95。.ZhjE=ZCDE-ZCDF=IO80-95°=13°.ZFCE=3a,.-.ZFCE=B*.正五边形ABCDE内接于。，ZEOD=36()°÷5=72o.-.ZECD=|ZFOD=360,.ZW=ZVE+ZfCD=36o+136=49o.故答案为：4yI：交式3】如图,正五边形WDt内接于06。与。"相切于点/）,连接OE并延长.交巴）千点P.则/2的度数是A.20°B.18°C,16°D.15°【答案】B（分析】本题考iiV.多边形与M1.h切线的性质，三角形内角和定理,连接0D.根据切线的性侦汨Q*=9（尸.再利用I姐内接正五边形的性质可得N"）E再利用：角形的内角和等F1800即可求解.特练掌拌正多边形的性质与切线的性质是解也关圾.【详解】解：如图，连接OC.PO与OO相切，.-.ZODP=90°,正五边形Af1.C班内接于。,SB=BC=CD=DE=EA/.ZDOE=1×360°=72°.ZP=1800-ZODP-NDOE=18（r-90°-72°=18°.故选B.【考点三求正多边形的边敷】【例JB3】如图，AC是OO内接正六边形的一边，点8在弧AC上，目BC是。内接正八边形的一边.此时人8是OO内接正“边形的一边，则”的伯是（）A.12B.16C.20D.24【答案】D【分析】本题考点正多边形和匾的计算.根据中心角的度数=3W+边数.列式计算分别求出4OG/BOC的度数，则ZAOB-15。.则边数"=M）°+中心用,据此求解即可.【详解】解：连接08.YAC是OO内接正六边形的一边，.Z½OC=360°÷6=603HC'是8内接正八边形的边，/WfTC=3«尸+8=45°.ZAO1.i=ZAOC-ABOC=60o-45o=15°."=36（尸+15°=24故选：D.【交式1】如图，点48、C、。为一个正多边形的原点，点。为正多边形的中心，若AOB=I8°,则这个正多边形的边数为（）A.10B.12C.15D.20【答案】A【分析】作正多边形的外接网.根则圆周角定理得到NAo4=36。，根据中心用的定义即可求解.【详好】解:如图,作正多边形的外接圆.ZDB=9",：.AOR=2DH=3ff,J,这个正多边形的边数为黄=10.故选：A.【点环】此即主.要考杳正多边形的性颇.解时的关扬是熟知阳同角定理.【交式2】如图,48.8C和AC分别为。内接正方形,正六边形和正"边形的一边,则n是（A.六B.AC.十D.十二【答案】D【分析】分别求舟NAO8和Neo正从而得到，八OC由此即可得到答案.【详解】解：如图所示,连接。A.OC.0B.-ABQ8C分别是正方形和正六边形的一边.-IAfp2父°：.408290o,ZCOf1.的，4640C=4。B-NCoB=3(F,【点册】本即主要考查了正多边形与圆,熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解加的关1.it【交式3】如图.边八8是OO内接正六边形的一边.点C在A811,且8。是。内接正八边形的一边若八C是OO内接正”边形的一边,则”的值是()A.6B.12C.24D.48【答案】C1分析】根据中心角的度数=36Ov边数,列式计算分别求出NA08,N80C的度数,可得N4OC=15,然后报据边数=360V中心角即可求得答案.【详解】解:连接Oe八8是OO内接正六边形的边，.ZAOB-360,÷6=608C是。内接正八边形的一边，.Z<K7=360o÷8=45%ZA()C=AOB-ZffOC=6(-45=15n=360,+15=24.故选：C.1点I1.in本题考查了正多边形和四、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质：根据遨意求出中心角的度数是解题的关键.【考点四求正多边形点的坐标问题】【例题4】如图在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形八伙7»：尸的中心与原点。至台，ABx,交y轴于点P.格晓点O逆时针旋转，每次旋转90。，则第2023次旋传结束时.点A的坐标为()DEA.(3.-)B.(T-6)C.(-3.)D.(1.3)【答案】A【分析】根据正六边形的性质推出NAo8=60c,进而得出AP1.,OP=/，则A(1.不)，再根据旋转的性质，依次得出前几次扰转的点4的对应点坐标，总结出一般变化规律，即UJ解答.【详解】ft?：V该六边形为正六边形，.OBz60o.OA=OB.6A8K轴，正六边形中心与原点O点令,.OP1.AR,：.ZAOP=3(Ja.AP=-AB=.2.AO=2AP=2,OP=4O1-APi=耳.-.(1.3)54)E第1次旋转结束时.点八的坐标为(-3)：第2次旋转结束时.点八的坐标为(T3):第3次旋转结束时，点A的坐标为(>-1)：诩4次旋转结束时，点A的坐标为(1.6)，4次一个循环，.2023+4=505.3第2023次旋转结束时，点A的坐标为(百.-1).故选：A.【点跻】本跑主要考查/正名边形的性质,施转的性质.解起的关梃是掌握求正多边形中心角的方法,旋转的性质.【变式1】如图，在平面R角坐标系中，边长为2的正六边形A8C½F的中心与原点O重合，A8,轴.将六边形绕点。逆时针旋转，母次旅行90".则第2024次旅游结束时，点B的坐标为(>A.(-1.)B.-!.3C.(-3)D.(13)【答案】D【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化一僦转、勾股定理、等边：角形的判定勺性质，连接OA.OB.设八8交，轴于点P由正多边形的性质、等边二角形的列定与性质、勾股定理求出8(1).可根据施转的性质得出第1次旋转结束时,点8的坐标为(-3。第2次翻转结束时,点8的坐标为(-1->),第3次旅转结束时，点8的坐标为(6-1),第4次旋转结束时，点8的坐玩为(1.G),从而得到4次为个衙环,由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此区的关键.【详解】解：如图.连接。I、OB,设A8交N轴广点人*：边长为2的正六边彬,XBCDEF的中心与原点O1.R合.ABx.AB-2.A8”轴，AOH=36ff,+6=f.OA=OB.qAQR是等边：角形，OP-AB.:.P=PB=.O1.i=OA=2.OP=yOB2-PB'=I.川1,6)，将六边形绕点O逆时针施转，每次旋转9伊,.第1次旋转结束时.点B的坐标为(-31),第2次旋转结束时.点8的坐标为(-1.-6).第3次旋转结束时，点H的坐标为(G-1),笫4次旋转结束时，点8的坐标为(I百)，为4次一个循环，.2024÷4=506.第2024次旋转结束时，点的坐标为(1).故选：D.【交式2】如图.在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条18弧经过网格点48、C,请在网格中进行下列操作：<1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心。点的位置，并写出点。点坐标为.<2>连接A。、CD.求。的半径及Ae的长：<3>有点£(6.0),判断点E与。的位置关系.【分析】找到AB,BC的垂直平分线的交点即为院心坐标：<2)利用勾股定理可求得网的半径：易得AAoD2&DEC,那么NoAD=NCDE,即可得到圆心角的度数为90,根据班长公式可得：<3>求出DE的长与半径比较可得.【详解（1）如图,D点坐标为（2.0,故答案为（2,0）；<2>AD=JA。：+。加=25三作CE_1.x轴，垂足为E.AAOD三ADEC.ZOAD=ZCDE.乂；ZOAD+ZADO90",ZCDE+ZADO-90,.扇形DAC的留心角为90度，AC的长为"江2=不W180（3点E到留心D的距禹为4<2小，点E在。D内部.【点眈】水烟主要考锭点与用的位置关系、施径定理、孤长公式等，用到的知识点为：非直.径的茏的乖口平分线羟过网心.播【过关检测】一.逸界屋1 .边心距为3的正六边形的周长为（）A.18B.23C.D.123【答案】B4【分析】设正六边形.的中心为点。.边心距为3,连接。A、O1.i.作0GJA4F点G则OG=3.可证明A08是等边：.角形，则rmNO1.8,sin&尸=f，即可求对八8=OA=资=筝=26.则这个正六边形的周长为6ABI23.【详解】解：如图.正六边形ABCDEF的中心为点。,边心路为3.连接。t、OB.作OG_1.A8于点G.如图.D则OG=3,ZOGA=90n.：OA=OB.ZAOB=-×360°=60o,6.QK出足等边三角形，./OAfi=W1,'=SinZOAB=sin600=，OA2小8OA箸第2/1E六边形的周长为6A8=62J=123，故选：B.角函数与解口角三【点防】此时由点考今正多边形的中心角、边心矩、等边三角形的判定与性质、锐用一角形等知识，正确地作出所需要的辅助钱是解阳的关键.2. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的留心角为18。,则该正多边形的边数是（）A.14B.18C.16D.20【答案】D2AC。【分析】本也E要考查正多边形的有关知识.根据正多边形的中心角为"计翼即可.n【详蝌】解：一个IH的内接式多边形中,-条边所对的回心角为18。.该正多边形的边数为：”=胃=20,故D正确.Io故选：D.12. 一个圆的内接正多边形中，一条边所时的圆心角为72。，则该正多边形的边数是（A.3B.4C.SD.6【答案】C【分析】根据正多边形的中心角=幽计算即可.n【详解】解：设正多边形的边数为n.由明意Mn=72no【点瞄】本即考点正多边形的有关知识，解时的关雄是记住正多边形的中心角丝4.如图，A8,AC分别为OO的内接正三角形和内接正四边形的一边，若8。恰好是同圆的一个内接正“边形的一边.则“的值为（）A.8B.10C.12D.14【答案】C【分析】连接OB,OC,OA,根据眼内接正二角形，正方形可求出“408,/4。C的度数，进而可求“80C6110的度数，利用NBOC=卫，即可求得答案.n【详解】如图：连接OB.OC.OA.IAfiK为圆内按正三角形.ZAO=-=120°3四边形ACDF为硼内接正方形360°.ZAOC=-=9(r4AZBOCZjOB-ZAOC120o-9(r=3(F360°若以BC为边的圈内接正边形，则有/4。C="=3(尸n故选：C.【点即】本阳考查门堀内接正多边形中心的的求法，熟练掌握阳内接正多边形的中心为等于"（"为正n多边形的边数）是解邂关谦.5.如图.AC是。的内接正四边形的一边.点8在孤AC上,且8C是。的内接正六边形的一边.若A8是。的内接止“边形的一边，则C的值为（）【答案】D【分析】连接AO、BO.CO,根据中心向度数=360Y边数n,分别计算出AOC、NBOC的收敛，根据用的和差则彳JNAOB=30*.根据边数n=360"中心角度数即Ur求解.【讲解】连接A0、80、CO.AC是OO内接正四边形的边，.ZAOC360,÷490-Y8C是。内接正六边形的边.Z8O1.36tr÷6=6（.ZAOB=Z.AOC-Z88=90°-60*=30*.n=36O÷3O=12;【点眈】本阳考传正多边形和引，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数.二填空Je6.如图，A、8、C、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，若NAM=3/，则这个多边形的边【分析】本题上要考作了正多边形'j网.先由网底角定理得到NAQ2ZADB60。，再根据周角的定义即可求出答案.【详解】解：如图所示,连接。A，OB.：4)8=30a,AOB=2AI)H=ar,这个多边形的边数是昔=6CaJ【答案】(2,23)iE六边形OA8CDA的边长是4,则它的内切阀网心M的坐标.【分析】作OE、CC的垂在平分戏交F点M,即为内切If1.I1.f1.I心M,连接MO,MK,根据正六边形的性质及等边：角形的性侦得出A")=2OH=4,再由勾股定理确定即可求解.【详解】解：如图所示，VOE.CO的垂直平分线交于点”.阳为内切圆圆心W.连接A"),ME.OH=HE=2.4。ME为等边：.角形,QWV=30p.MO=IOH=4.MH=4OM2-OHi=23-，点M的坐标为（2.2/）,故答案为：（22）.【点睛】本Sf1.主14查正多边形的性质,等边.三形的判定和性质,勾股定理解:两形及坐标与图形，S解题意，作出图形辅助规是解超关键.8.如图.在正六边形八8C0CF中.点P是AF上任意一点,连接PC.PD.则aPCO与正六边形八8CZ）防【分析】本即考浅正多边形与即，三角形的面积,等边：珀形的性质等知识，解跑的关键是熟练掌握将木知识，属于中考常考题型.设正多边形的中心为。，如图，连接CF,DF.OD,根据八广8,得到=根据OC=OF得到S.tr,Suw=gSg,，而S.oro=，S,M泓求出比伯即可【详解】解：设正多边形的中心为。，如图，连接CF,DF.OD.AP.AF/CD.'v>"Sro.OC=OF、c_-J.<ttf×>_a*>-2W>''5",i>=ZSRJq"j:.WCD,j正六边形ABa)E尸的面枳之比为1：3.故答案为：1:3.9.tai1.?,边长为6的正方形八8C。的中心与半径为2的Oo的留心很合，过点。作QE_1.OF,分别交八8、AOf点£、尸，则图中阴影部分的面积为.【分析】本题考杳的是正方形的性质，全等二角形的判定与性质，求解不规则图形的面根.如图,过点。作OMXABF点M.QVJ.AO户点N.证明OM=ON,EOM升FON,可得S,“叫=Si,SnJmUw-Sjmjwik,从而可得答案.【详解】如图，过点。作。W1.A8于点M,ONj.AO于点N.点O是正方形ABCD的中心，OWIH.ON1.AD.OM=ON.-OE1.OF,.ZEOF=90°,即ZWW+ZMOF=9(尸， ：ZA=/AMO=ANO=90p，：.ZMON=9(F,即ZraV+NAfOF=9(F.zf<w=zrav,.-.EOraV(ASA), SA?ww=Sjos F加TSM3-Soe)=%(6")=9r.故答案为：9-11.10.如图，一个圆形纸片Oo的10心。与一个IE方形的中心取合，己知8的半径和正方形的边长都为4,则圆上任就一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为.【答案】4-22【分析】如图.由:.角形泌关系分析可得当。、A、B-：点共线时，圈上任意点到正方形边上任意一点即阳竹最小值,最小值为04-3.以此即可求解.【详情】解：如图点8为0。上一点,点。为iE方形I一点,连接SOC.OAAB.由：角形三边关系可得，OR-OD<RD.：08是网的半径,为定值.当点。在A时,取得最小值.当。、A、8三点共线时.网卜任意一点到正方形边上任意一点即离有最小位,最小值为08O.由题底可得,AC=4.00=4.,点0为正方形的中心,.-.OA1(X,OA=OGZAOC=*产，.aoc为等腿直角.角形,圆上任意点到正方形边上任意点距离的最小值为O8-QA=4-2故答案为：422.1点Bin本题考查正方形的性质、利用：角形"边关系求最值何出利用三角形三边关系分析得出当。、4B三点共战时，暝上任意点到正方形边上任意一点距离有呆小值是解题关键.三、解答星11. RtAABC中，ZABC=90,以AB为直径作。交AC边于点D,E是边BC的中点,连接DE,OD.<1）如图.求NoDE的大小：<2）如图,连接OC交DE于点F,若OF=CF.求NA的大小.【答案】(1)IODE=90°；(2)ZA=45,.【详解】分析：（I）连接0£，BD,利用全等三角形的判定和性质解答即可;（11）利用中位线的判定和定理解答即可.详解：（I）连接0E.BD.A8是。的直径，.AD8=90,.8三90.£点是8(7的中点，。后1808£'：OD=OB.OE=OE.AODEMAOBE./.ZODEZOBE.ZABC=90.ZODE=90;(11).CF=OF.CE=EB.FE是ACOB的中位线.，FEUOB.，ZAOD=ZODE.1.(I>得NODE=90*.ZAOD=90°.图圉点防：本时考森了回周用定理，关德是根据学生时全等三角形的判定方法及切城的判定等知识的掌握情况解答.12.如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B.点A的坐标为(0,2，点B的坐标为426，0).解答下列各造；< 1>求线段AB的长；< 2>求。C的半径及If1.1.心C的坐标；< 3>在。C上是否存在一点Pf史得APoB是等腿：角形？若存在，请求出P点的坐标.【答案】4：(2)存在符合条件的P点：Pi(G3);Pz</，-1).【详解】【分析】首先连接AB.由点A的农标为(0.2),点B的坐标为(2T.0),利用勾股定理即可求徨线段AB的长：<2)首先过点C作CD±OB于点D,过点C作CE±OA干点E,由垂径定理即可求得点C的坐标.然后由眸周角定理.可得AB是直径,即可求得。C的半径；<3)作。B的垂m平分线,交。C于M、N,由垂径定理知：MN必过点C,即MN及。C的内径,由此UJ知M、N均符合P点的要求，由此即可得.【详解】(1)'.A<0,2),B(2yf.0>,OA=2.OB=23.Rt0AB,由勾股定埋，得：AB=OA-+OZ=4：<2>过点C作CD±OB于点D,过点C作CE±OA于点E.OD=yOB=j.OE=yOA=I.J.圆心C的坐标为(O,0，1-ZAOB=90,.AB是。C的H径，.OC的半径为2：<3>作OB的垂直平分线，交OCM、N,由垂径定理知：MN必过点C,即MN是。C的直转:.M(G3),N(G-1)：出MN垂直平分0B.所以AoBM、AOBN椰足等稷三角形,因此M、N均符合P点的要求；故存在符合条件的P点：P1(3.3>；P2<3.-1>.【点脐】本翘考变了隔周角定理、勾股定理以及垂径定理，此题雉度适中，注意掌握辅助线的作法，注意救形结合思想的应用.