专题4.8 等比数列的概念（重难点题型检测）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.8等比数列的概念（重难点题型检测）一.选IMK（共8小愚，满分24分，每小J1.3分）I.（3分）（2021北京高二期末理）在等比数列时中，1=8,q=i,则为与曲的等比中项是<）A.士：B.4C.±4D.J【好阳思路】计算出的（ft.利用等比中项的定义可求得结果.【解答过程】由己知可褥6=4qS=8xGy=：,由等比中项的性质可得,<=碓=,Z4Io因此.的等比中项是±.故选：A.2.（3分）（2022宁里高：.期中（文）设%是等比数列,且a?+%+%=?,3+4+s三6则a6+a+a=（）A.24B.48C.32D.64【解即思路】根据已知条件和等比数列的性质求得q的值,结合。6+。7+/=。!；（1+9+42）可求得结果.【解答过程】设等比数列d1.的公比为q,W1.a2+a3+a4=aiq+a1q2+a1.q3=a1q（1.+q+q2）=3.&+/+&=a1.q2+a1.q3+a1q4=a1<j2（1.+q+qit）=6.两式相除.得q=2.因此.af,+a7+aaa1.q5+a1.q6+a1.g7=a1qs（1.+g+2）=3q*=48.故选：B.3,（3分）（2022甘肃高:阶段练习）已知等比数列a1.t,满足1.ogz。；：+IogZa1.I=1，且%心的=16,则散列的的公比为（）A.2B.4C.±2D.±4【解即思路】利用对数运克性质、等比中项可得az。”=%=2."心，。”>0根据已知有8,即可求公比.解答过程】令an公比为q.1.t1.1.og2（a2a1.1.）=1.½a2a11=2I1.a2u>0.所以an=a2q9>0,则q>0,X2=2.Mja6aq=8.所以9=q2=%at0蛛上,q=2.故选：A.4. （3分）（2022黑龙江高V阶段练习）在等比数列$中，apa”是方程r2-13r+16=0的两幅,则独的7他为）A.BB.±BC.4D.±4【解踞思路】由己知条件结合元：次方程根与系数的关系，利用等比数列的性桢求解.【解答过程】是方程x'1.3x+16=。的两极，a1.+a3=1.3,aa3=6a>O,an>O.aa”=U2a1.2=a5=1.6.又等比数列10中奇数项符号相同,可得叱=4二=4.4故选：C.5. （3分）（2022,陕西高二期中）己知一1,%,。2，7成等差数列，一3,瓦前2，灰,一12成等比数列，则b2（a2-2%）等于（）A.-6B.6C.-12D.-6或6【解曲思路】根据等基和等比数列通项公式可求得公然d和公比q的平方,由此可得力,a。"，代人即可知到结果.【解答过程】设-1.,a,az,-7构成的等差数列公差为乩-3,皆.坛坛,一12构成的等比数列公比为g.a1=-1+d=-3.a2=-1+2d=5.b2=-3q2=-6.b2（a22at）=-6×（-5+6）=-6.故选：A.6. （3分）（2022全国高二期中）分列<wj满足<m*j=2<"H1,也=1,若加=”-/+4n为单调递增数列.贝以的取值范围为（）A.A>-B.>-C.>-D.>iB4HZ【肝即思路】根据给定条件求出数列通顶.再由数列为小诩递增数列列出不等式并分离参数即可排理计算作答.【解答过程】数列11)中,o.,=2oi+1.。尸1,则有Mfj+1=2(.an+1.),mja1.+1.=2.因此，数列“*”是公比为2的等比数列，册+1=2,UJn=2"-1.则br="2"-1)-小+4电因数列M为单调递增数列.BPVnWM,bn“bn>O,则(I<2n,t-1>-(«1>2+4<+I)-(2n-1.>-+4rt=2n-2+3>O.需.2n-32*5-2兀2*I11N.当2时，血AE当n>3时，E.,Vg于是ffh=:是数列s的最大攻，即当“=3时，等取得最大值"从而得人>：,8ZnB所以人的取侑范国为.故选C.7. (3分)(2022全国高：课时练习)己知数列%1是各项均大于0的等比数列，若垢=Iogza1.1.,则下列说法中正确的是(>A%一定是递增的等差数列：B.%不可能是等比数列：C.2b2.+1)是等差数列：D.36不是等比数列.【解题思路】设出等比数列<的公比,求出力的表达武再逐项分析判断作答.【解答过程】设等比数列a11的公比为q,依题息有&>0,q>0,a1.,=凶A1.nN',bn=og2(1.,'_1)=1.og2aj+(n-1.)1.og2q.bni-bn=1.og2>jn'ft.即数列%是公差为IogZq的等差数列.当0<q<1时，1.og2q<0,等基数列位J是递减的.A不正确：当4>0,a-1.,q=1时.九=IoggH0,即数列他J是算0常数数列,它是等比数列，B不正确:22b+i+1-(2n.1+1)=2(b2rt41-fe2tt.,)=41。&9为常数KP2b2n.1+1是净差数列C正确：嘿.=3二.f=3"M是不为0的常数.即数列3、是等比数列，D不正确.故选：C.8. (3分)(2022全国,高三专卷练习)在边长为243的正三角形三边上,分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此出发多次.得到如图所示的图形(图中共有10个正三角形)，其中最小的正三角形的面枳为<>A.-B.IC.vD-42【裤眼思路】设第”个正曲形的边长为a“，根抑;已知条件可库言=看由等比数列的定义写出通项公式并求%。，即可得的小的正三角形的面枳.【解答过程】设第个正三角形的边长为a”，W1.a1=243.由勾股定理知片+=（an）2-（a,1）2.所以碎“=沁又a1.,>0,那B=高所以凡）是首项为243,公比为表的等比数列，所以=243×（）".EPan=（铲”,所以a”=、石，故短小的正三角形的面枳尾X3X（亨X3）=手故选：A.二.多选题（共4小JB,送分16分，每小题4分）9. （4分>（2021全叫高二课时练习）（多选）已知等比数列%的的3项分别为X.x-2.2x-/,则其通项公式可能是（）A.an-1B.an=（-I）"-1C.an-2nD.an-2n【解题思路】根据等比数列的性质和定义求得X,再得公比,从而可得通项公式.【解答过程】由于等比数列<的前3项分别为X.x-2,2*十,则（X-2）2="（2-乃，显然*2,得/+x-2=0,解为X=I或X=-2.当X=I时，公比q=-1.,%=（-1.）*T;当x=-2时，公比q=2,an=-2n.故选：BD.10. （4分）（2022江苏南通海二期中己知数列a1.1.为等比数列，则（>A.数列44%成等比数列B. 1&列。2，。3，。4，。丁为成等比数列C. C列+a2a3+c4,as+%成等比数列D.数列ai+az+%。a，+%+4，a?+a1.1.+a。成等比数列【解题思路】根据比数列的定义,逐一判断选项.【解答过程】设等比数列d1.的公比为q,AH等比数列的性质知=g2,1=q，.当>±1时，q2<?*.故A错设：B.可知数列/的的9,%每项都不为Q，且吧=2=q4故B正确.>jGa4C当数列%为1.-K1.-1.1时,a+a2=a3+a4=as+a6=0.故C错误；D.数列小+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+的的年项都不为O,I1.aram=q?,故D正确.。1+（2广。304）。3+06故选：BD.11. （4分）（2022江苏高三开学考试）已知等比数列a满足%>0,公比q>1.,且取<02i<1.aia2a2022>1，则（）A.<12022>1B.当n=2021时,4%,“即最小C.当n=IO1.1.时,aa2"anS<'D.存在n<1011.使得Qj1.Qn+=an+2【解题思路】由等比数列的性质、单调性及不等式的性随可对侮个选项进行判断（口¥捽过f'1A，''11j>0q>1,'Qn>0,Ka1.a2。2。21<1，处。？O2022>1，.a2oz2>>1，故A正确；ai112eM21对B和C，由等比数列的性质可汨=<jZ<1.ZOZO=-=111010<1.1012=。11，故。1。2-<>2021=<»1011<1即°<«1011<1，Va2a2022=a3a202i=aoaoi3=aou*,a2aia4/022=aui2因为。22=3干三三>:所以a龈>9°1«1*1Va1a2,<>202i<%>0，q>b0<a1<1>1.*t*aoi2>故当nH1（HI时，aid2/最小，所以B错误，C正确：对D闪为0<%<1.g>1,所以c,J是单词递增数列,所以当n<10118T.an<a10n<1.故a0对“<a”+iVan+2,故Dtft误.故选：AC.12. (4分)(2022黑龙江海二阶段练习等比数列,J的公比为q,且满足%>1.1.ototon>1.(awo-1.)(ao1-<O-记及=a1.a2a3-an,则下列结论正确的是()A.O<Q<1B.Uoooi2-1>0C.7；T1010D.使兀<1成立的最小自然数n等于2021【解烟出路】求得g的取值莅用判断选项A：求得a11njaoi2与1的关系判断选项B：求得7；与THnO的大小关系判随选取C：求得使兀<I成立的及小自然数n判断透项D.【解答过程】由(八。T)(a11n1.D<。，可桢北；：；：二；二或£：；二KJ!1.1.1.W0to>1，ao<1.,又>1jjo<2j(j>1>01.j0<<1.0<<2m<Ih1.21得010<1»<Zo>1-411oo<Io>1>0.K1.0<aoo<1,Xa1.011>1,则q>1.则数列为递增等比数列.这与a>1.0<a1.010<1矛肝.舍去.媒上,可得0<q<1.选项A判断正叫t101010i2=«10112.乂0<。1011<3则由010。1012=101.1.i<1.选，；：B.,1.r!I1.S又数列a1.1.中%>1，aoo>1-0<«1011<1'OCq<1,W1.ffai>a2>a3>a4>->a1010>1>a1.0n>»则4=a1a2a3-an笃”。.选项C判断错误.T2oi9=aia2a3a2i9=(aoo)2019>1T2020=a1a2a3a2020=(a100a1.on)w,°>1.72021=1.a2a3""aJ0J1=(eMH1.)2021<则使<1成立的最小自然数n等于2021.选项D利断正确.故选：AD.三.填空JB(共4小题，淌分16分，每小题4分)13. (4分)(2022.上海.高二期末等比数列凡中，a1+a2+a3=26,a4-111=52,则通项公式为=_2x3"T.nWN.【解也思路】基本址法联，工方程组艇出a,q即可.【解答过程】已知4+a2+a3=26,a4-a1=52可得产+°”叩；26.Q1.q-a1.=5Z两式相除得2F=q-i=2,解得g=3,代入。凶-a1.=S2!ta1.=6,所以az1.=2×3n"11N*故答案为：2×3n-t.nN.14. (4分)(2022,陕西,高二期中己知%1是等比数列，若1是0，%的等比中项，4是4,c的等比中项，则由2=÷16f2.【解虺思路】首先根据等比中匈求出,£13和再求出公比.再初II"川:数列可求ag【解答过程】由题息可知.：是。2和4的等比中项，,%=3又（7是和<的等比中项,7=4.又含=q4=4.q=±2.而由2=%qS=4X（±V2）5=+162.故答案为：±16&.15. （4分）（2022上海高二期中）若数列%和"J满足处=2,瓦=0,2an+1=3an+bn+2,2bn1=an+3bn-2,W1.a2022+b2021=3x22020+1.【解烟出路】由飕干中两式相加构造等比数列a1.,+%卜进而求出Sn+i+匕）的通项公式，代人计聊即可.【解答过程】因为2an+=3an+hn+2.2bn+1.=a,1.+3bn-2,WttZan41+2bn+1.=a,1+3brt-2+3art+b+2=4（an+¼t）,即+¼1+1=2（an+bn）.又+瓦=2,所以（%+4是以2为苜项,2为公比的等比数列,所以a1.1.+几=2".X2an+=3a11+bn+2,即arj+=an+/n+1所以%“+bn=1.an+bn+1.+bn=an+bn）+1.=1.×2n+1.所以<>2。22+b202i=I×22oz,+1=3×22020+1：故答案为：3x2202。+，16. （4分）（2021.全国高二课时练习）设等比数列/的公比为q.其前n项之枳为"，并且满足条件：4>1.«2oi6a2oi7>I-产三<0,给出下列结论：0<q<1.;a2。16a2。18-】>0；T2016是数列中的最大项；使7；>1成立的最大自然数等于4031：其中正确结论的序号为（岫.【解题思路】分别讨论和q<0,找到矛后,可月新，通过OVqVI以及等WVo可得到V3则通过。20160201=谴01?可判新.通过n2016,nAr时.an>1.n>2016,nN时.0<an<1.可判断，算出加32,打033可判断.【解答过程】W:Va1>1.若q1，则。2016=a920's>1.a2oi7=Oif1.20'6>1-此时的匚>0.。如三<0矛盾，故q1.不成立，若q<O,2016=a1q20,s<O,a2o?=a1.q2°1.6>O.此时<oi6a2017<0t5a26a2oj7>1矛盾故q<。不成立,0<q<1,故正确：因为a】>10<Q<1Uzoie>zoi7,由2*tu"_<OieJa2UJ6>1，°<<>2017<1<,2017,（1.2016<1.2018=<j2017<11故不正确;囚jaj>1，O<q<1,Q20i6>1,0<。2。17<1，所以当nW2016,nC时.an>1.当n>2016,nWAT时.O<a<1.所以7'2O16是数列UJ中的最大项.故正确：O32=.a4030a403ta«!32=（0104032）2016=（底2016%017）20'6>133=<11.a2,«40304031,a4O32'<,4O33=（t,20172）21.6Xf1.2017<1使7；>1成立的最大自然数等于4032,故不IE确.故答案为：.四.解答题（共6小JB,清分44分）17. （6分）（2022陕西高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13,第四个数是第二个数的3倍，曲三个数成等比数列.后三个数成等差数列.求这四个数.【解题思路】设出四个数分别为0.b.C4根据条件列出方程.求出答案.【解答过程】设四个数分别为5b,C,d,ftJa+b+c+d-1.3.d-36.b2-ac<2c-b+d,将d-3b代入2c-b+d得：c-2b.将c=2b,d=3b代入a->fr-c+d=13得：a=1.3-66.将c=2b.a=136b代入>=ac褥：2=2b（1.3-6fe）.解得：6=0或2当b-0时，W1.Zfd-OqT3.这与前三个数成等比数列,矛历，舍去：当b-2时，解得：a-,c-4.<1-6,故满足要求，故这四个数为124618. （6分）（2022全国高二课时练习）（1已知等比数列%满足%=%。3%=4（/-1），求。2的伯:<2）己知等比数列SJ为递增数列,若QI>0,f1.2（a,+a6）=5os,求数列Sj的公比q.【解跑思路】(I)根楙等比数列的通项公式求出q=2,可得<=%q=3<2)根据等比数列的通项公式求出Q=2或q=再根据等比数列SJ为递增数列.IIa1.>0,可得q=【解答过程】(I)设等比数列SJ的公比为q.I13f1.5=4(a4-1),得a；=4(a4-1).ffa4=2<.'.q3=乂=8.'.q=2.*.a2=axq=OZ<2)由2(a4+<)=5%,得2(a,+a,/)=5a1.q,1.a40,所以2+2q2=5q.HJ(2q-1.)(q-2)=0.解得q=2或q=g.因为等比数列(a1J为递增数列.且5>0.所以q>1.所以q=2.19. (8分)(2022辽宁制三期中)设等比数列aj满足%+a?+%=39,a,一出=78.(I)求att)的通项公式：(2)记瓦=1.og3an.若btn+21=+bn+s求m-【蚱即思路】(D用基本j),q表示Ja干条件，求解即可:<2)代入ar,=3".求解可得”,=布，再代入%s+z=%.+bm+s.求解即可.【解答过程】设S(J的公比为9，ja+a2+a3=at(<z+<?+1)=39"'a4-<J=Oi(q3-1)=78解；所以SJ的通项公式为a1,=aiqn-i=3n.<2)因为J1.og3%=11,所以brn=标.¼n+s=m+5,hm+2=m+21.1.i1.v'7n+vtn+5=m+21.整理得3r112+52m-256=(3m+64)(m-4)=0.解符，h=4或m=-g<舍去)，故m=4.20. (8分)(2022北京高二期中)设aj是公比不为1的等比数列，5为a2，5的等差中项.(1)求SJ的公比：(2)若a>0.a4ah=4.求【解则思路】(1)由已知结合等差中项关系,建立公比q的方程,求解即可得出结论:<2)因为的>0,=4,由等比数列的性侦可得的=2,所以a?=会代入即可得出答案.【解答过程】(1)设1.t的公比为q,%为的等差中项，V2a1.=。2+。3，01*0,.Q2+Q-2=0.Q*1.Q=-2：囚为由>046=4.由等比数列的性质可得2a4a6=as2=4.所以。5=2.所以。3=a=：=321. (8分)(2023全国高三专题赛习已知数列%和bt1.满足：a1=,ant1.=1an+n-4,bn=(-1.)n(a,-3n+21)其中a为实数，n为正整数.(I)对于任意实数人证明：数列/不是等比数列：(2)试判断数列6/是否为等比数列.并证明你的结论.【解题思路】(I)若行在实数3使解数列(aQ是等比数列,则必有*=%的，否则不为等比数列.即可得距<2)若存在实IU使得不列%是等比数列,证明竽i=常数即可【解答过程】(1)解：黄设若存在实数人使汨数列a7j)是等比数列，则必有说=%。3，%=人，二%=)-3,%=：(豺-3)-2=1-4.由()-3)2=M1-4),整理得9=0矛盾.放假设错误，因此对于任期实数入数列an)不是等比数列：<2)证明：若存在实数义使褥数列&J是等比数列，则肝=常数.%+1=(-1.)n*,n÷-3(11+1)+21=(-1.)"*,(a11+n-4-3n+18)=(-1.*1(a11-3n+21)=-三br.当I仅当1,3n-21.maTf1.fH上式成立.因此当Iw-18时,R=为华数,数列既是等比数列.22. (8分)(2022安徵询二阶段练习理)数列%中.1=1.an,i(an-4)=n-6(neiV)< 1)设，1=1.-白求证：是等比数列:保一2< 2)设数列的前n项枳为7”.求取取得股大值时n的取值.【解四思路】(1)根据递推关系式以及I-M=可得久+1=2瓦(nCAT).从而荻得证明：< 2)由作差法得到数列cj的单冏性，烟据用词性即可获好.【解答过程】(1)由tt+(r-4)=册6(n£N*).fHn+=7Z,n*-2=a"_2=0"«一*!O11-*11"整理得：-J-=-=-1+-,又上=1一%,aa÷i211"2aH"211-2所以1-砥+1=-1+2(1-bn),即b"+=2bn(nGN-),乂仇=I-六=2,故SJ是首项为2,公比为2的等比数列.< 2)由(1)bn2n.设J=u.(n÷1.),n2(M1.R-Zit?-n2÷2nt1.则。+1-G=-正=2"”=2-»,当n=1.2时,cn+1-cn>Oi3时,c11+1-cn<0.即CI<c2<c3>c4>cs>.又q=5c2=1.C3=Q=1.¾=故7i=7=57=当nN5时，J<3Tn<Tn,嫁上，当n=3或n=4时，7；取得最大值.