专题10 三角形问题（解析版） .docx

专题10三角形问题r、【典例分析】【考点I三角形基础知但【aU若长度分别为“,3,5的三条线段能Ia成一个三角形，Ma的值可以是()A.1B.2C.3D.8【答案】CKMfr1.【分析】根据三角形三边关系可得5-3<a<5+3,解不等式即可求解.【详解】由三角州三边关系定理得t5-3<a<5+3.即2<a<8,由此可得,符合条件的只有选项C,故选C(Aff)本题考查了三角形:边关系.能根据：角形的:边关系定理得出S-3<aYS+3是解此必的关犍,注意:6SBDEM)FI1.ZBZDAFDB=DA,ZBDE=ZADf：.MiDEMDF(ASA)：,BE=AF：(3) iH1.:过点M作MEHBCAB的延长线JE.ZWE=90o.WAE=42AB-NE=45。，ME=MA.；ZAME=垃.ZfiMV=90°.NBME=ZAMN，ZiME；MMN1.,.NE=NMANME=MA.NBME=ZAMN：.SBMEMMN(ASA),：.BE=AN.：.AB+AN=AB+BE=AE=2-图3【点册】本胭考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、出角三角形的性质.掌握全等三角形的判定定理和性旗定理是解题的关键.【支比21】Q）如图，在四边彩ABCO中，HCI）,点E是8C的中点，若AE是V）的平分线，试判断.13,AD,QC之间的等坦关系.解决此问S以用如下方法：延长人£交DC的砥长战于点尸，舄证MfBgMEC得到A8=FC,从而把A8,AD,以转化在一个三角形中即可乂断.AB,D,/X之间的等量关系一（2）问题探先如图，在四边形4BC/）中，AB/CD.A/与/X?的延长线交于点尸，氤E是BC的中点，着AE是/珈户的平分线，W三%,4B.AF,CF之间的等关系，井证明你的结论.【答案】（I）A1.）=A1.i+IX:,<2>AB=AF+CF.理由详小蚱析.【晰】【分析】I）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得Af）=。尸,再根据AAS证得ACEFgMEA.：止AB=CF.进一步即二结论:<2）延长AE'ZDF的延长线点G.女:图,先根据AAS证明HAEBWGEC可符AB=CG.ii根艳尔平分线的定义朱T行线的性功.证行RA=FG,进而得出结论.【详稀】河：八。BDC理山如下：如图】，；的平分线.N4E=N4E.ABDC,：.ZF=BAE.-DAF=ZF-'-AD=DFVa1'.E足Bei内中点.CE=BE.丈'：NF=乙BAE，ZAEB=ZCEf：.ACEFBEA<AS>.：.AB=CF：.AD=CD+CF=CD+AB枚答案为：AD=AB+IX：.<2)AR=AF+CF.理由如下I如明延长AE交。尸的廷K”IJ1.G.：ABHDCsBAE=NG，V：BE=CE.ZAEB=NGEC，:.XEBgAGEC(AAS),AB=GC-：E足ZBAf-'的平分线.二Zf1.AG=ZMG.,.ZHAG=ZG.ZFAG=ZG.，FA=FG、'：CG=CF+FG.AB=AF+CF(A,Bft本跑考ij'全等三角形的判定和性侦、平行城的性侦、角平分线的定义和等知对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等:.角形是解本区的关键.A12<2如图，A1.i=AD,HC=DC,点/.在AC上.(D求证1AC平分NMo1.(2)求证IBE=DE.【答案】(1)见解析；<2)见斛折.tAMfr1.【分析】<1)由超中条件易知：ABC55ADC,可得AC平分NBAD：<2)利用(1>的结论,可得ABAE经ZiDAE.得出BE=DE.【详解】AB=AD解：(I)在A8CDC中，AC=ACBC=DC：.ABC>ADC(SSS).BAC=ZDACWMCY分Nf1.4。：<2)|：|(1)NBAE=NDAEIBA=DA(ABAE1.-.VME,I,.(!1<NBAE=ZDAE(E=E.'.BAEADAE(SAS)/.BE=DE【点瞄】熟练运用三角形全等的判定,得出三地形全等.转化边角关系是解题关键.【考点31第三角形与边三角形的判定与性质的应用优3如图，在ZMBe中，AC<AB<BC.已知线段XB的森直平分线与BC边交于点P,连结P,求通IAPC2?以以点B为国心，线段AB的长为半径J1.与BC边交于点Q,连结AQ,若？A(ZC3?B,求D8的度r答案】(D见解析：(2)ZB=36a.KMIfr1.【分析】(I)根据事宜平分线的性质.得到PA=PB,再由等层三角形的性质得到NPAB=NB,从而得到答案：<2)根据等腰三角形的性质得到NBAQ=NBQA.设/B=x.由题造得到等式NAQC=B+NBAQ=3x.即可得到答案.【详解】<1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上,所以PA=PB,所以/PAB=/B,所以APC=PAB+B=2B.（2）O：SS«.J9BQ=BA.所以/BAQ=/BQA.设NB=x.所以/AQC=NB+NBAQ=3x.所以NBAQ=BQA=2x.在AABQ中,x+2x+2x=1.80o.解得x=36°,即NB=36°.（a,M本题考查垂直平分线的性侦、等腰三角形的性质,解遨的关扬是掌樨垂自平分线的性质、等腰：角形的性质.【支戈3-1】如图，AA改是等边三角形，延长BC'到点。，使Q=AC,tt.4D.若AB=2,U!/W的长为一.【答案】23KMIfr1.【分析】AB=AC=BC=CD.即可求出BAD=90%ND=MF,解宜第三处形即可求得.【详解】解；A4BC是等边三角形.,NB=NBAC=AACB=60，：CD=AC.j1.D,则RtMCD=RtMEAD(H1.).：.AE=AC=6.f1.E=IO-6=4.设CO=O£=x，则肘)=8-.：R1.gDE('.DE2+BE2=BD2+4'=(8-x)2.解得X=3.CD=3;3UBDE=9011ZCDE=NDEF=ZC=WCD=DE.二四边形CDEF是正方形.ZAFE=NEDB=90ZAEF=ZB.AA£F-ESD.,AFEF.三"EDBD设CD=XEF=DF=X,AF=6-.HD=S-.6-xX解得X:.CDX-24i724T=,滋.CD的IW为3或5:角形的性质即可求出BP的长.解：7AB=AC.ZB=ZC.VZAPD=ZB./.ZAPD=ZB=ZC.,.APC=ZBAP+ZB.ZAPC=ZAPDtZDPC.ZBAP=ZDP('.ABPPCD,BPAB.'一=,CDCPB<D=CPBP.VAB=AC.C<D-CPBP:<2)；PDAB,.,.ZPD=ZBP.VZAPD=ZC.ZBAP=ZC.VZB=ZB,BAPBCA.,弛_VAB=IO.BC=12,.IOBP丘"而冲空.3“点防”本题主要考Cr相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行战的性顷'.角形外角的性城等知识,把证明AC<D=CPBP转化为证明ABCD=CPBP是解决第(1)小区的关1.证到/BAP=NC进而得到BAPsBCA是解决第(2)小题的关键.【支比夕2】大唐英尊19是中国第一个全方位展示盛*风藐的大型J1.奴园林式文化切公BB,全Ig标志性建筑一紫云楼为代表，展示了，丽升量云景，天下臣JI帝王心”的唐代帝王风范(如图).小风和小花等同学，用一些M工具和所学的几何知识费萦云楼的高度，来检出自己掌握知识和运用知识的能力,他们经过研究需要两次,，：It先，在阳光下，小风在蒙云检影子的末*(点处竖立一根标杆C”此时,小花H1.得标杆C/)的影长c%=2米，C)=2米；然后，小风从C点沿叱方向走了5.4米，到达G处，在G处装立标杆尸G接着沿/“，后退到点M处附，恰好看见蒙云楼JM1.4,标杆尸在一条直线上，此时，小花得GM-0.6米，小风的眼到地面的距离M=I.5米，FG=2米.本也考森了相似三角形的应用.正确的识别图形是解遨的关椀.【考点6anj.ifA具会用【优6】三角板是我的学习数学的好帮手君一对直角三角板如图放，点C在广。的延长线上,点8在E。上.AR/CF,NF=NAC'8=90,NFS.Z4=60o,AC=IO,则CO的长度是.KM*r1.【分析】过点B作BM1.FD于点M,根据题速可求出BC的长度,然后在AEFD中可求出NEDF=45。,进而可珥出答案.【详解】过点B作BMFD丁点M,在AACB中，ZACB=900,ZA=M)0,AC=IO,：.ZABC=30o,BC=IOxtanftO=IoTJ.VAB/7CF.ZBCM=ZABC=30AE=-Afi=I(X).2,:AC=20.：.CE=80.：ZCED=90o斜坡CD的坡度为】：4.CE1.=一DE4,801-J=,ED4解价.ED=320.CD=8O2+32O2=8(17米谷：斜坡CDYJK之8。JT7米.(,U1本题考查解直向三角形的应用-坡度歧角何时.解答本题的关犍是明确题意,利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.ItA6-21如图是某区域的平面示意图，码头4在观窝站8的正东方向，码头t的北偏西60方向上有一小岛C.小岛C在观站"的北儡西15方向上，码头A到小岛C的距离Ac,为10海里.Q)填空：ZBAC=K,NC=1I(2)求观评站B到AC的距离8P(结果保窗根号).1答案】30,45：(2)(53-5)海里【所】【分析】I由题惫得：ZMC=90'-60'=30"ZAC=90'+15'=105门仔叼入IZC的度数:'O入X【答案】C【卿】【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的乖I1.平分线的交点，然后利用基本作图为各选项进行判断.【详解】一:知形外心为:边的垂直平分线的交点,由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线.从而可用直尺成功找到三角形外心.故选C【点睛】本胭考转J'作图-兼本作图：物练掌握基本作图（作条戏段等F已知般段：作个用等尸已知角：作已知嫉段的乖H平分线；作己划角的角平分成：过点作己知口线的垂襄）.也考在r三角形的外心.2 .已知n正要数，着一个三角形的三功长分别是n+2、n+8、3n,则滴足条件的n的值有（）A.4个B.S个C.6个D.7个【答案】D【丽】【分析】分n+8与3n最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式投，解不等式组后求出正第数解即可得答案.【详解】Vn+2<n+8.；.分n+8报大与Jn最大两种情况.+2+3>+8,n+8Ji1.攵时,+8-3n<n+2,11+8>3j解得：2<n4.又On为正整数.,.n=3.4；+2+"+8>3当3nAi大时，3"-"-8V”+23“+8解得：4<n<10.又.F为正整数，n=4.5.6.7.8.9.嫁上：n的值可以为3、4,5、6、？、8.9,共7种可能.故选D.(.Bft1.本超考看J'元次不等式组的应用，三角形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解因的关键.3 .如图，已知在四边形ABCD中，NBs=903ZiD平分NABC.AB=6,BC=9,8=4,则【呻】【分析】过D作DE1.AB交BA的延长线于E,根据角平分线的性质得到DE=CD=%根抵角形的面积公式即可得到结论.【详解】如图.过D作DE_1.AB交BA的延长线于E,.DE=CD4acj+bc-abj.ABC是H角三用形.且NACB=90。故选B.（.B本题主要考比/句股定理的逆定理,如果二所形的二边长a.b.c满足东+t=d.那么这个三角形就是宜角三角形.7.如图，在AI8C中，8E是乙SC的平分线.CE是外角NACW的平分线，附与CE相交于点&若NA=60%则NBE（是（）A.IS。B.30°C.45。D.60，【答案】BKMfr1.【分析】<'.EBM=IZABC.1（MAC1.根据："於的外用性质计算即可.22【详解】解:,：BE是NABC的T-分线.ZEBM=-ZABC.2VCE是外向NACM的平分线.ZECM=-ZACM.2则/BEC=/ECAI-/EBM=-x<ZACM-ZABO=-ZA=3022故选，B.(.i本也考查的是.角形的外角件质、角平分线的定义.掌握三角彬的个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.8.如图，在RtA8C中，ZC=9().八8=5BC=4.点P是边AC上一动点，过点P作汽2AB交BC,于点Q/)为线段PQ的中点，当8。平分NABC时，AP的长度为()【答案】B【呻】【分析】根楙勾股定理求出AC淑霸角平分线的定义、平行线的性质得到N。M)BRQ,得到Q8=Q>限他相似三比形的性质列出比例式,计算即可.【详解】械:.NC=90',B=5.BC=4,AC=VAB2-BC2=3：PQ/AB.：.NABD=NBDQ.乂NABE)=NQBD."QBD=NBDQ,/.QB=QD.,QP=2QB,.PQ/AB.&CPQ-CAB.CPCQPQICP4.QB2QBCACB1UT-T5,94解得.CP=,13.AP=CA-CP=-.13放送B.（.Bft本超考杳的是相似三角形的判定和性侦，掌握相似三角形的判定定理和性侦定理是解题的美键.9.如图.在ACK/中.ZE=80o,ZF=50o,AB/CF,AD/CE,ftBC,CD,则/A的度数是（）KffM1.B【呻】【分析】连接AC并£i1.-/MH1.平行线的性质得N3=N1./2=/4；量代换得ZiI)=/3+/4=/1+/2=匕FCE.先求出“CE即可：共H；ZA.【详解】解：连接AC并延长交EF于点M.：BCF.则NBPD=ZBPC+ZCPD=135H1.j1.同:VZCfiD=ZCDfi=45',NDBP=NDPB=T35'，义,：4PDB=4BDH'MiDMNIDB收2上I：确：如图.过也Q作QEICD£.设QE=OE=X,则QO=Ir,CQ=2QE=2x.：CE=3.i1.1.CE+DE=CDniX+&x=I.解得X=避二1,2QD=2x=口二.,BD=近ABQ=BD-DQ=戊-与厘=汽速.则。0:80=也?2：空子#1:2,故出说:,.ZCDP=75'ZCDQ=45'./.NPDQ=M.ZVZCPD=75.【答案】3CMff1.【分析】过A作AD垂直于BC在直角三角形ABD中,利用锐角三角函数定义求出AD的长.在直角三角形ACD中，利用锐角三角二数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可.【详解】解：过A作ADj.BC,在RfABD中,sinB=；,AB=3.，AD=-sin8=1.花心8中，tanC=2根扣.'：AC=D24C1.)2=112=3放答案为【点睛】此SS考农j'解n角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性侦是解本四的关犍.15.如图，一架长为6米的梯子A3斜靠在一盘直的墙Ao上，这时温得NABO=70。，如果梯子的底*8外移到。，Je梯子八下移到C,这时又测得NCQo=50°,那么AC的长度的为米.(sin70o0.94,sin50°0.77,cos7(F0.34,cos50o0.M)【答案】1.02【标】【分析】直接利用锐角三角函数关系得IBA0,8的长，进而行;h【详解】由题意可得:.ZA<>=70o.A=(>m>.-,v,AOAO.Sin700=0.94.AB6诃用：AO=5.640”).CX)=50°，I)C=6m,CO.sin500=-0.77.6M得：CO=4.62(w).11AC=5.64-4.62=1.()2(zn).答：AC的长出沟为1.02米.故许案为：1.02.【点睹】主要考出了解宜角三角形的应用,前海由缉，8的长是解题关键.16.把两个同样大小含45。角的三角尺按如图所示的方式敖J1.其中一个三角尺的锐角)1点与另一个三角尺的亶角点合于点八，且另外三付角II点瓜C,。在同一直线上.若.Vi=2MCD=_.【答案】6-2【呻】【分析】先利用等wt角三角形的性质求IBSC=或Ab=S，8F=A尸=&'，可利用勾股定理求出。尸，即可得出结论.【详解】如图,过点A作AFJ_5CI-F.（RtABC''./8=45°./T:一BC=WAB=20，BF=AF=/AB=Ji.2.两个同样大小的含45°角的:角/3.AD=BC=2y2<RMDF,根据勾股定J3I）F=JM-A产=6，.CD=F+DF-C=2+6-22=6-.故答案为：6-2此时主要考在J'勾股定理，竽脱口角：.角形的性侦，正商作出辅助戌是解本烟的关雄.17.如图.已知48C=Nt>C8,零加下列条件中的一个：/4=/。，AC=D8.AB=DC,其中不能确定A3C9ADC3的是（只填序号）.四边EnMAN是1形.如图.连接八。.则MN=AO.'UD1.CM,八。的伍及小，此时，ABCKJM=-B×AC=C×D.22：.AD=AB0.=y.MN的G小价为y：故答案为：y.【点睛】小胭考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面枳、垂找段地短等知识，解胸的关键是熟练票握堪本知识,本SS履于中考常考JE型.19 .如图，是矗立在育速公路水平地面上的交通警示牌，跄浦得到如下数XhAM=4米，AB=8米，ZMAD=45%ZMBC=M,J1.1.防牌的高CD为米（结果保留根号）.【答案】4行7KMfr1.【分析】分析:利用特殊三角函数值,解巴角二角形/M=M。再川正切函数,利用财8求CW.作差可求。C【详解】因为NMAf>=45。,AM=4,所以WD=4.因为AB=8,所以MA=I2,囚为/MBC-30：,所以CAf-ftan3Oa4W【点肪】本牌考查r解N角三角形的应用，熟练掌褥：角函数的相关定义以及变形是解跑的关械.20 .如图，在AABe中，NBAC=90,AB=AC=IoCm,点D为AABC内一点，NBAD=IS。，AD=Mm,连接BD,将AABD绕点*逆时针方向旋转.使AB与CS.点I)的对应点E,连接DE,DE交AC于点F,【答案】1.()-26【所】【分析】过点A作AH_1.DE,正足为H,由旋转的性顺可得AE=AD-6,NCAE-/BAMI5。，NDAE1.NBACK0。,再根据等眦HJfI"I后的件质可汨/HAE=45。，AHT0进而得NHAF=3O三,霍而求出AF长即可求得答案.【详解】过点A作AHIDE.垂足为H.VZBAC=900.AB=AC,将AABD绕点A逆时豺方向施转,但AB与AC增合点D的对附点E.AE=AD=6./CAE=/BAD=I5。，NDAE=/BAC=Wr,J.DE=ad'+AE2=62/BAE=；NDAE=45。，H=-DE=32/HAF=/HAE-NCAE=30%”_=卑=2瓜AF=cos"Ap-于2/.CE=AC-AF=|0-26故答案为：10-2#XBZ（,W木衲考查了板轨的性侦，等腰真角三角形的性质，勾股定理.豺H角V角形等知识,正确添加辅助战构建宜曲三用形、灵活运用相关知识是解题的关键.21.如图所示的网格是正方形网格，9APAB+ZPBA=°（点A,B,P是网格线交点）.【答案】45.【所】【分析】延长AP交格点于D,连接BD,根据勾股定理得到PD1.=BI>j=1.+25.PB2=I2+3O,求得PD1.DB-PBj于必得到/DDB）。，极现：.角形外角的性而即可得到结论.【详解】解：延长AP交格点于D连接BD.DB则PD2=BD2=1+2-=5.PB1.=i2+32=10,pi>2+dbi=pbi.ZPDB=9011.即APBD为等腰史角三角形,NDPB=NPAB+NPBA=45°,故答案为：45.【点瞄】本题考查了勾股定理的逆定理.勾股定理,三角形的外角的性质.等腹宜角三角形的判定和性质,正确的9cm【答案】5EAMfr1.【分析】根据跑意直接利用勾股定理得出杯f内的筷f长度.进而得出答案.【详解】解：由题就可得：杯了呐的快广长度为：722+92=5.则木供迷在杯子外面的部分至少有：2OT5=5(cm>.故答案为5.【点脑】此时在耍考行了勾股定理的应用.正确得出杯了呐筷子的长是解决何阳的关犍.24.已知NA"H60:"C是NA"/，的平分线，点。为以上一点，过。作直线/%!.4,垂足为点心且亶线交。/，于点入如图所示.若。62,ND/-.【答案】4.(AMr1.【分析】过点D作DM_1.OB,正足为M,则DM=DE=2,在RSOEF中,利用三知形内角和定理可求出NDFM=30",在RsDMF中，由汕角所对的直角边等于斜边的华可求mDF的长,此题得解.【详解】过点D作DM1.oB.垂足为M,如图所示.（二）拓展应用如图3,在/5/（；中，A4=8,ZAfi1C1.=60,Zfi1.AC1.=75,是用弓上的任怠点，连接，/将AP统点按*时针方向旋转75，得到线段Q,连按修Q.求线段4Q长度的小值.KM1.（一）<1）结论：ZNAB=ZMACBN=MC.理由见解析：（2）如图2中，中结论化>>".理由开解机：（.）Qq的心小仅为4JJ-40【丽】【分析】<->3结论：Z¼=XMAC-BN=MC.根据SASi1.''.NAB名MC依臼.中结论仍然成立.证明方法类似.）如图3中.在AG上豉取AN=A。，连接PN.（1NH1B1C1FH,件AM±B1C1JM卉山全等：角心的性而证明£。=PN.推H1.t尸N的值最小时,Q4的优最小.求出HN的侪即可解决网题.【详解】<>（1.>½:ZNB=ZMAC,BN=MC.理由：如图1中，图1,：ZMAN=ZCAb.：.乙NAB+BAM=ZBAM+ZMAC.：.NNAB=NMAC.'：B=AC-AN=AM./W4B。AMC(SAS1：.BN=CM."1PN的值最小时.QB1的位也小.4阳1.,.VZA1B1M=60,A4=8,"AtM=4sin6()=4.,：ZMAiCt=ZB1.AiC1.-ZB1A1M=75-30'=45,A1.1.C1.=46.；Nq=Ae1.AN=A娓-8.6RNHC,VZC1=45./V=4-42.根挺:乖殴段坡短可知,当也产合时.PN的值最小,Qq的蚊小值为4J-40【点腌】本跑属于几何变换综合题.考查全等二角形的判定和性质,等腹三角形的性质,解直向：角形.承线段最短等知识，解题的关涣是学会添加常用师助线,构造全等三角形解决问题.学会利用垂线段朵W琳决以值何效,属于中考压辕题.26.在AABC中，已知/)是BC边的中点，G是AABC的心.过G点的直线分别交八8、AC于点E、F.(1)如图I,当/TF3C时，求证：丝+g=hAEAF(2)如图2,当/孑和3C不平行，且点£、尸分别在线段AB、AC上时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明I如果不成立，请说明理由.(3)如图3,当点E在AB的延长线上Je点F在八。的延长线上时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请蛤出证明，如果不成立，靖说明理由.图1Vti)图3【答案】t1.）证明见解析：（2）（I）中结论成立,理由见解析：（3）<1）中结论不成立.理由见解析.（*4r1.【分析】BEDGCFDG1T1.根川G心T宓r=-山EFBC可知一=CAG2AEAG2AFG2BECF+=+AEAF22RFBM过点A作曲MC文林的延FE、CB.>AfM,-=-.CFCMBECFBMCMBM+CM,，八-=-TT1故瞿求武子+-=-77+-777=77；BM+CM=BM+CD+DMDAFANAEAFANANANC(fJ'1.),.UIiBD=CD-故勺8W+GW=8W+BO+Dw=DM+DM=2DM所以原大BECF2DM,.DMIX；IBECF,+=.乂4=-.价一+=2×-=1.故结论成七:AEAFANANAG2AEAF23）由G.&为巾心可知,当户点与C点电合时,E为48中点,11E=AE故当点尸在AC的延长线卜.RERKCFBECF时BE>AE->iW!-+->I,：；J理：£八：ABi'J延长线'.+>1.故结论AEAEAFAEAF不成立.【详解】<!)i-"JI：G是AAC市心DG1/.=-.AG2XvEF/BC.BEDG1CFDGI.=,=/：.4(；2Ai-.(；2,BECFIItAEAF22<2)(I)中结论成立，理由如卜：如图,过点A作AN/IiC交EF的廷长线I''NFECB的延长线相交f点M.在AABP和ADCP中.B1.i=CPNAPB=NDPC.NB=NCABPIXT(SAS),DCAB.AB=200米.CD=200米，故答案为：200.<2)PC与PE的数曜关系和位置关系分别是PC=PE,PC1.PE.理由如下：如解图I,延长EP交BC于F,IHJ(I)埋.可知:4FBP9AEDP(SAS)f.PF=PE.BF=DE.又YAC=BC.AE=DE,FC=EC.又YNACB=90°,.,.EK是等腰直角三角形，VEP=FP.PC=PE.PC±PE.PC与PE的救耻关系和位置关系分别是PC=PE.PCJ.PE,理由如卜：如解图2,作BFDE,交EP廷长战于点F,连接CE、CF.同理，可知AFBPeZiEDP(SAS).BF=DE.PE=PF=Jm.VDE=AE,BF=AE.：当=90。时.ZEAC=QO0.EDAC.EAzZBCVFBZ/AC.ZFBC=90.ZCBF=ZCAE.在AFBC和AEAC中.BF=AENCBE=NCAE.BC=ACFBC5EAC(SAS),CF=CE.ZFCB=ZECa.VZACB=90n.二FCE=9tT,.AFCE是等腋Hft1.三角形，VEP=FP.CPEP.CP=EP="EF.2如裤图3.ft：BFZ/DE.交EP延氏战于点F,连接CE、CF,过E点作EH1.Ae交CA延长税于H点,当=15tT1时,由旋转嘏转可知，/CAE=15(%DE与BC所成夹角的饯珀为30°,ZFBC=ZEAC=a=150°同可行AFBPg2XEDP(SAS).同FCE是等嘤巨角-角形，CPEP.CP=EP=立CE.2在RIAAHE中，ZEAH=30°.AE=DE=I.he=1.h-2.22又YAC=AB=3.CH=3+立.2EC2=CH2+HE2=10+33/.pc-Iec2=2IO+332.1.b,1本也考查几何变换综介起.号ftr旋转的性而、全等：角形的判定和性质等腰过角三角形件侦.勾股定押和WHffi三角形性质等知识，解题的关健是正确寻找全等JO形解决问题，属于压轴质28.在AAHC中.ZAfiC=90°,坐=，M是RC上一点,连接.4M>C(D如图1,若=1,N是AB延长线上一点，CN与/WU,求证，HM=BN图1(2)过点/，作BPJ.AM,P为塞足,连接。'并延长交AB于点。.如图2,Wz1=I,求证:CPBMPQBQ02如图3,若M是8。的中点，直接写出tan8PQ的值(用含”的式子表示)(2时过点C作CDHBP交AB的延长线T-.D,：BP1.AM.AM,iCD,由.HBM=BD-CDBP,CPDBCPBM=,即=PQIiQPQBQ过点C作CD'/BP交AB的延长线于4,D.延长AM交CD于启H.Zpcii=ZBPQ.,BP±AM-AAW-1.CD./.ZBPM=ZCHM=Wn.Zvzbmp-ZCMH.bm-cm.BPMCHM.BP=CH.PM=HM.PH=2PM.vzpmb=zbma,zbm=zbpm=9oo.BM<BPM.PMBM'PBBPfJ6：R(PCH*'.IanZPCH=.CHPH2PM28M二IanNBPQ=CHPBABZVBC=2BM.=n.BCBC1AtanZBPQ=-=-.ZA=600.AB=BC=CA=S.VPB=4.PB,-PB-P-4.VZA=60o,APB，是等边三角形，AB,=AP=4t故答案为4：(2)如图2设直线/交BC干点E.蛙接BB咬PE于O. ；/£AC,NBPE=NA二60。/BEP=NCT. ZIsPEB是等边三角形， PB=5B.Ir关于PE对称.JBBUPE.BB,=2OB.AOB=PBsinM)0=.BB,=5.枚答案为(3)如图3站论:面积不变.过点B作BEAC于E.则仃BE-ABsinWF-8×=43.Smk,=CBE=×8×4>3=1(、小VB.B'关于直线/对称.BB,1.ft；出线1.1.AC.ACZ'BB,.,.Scb-Sbc16y/；4）如图4,当BIMAC时,AAC1.r的面枳最大,设直线PB次AC于E.ft：R1.APE'P.Pa=2.NPAE=60°.PE=PAsin6<r=3.BTBP+PE-6J.S."1.=x(6+3)×X=24+4.(AUft1.本即是几何变换综合咫，考步了等边一用形的判定与性顺.轴对称变校,解直知:用形，平行线的判定与性筋等知识.理解题卷.特练学樨和灵活运用相关知识是解题的关键.30.如留，某数学兴小Ia为窝量一事古树BH和教学梭CG的高，先在A处用育1.5米的角仪M,得古期JW1.H的仰角NHFE为45°,此时教学楼JI*(；恰好在视线IH上，再向箫走10米到达B处，又，得教学楼G的仰角NG为60。，点A、B、C=点在同一水平软上.(D求古材BH的高；(2)求教学楼CG的点.参考数据：2=1.4.3=1.7)'1)古柯BH的面为11.5X：(2)教学楼CG的而约为25米.【所】【分析】D1.；iZHFE=45o知HE=EF=I0.据此得HH=BE+HE=I.5+10=11.5：<2)设。E=X米.期OG=W米，eGF7>=45°知Gg。广=W+OE据此用J1.r=IO+x，解之求价X的值代入CG=DG+DC=3+1.5iW"Jfj.【详解】瀚：(1)代2AEFH中.ZE=90%NHFE=45。.HE=EF=M.-.H=BE+HE=I.5+10=11.5.二古树的面为115米：<2)<.RtEDG''.NGEgW°.DG=DEtanfI0。=卡DE.设。E=X米，WJDG=31i在RfAGFD中,ZGDF=90o,ZGFD=45o.GD=DF=EF+DE.y3x=0+X-m：.r=53+5.CG=DG+DC=6x+1.5=瓜55+5)+1.5=16.5+5325,答：教学楼CG的曲妁为25米.W本题考查解直角三角形的应用-仰角的角,翘.解题的美犍是学会添加常用辅助线.构造直角：角形解决问题，属于中考常考愿型.31.如图.AABC中.NC=90,C=4,BC=S.(1)用亶尺和加作AB的基宣平分i1.1.(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)若(1)中所作的翁直平分线交8C于点D,求8。的长.【答案】(1)详见解析：(2)80=5.【呻】【分析】(1)分别以AB>1J!/.人上!48为位图瓠，两弧交J1.M.N.作立殴MV即可.22aAD=B