专题4.2 数列的概念（重难点题型检测）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.2数列的概念（重难点题型检测）一.选IMK（共8小愚，满分24分，每小J1.3分）1. （3分）（2022黑龙江高二阶段练习已知数列a71.的通项公式为g=出手二，nWN',则该数列的前4项依次为（）A.I.0.I.0B.0.I.0.iC.0.2.0.2D.2.0.2.0【解题思路】根据数列1.1.的通项公式求得正确答窠.【解答过程】依遨息，=早=1,。2=?=0，%=手=1,4=子=0故选：A.2. （3分）（2022西庆市商二阶段练习若数列的前6项为：1.-三,1,一:,-.则数列/的通项为（）【解思路】观察传项的特点，分别蹄定项的符号以及分子分母上的数的规律,即可找出数列的通项公式.【解答过程】通过观察这一列数，发现分子等于各白的序号散，且奇数位次为正，偶数位置为他，故用（-1）H表示各项的正负：而分母是以I为首项，2为公差的等基数列.故第"项的分母为2n-1,所以数列%1的通项可为a”=（-1.）"+故选：D.3. （3分）S022甘南庆阳高二期末（文）大衍数列来源于乾坤讲中对易传“大宿之数五十”的推论,主要用于解择中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中.曾经经历过的两仪数IS总和,是中华传统文化中除微的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8.12.18.24.32.40.50,则此数列的第15项是（）A.400B.IIOC.112D.113【蚱也!思路】由已知数列可1.n为粥数时，11=y,n为奇数时，=宁,然后代入15求解即可.【解答过程】观察此数列可知,当n为照数时，f1.=.当W为奇数时.。”=?.所以，as=1.=112,所以C正确,故选：C.4. （3分）（2022河北高三期中）已知数列4满足：%=1且r+7:1.=O（neN）,则/018=（）<*<z11A.2B.C.0D.1【解题思路】由曲=1计算出数列前4项,得到数列为屣期数列，从而得到。2。18,【解答过程】因为由=1,n4,1=-.neN,1+an所以2=T=一；（13=-2.«4=-=1.1 J+12i1*1-1.*a1I-Z故数列a1.1.为塌期是3的数列，所以。2018=a3×672+2=a2=j故选：B.5. （3分（2022-全叫高W专超练习）“杨辉三井广是中国古代电要的数学成就.它比西方的“帕斯卡.三角形”早了300多年,如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵.记即为图中虚线上的数1.3.6.10.构成的数列SJ的第n项,则aI。的（ft为<>II2I13 3114 641I5IOIO5IA.45B.55C.66D.67解题思路】根据杨罅三角可得数列的递推公式,结合累加法可得数列的通项公式1.janb【睇卷过程】由己知可得数列的递推公式为%-a”-=*"N2HnNHa1=1.故册-Qn-=%an-1.-an-2=n-I,an-2-an-3=n-2.a2-a1=2<等大左右两边分别和加褥/-a1=n+(n-n+(n-2)+3+2=(n+2)(n-1.)_M+it-Z(11>2),n1÷n-2nir÷nz、+、01.+J-=<112）'«io=SS.故选:B.6.（3分）（2022全国高三5趟练习）已如数列%1.,的=nFJIT.则下列说法正确的足（）A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是a?C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是2【蚱即思路】令t=n-1.N0,则n=C+1.,y=fijt:=11-.然后利用函数的知识可得答案./1JJIOv【好答过程】令r=-10Kfn=t+当t=O时.y=O"北>0时.y=V-,由双勾函数的知识UJ得n在（0,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减所以当t=2即n=3时.y取得最大（ft.所以此数列的最大项是。3,最小项为=O故选：B.7.（3分）（2022,新班喀什,一模（三）>对于数列4,若存在正整数HA2）,使得c<jf-1,ak<akM,则称t是数列梃”的“谷值”,是数列/的“谷值点”.在数列41.中，若Qn=n+;-8,则数列梃”的“谷值点”为（）【解腮思路】先求出=2,a2=：,«3=2.Q4=7»<*$=;Of,=z<h=；,a（f=Z45278再得到n7,nN,n+2-8>0,结合数列的单调性以及谷侑点的定义即Ur得求解.n【解答过程】因为对=卜+：-8卜所以a】=2a2=?=2,4=ps=706="a7=08=三245*78当n7,nN.n+-8>0.所以=-8=n+?-8,111.111.H因为函数y=x+;-8在7,+8）上单调递增.所以n7时.数列册=n+：-8为总调递增数列，所以如<f1.V<?<Ur所以数列1$的“谷值点”为2.7.故选：C.8.<3分)(2022山西省高三阶段练习)在数列七1中，对任意的nW都有Qn>0,R0n+12-n+1=an则下列结论正确的是() .对于任意的n23.Hr,>2： .对于任意%>0数列册不可能为常数列： .若0<%<2,则数列an为递增数列: .若%>2,则当n22,时，2<an<aiA.a>2XS)B.(2XDC.(3XS)D.(D【解四思路】对数列域推关系变形得到%-2=an+12-a»i-2=(an+1-2)(an+1+1),得到册-2%+1-2问号，当0<%<2时，0<an<2,错误；当%=2时,推导出此时atJ为常数列，错误：作差法结合0</<2时,0<ann<2,求出数列斯为递增数列，正确：Ihan-2与a“.-2问号得到当a>2.行af1.>2,结合作差法褥到azJ为递减数列,正确.【解答过程】因为时“z-an¼=an>所以-2=aj1.+2a11+-2=(an¼i-2)(an+1+1).因为任总的nN"都有an>0,所以a1.1.r+1>0.所以%-2与%+j-2同号，当0<如<2，则nN3时，都有O<册<2,错i5i；当a1=2时，az-2=0,所以的=2,同理得：an=2(n>3),此时a1.1.为常数列，错误：j1.a11+-On=-«n+i2+2a11+=-(a11+-D2+1.由A选项知：若OVaI<2,W10<an*1<2.所以On“-%=-on+2+2an+1="(f1.n+1-I)2+1>-1+1=0,则数列StJ为递增数列正确：由a1.t-2与O1.I“-2同号,a1.>2.则nN2时,都有at,>2.I1.此时时+-a1.1.=-a1.t,z+2a1.t+1=-(a,t+1-I)2+1<-1+1=0.所以数列at1.为迪M数列，综上：若%>2.则当n2月h2<an<a1.正确.故选：C.二.多选J"(共4小墨，谪分16分，每小JB4分)9.(4分(2022福建漳州而：期中)下列有关数列的说法正确的是()A.数列-2021,0.4与数列4.0,一2021是同一个数列B.数列%的通项公式为ft=n(n+1).则110是该数列的第10项C.在数列1.,5,2,5,中.第8个数是2企D.数列359.1733“.的通项公式为af1.=2n+1【解时思路】根抠数列的定义数列处根枇联序排列的一列数可知选项A错误，使Mn+I)=IIOJ1.I】可得出项数,判断选项B的正误.根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误.根据数列的观弹可得到通项公式判标选项D的正谈.【解答过程】对于选项A,数列-2021.0.4与4.0.-2021中数字的排列顺序不同不是同个数列.所以选项A不正确；对于选项B,令a”=n2+n=110,解得n=IOIijyi=-I1.(舍去)，所以选项B正确：劝于选项C.根号里面的数是公差为I的等差数列.第8个数为屈,即2,所以选项C正确;对于选项D,由数列3,591733,的前5项可知通项公式为“=2n+1,所以选项D正确.故选:BCD.10.4分(202%山东省高三阶段练习)下列数列Sj是雎冏递增数列的有(>.a=n23n+1B.an=(g)C.%=n+：D%=n含【解也思路】利用<.检证各选项即可.【解答过程】因为nN选项A：dn>i-an=(n+I)2-3(n+1.)÷1.-n2+3n-1.=2n-20,所以g-a】=0ax>=M-3rt+iii5iB：n+1-an=-(i)11+'+)11=()11+1>0,所以%=&)”是电调递增数列：透项C：%.】-%=n+1.+Wn，=&#果),所以&-%=0,a”="+?不是总调道增数列；11÷1.1111选项D：a»i-册=In筌-In芯=In(筌X)=1.n(1.+篇)>0,所以%=In於是单调递增数列：故选：BD.II.(4分(2022江苏盐城商三期中)己知Sn是a71.的前n4和©=2,an=1-,n2,nNa*-则下列选项错误的是()A.a2>2i=2B.S202i=1012C.a3a3B41a3n>2=1D%是以3为周期的周期数列【解虺思路】推导出心.3=%0*、),利用数列的周期性可判断各选项的>£误.【解答过程】因为4=2.an=1(11>2).W1Ja2=1=1=1.a4=1-=2=a,.On-1Qi20】以此类推可知.对任意的neN.a,1.43=anD选项正确：«2021=«3x673+2=«2=7A选项错误：S2021=673(a1+a2+a3)+a1.+a2=673X；+2+：=1012.B选项正确：«3n«3n«1.,O3h42=®3«2«1=-1.C选项情1.故选：AC.12.(4分)(2022,福建龙岩高二期中)对于数列a,定义：&=%+1.oIWN)称数列4是%的%“倒和数列下列关于“倒和数列”描述正确的有(>A.若数列aj是单调通增数列，则数列瓦一定是单调递增数列B.若+I=bn.ana11+1,则数列/是同期数列C.=15-2n,则其“例和数列”有Ai大值D,若4=1-G)”则其一倒和数列”有最小值【解密出路】对A：利刖函数/(x)=X+2单调性和举反例判断：对B：根据虺意整理可行=上，进而XaM分析判断：对C：分类讨论册的符号，并结合数列单调性分析判断；对D：根据数列单调性分析判断.【好答过程】对A：/(X)=X+：在(-8,T)<1.,+8)上单调递增.在(-1,0),(0,1)上用调出战,即/(x)=X+;在整个定义域内不单调，故无法判断数列一定是单调递增数列，MJ1.n=-1,则%=-(n+2).可知数列atJ是第圜递增数列，则数列仍”是单网递设数列，A错误:HX11/*tB；.bn+1.=b,1.则31.¼1=（ae+±）一（an+J=U腮产U=0,又Yanan.，即<+-%0,则。/必一1=0,即<+=9aM,a1142=-=÷=a11.则数列%是以周期为2的周期数列，B正确；n*'对C：Van=15-2n,则数列%为递减数列,即af-0<0,令a1.1.=15-2n<0,则n>热二当1147时，则OnNa7=1>0,¼1>0：当nN8时，K1.a11a8=-KO.ftn<0.I1.1.B可得-%=（例）./必若n46时，Wan<-1an>0,an4,1（in-1>0.则6+-4.<。，即6+1<及，b>b2>.>>by,故其“倒和数列”有被大色片.C正确：对D：Van=1.-.则数列a1.1.）为递增数列，可况”一5>0.0<：=%a”V1.*at+an>O,n+an-1V。，则¼+¼t<0即b+1<,故数列bn为递减数则,无最小值,D幡误.故选：BC.三.填空Ji（共4小题，潴分16分，每小J1.4分）13. (4分)(2022河南安阳高：期中己知数列a1.t的前几项闿，录，则a11的一个通项公式为a1.1.=3n-1.【解的思路】观察所给数列的规律.利用不完全归纳法求耕即可.1&yV*UF11J1mV?252-323×2112*3x3【解答日程】s=1111?=F7T-；=T711=T7''所以可以猜M=与第=g故答案为：7-14. (4分(2022甘南省高二期中)已知数列att中,a1=1.,an+1=-,WJa2022=-2.a11÷*【解即思路】由%=1求出散=-5a3=-2.«4=1.确定数列SJ为新环数列，地小正同期为3,从而求出<»2022=%=-2.【解答过程】因为m=1,所以<h=-六=-5的=-六=-7=-2,11«4=1«'1.*1.-Z÷1.所以数列SIJ为循环数列，最小正冏期为3,a2O22=a74x3=a3-2.故答案为：215. (4分)(2022.北京.高三期中)已知正项数列斯满足(a.+1.)(a1.t41-1)=1.(nN*),则下列说法正确的有.若=vz2.则VnN",an-v%若心中2,则数列SJ中有无穷多项大于企：存在%>0,使数列a1.1.是单网递增数列：存在实数M91)，使I4.?-1.JMIaI1.1.a,.【解频思路】化简得出a=r=±+1.根据递推数列的性质.逐个选项进行计。即可求耨."ft工【解答过程】化简得，an+=±+1.对十，«i=V2.H1Ia2=V1.+1=因此，Qi=>f2=a2=a-3=an<故IE确：Xi于，当OVa1.V1.K1a2=1+-!->1+2-1=2.a3=1.÷-<1.+2-1.=2,可知，1.÷<1.j1÷j,当n为偶数时，a1.t>:当%>时,WJa2=I+<1+2-1=2,a3=1+>1+2-1=2,可知当n为奇数时,1 "1.*a1.°1.+aian<2>故小1.则数列1%1中有无穷多项大于故正确：对于，由册”=+1fi,a11÷2=匕作整可A1.On*a*+1C_%一0n1.政T1.H痴!_1%以一。»，。n+2n+,<*«>>',''(t+n*)(t*.)(an-)由(1.+%+)a+an)>O,可得,(an÷2-<÷)(an-an+)>01San+2><*+*K1.a11+1<an.若att.2<an+则%+1>/，故数列SJ是不具有单谒性，故错误：对于，an+1=-77+I.当时=at1.1时，4ia,1.=-7-+I.此时，ar,=显然4t+2-4t+M1.at1.+1一册|恒成立:?1.anQft.，由上知,an¥2-n÷1.(g.)CM了可得!-''(t*artu)(1.1.1.)n-<'又凡为正项数列，可得，=77<即劭WDTm故止确:故答案为：.16. （4分）（2022全国而三专时练习）给出下列命区:已知数列j,rt=-（neW）,则占地这个数列的第10项,且最大项为第I项：1111+4jIzo数列I-5,2,-I1.的一个通项公式是a”=C-1.）n+1311-1.:已知数列an,ankn-S,且t=1.1.Ma17三29：已知即“=M+3,则数列时为递增数列.其中正确命题的个数为【解趣思路】令M=7以及数列伺的单调性，可划定正硫i：结合归纳法，可为定正确：I1.1.a8=11,求得A=2,求得%=2n-5,可判定正确：由%S-On=3>0,可判定正确.【解答过程】对于中,令嬴3=j,解得n=10.H.数列时为递M数列，所以Ai大项为第1项，所以正确；对于中.数列、&.V而.C1.的一个逋项公式为a”=3n-1.所以原数列的一个通项公式为a1.1.=（-1）"*1收E,所以正确；对于中,由On=im-5J1.<=1.1.,即8k-5=-11,解如k=2.所以a1,=2n-5.所以%7=29.所以正确：对于中由%=an+3,可得%.1-%=3>0,即厮“>.所以数列为递增数列,所以正确.故答案为：4.四.解答JI（共6小题，沟分44分,17. （6分）（2022山西省而：阶段练习写出下列数列的一个通项公式.(1)-,-,'71X22X3'3X44XS吟，?41-1.S1-IT'【解即思路】【解答过程】（1）2）根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题比的一个通项公式.（I）解：由-,-.可知奇数及为负数，偶数项为正数,分子均为1,且分母为序号与其后个数之枳,故该数列的通项公式可以为（-1.）nK（答案不唯一）.n（n+1.）<2）解，田芋.1.宇,1.可得该数列的一个通项公式熄哈（答案不唯-.n*i18. （6分）（2022辽宁岛二期木）数列%的通项公式是“=n2-7n+6.（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项,它是第几项？【解跑思路】（1）利用数列art）的通项公式能求出这个数列的第4项：<2）令与=nz-7n+6=15,求出方旌的解.即可判斯.【解答过程】解:数列6的通项公式是n=M-7n+6.这个数列的第4项是:%=M-7*4+6=-6.（2）解：an=n2-7n+6=150,UPn2-7n-144=0.解得H=16或n=-9（舍）.二ISO是这个数列的项.是笫16项.19. （8分）（2022全国.高三专跑练习）已知数列凡中,a1.=2.a2=.nn+2=1.（neN,）.< 1）求，f1.的值:< 2）求aj的前2021项和Swn.【解物思路】（I）根据递推公式,利用代入法进行求解即可：< 2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的底期性进行求解即可.【解答过程】（!）当n=1.时，a,a3=1,所以a3=5当n=3时,a3as=1，所以a§=2；< 2）当几=2时.a2a4=1,所以内=2：由an2=1.知：%,2x=1,所以%=/“故数列%是以4为周期的周期数列，即=a4=2.a4n=a1=2.a4n42=a2=.a4n3=a3=所以$2021=505（a1÷a2+a3+a4）÷<>2021=505（%+2÷03+f1.4）+。1=2527.2（）.（8分）（2022辽宁丹东高三期中）数列UJ的前n项和为配.已知=%S11="斯-小（”一）< 1）设瓦=平证明：当nN2时，-b1.t=m< 2）求%的通项公式.【解题思路】（1）利用%=S11-SnT,“2:2及条件可科等SIt-三SnT=n,从而可得结果:2）利胪系加法“可用b1.t=1iSn=与可得Sn=M利用条件即求.【情答过程】(1)由Stt=n2an-n2(,n-1),可知n>2时，品=n2(511-5n.1.)-n2(n-1).OK=sn-1.÷又儿=所以bt,-bn=咛Sn-1.=2r(V1+三)-三Sm="->+n-s"->(2)因为51=1=p所以比=251=1.,n2时，bt=Sn-ftn-1)+(11-bn-2)+(坛-bi)+瓦=n+(n-1)+-+2+1=n','*'t-In=1时,当！=瓦.于是%=当”所以WSrt=竽2.从而S”=?Ih=Man-MO1.-1）可用%=竽.21. （8分）（2022上海徐汇我一期末已知数列1.1.的前“项和为SI1.=手.（1）求数列<的通项公式:（2）>Jn=（）n-1n.试问：数列独”）是否将最大项？若有,指出第几项i大：若没有，请说明理由.【解也思路】（I）利用数列SJ的前“项和为SJJ通项即的关系即可求解：<2）比较。与I的大小关系，利用数列他Q的单调性即可求解.%1【解答过程】（1）解：当n22时,1,=Srt-SnT=手-i=n+1.所以卬=n÷1.(n2).又当n=1时，1=S1=2也满足上式，所以Qn=n+1.(nN*):(2)解：由(I)知¼,=(5)"-O1.+1),-1.11>2Bt.br,.t=11()n?所以含=今察v1.>Oai-IIvn令智=1,得=9,IOn当nV9时.誓2>1.即怎>加_：IOn当r,=9时.鬻=1,BIJftn=bn.1.;当n>9时,亲12<1即¼,<b1.t:所以数列SJ先增后减,有最大项且及大项为第8.9项.22. <8分)(2022全国询二专题练习)已知数列4,若存在8R.使得%-B)为递减数列,则优t称射出型数列(I)是否存在8CR使出有穷数列1,5,2为B型数列？若是，写出8的一个伯：否则，说明埋由：(2)已知2022项的数列(中,Un=(-1.)n(2022-n)(ne*,1n2022).求使得u,J为B型数列的实数8的取值范阚：(3)已知存在睢一的BeR,使得无分数列%是8型数列.证明：存在递增的无穷正整数列叫<n2<<nfc<，使得册“_为递增数列，n为递减数列.【解题思路】(1)取8=2,可得答案I<2)当n=2k(kWN1.k1010>时，曲|9£一用>u2k÷-8In(u2k-B)2>(u2fc+-B)2,解寿B同理，当n=2k-1.时得8>T从而得到8的范围：<3)首先证明：对任意可“，存在尸>M使得%>B：存在q>N,使褥/<艮用反证法证明.可同理得到答案：根擀、可知.存在n>1.JtfJ5<B.0inz>rJf!)rh>8.中的证明知如此递IU选择的<n2<<nt<使褥*小J递增H%J递减即为所求.【解答过程】(1)足.1:IRB=2,Wi1.1.-2,-2.2-2为递减数列.(8>第均可.(2)当n=2A(kCNJ1.k1010)时,u2-8>u2*m-=»(u2fc-B)2>(u2*n-B)2.耨得B<黑北驾X:驾=?.¾=2-1.(fceV.1.k1011)时,即T叫>Iz-Bg(U2fc-1-8)2>(U21.c-B)1.解得B>-i.而此时(“确为8型数列，fie(-i,J为所求.(3)苜先证明：对任意NeAT.存在p>N,使得<>8：存在q>N.使得%VB.用反证法证明，可同理得.若存在mWN',使得”Ip>m时，均为即<8,则由8型数列定义，0m<1<m+2<设d=gmfn1.1.-81-Ian+-8,由题意.d>0.当p>m时，ap-(8+d)>p+-(8+d),而当ISnSm时，3d<n-an+1-.故n-(B+d)an-B-d>an-B+d>0n+1-(ff+d),因此，%也是(8+d)型数列.与8的唯一性矛盾，证毕.根据、可如存在公>1使得%<B.存在使得%>B.由此，<8<Ii，则"匕”2«+1>zr使得Zfrfkn2*+2>n2*4i>使得%能“>8.由的证明知，如此递归选择的七<小<<心<，使得时*J递增且SMJ递M，即为所求.