专题4.3 等差数列的概念（重难点题型精讲）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.3等差数列的概念(重难点题型精讲)；.*差致列的IK念(I)等差数列的概含一般地.如果一个数列从笫2项起,称一项与它的前一项的差都等于同一个常数.那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.(2)对等差数列概念的理情CiZ从笫2项起”是因为首项没有“前一项由概念可知,如果4-“,一(22Hf1.等于一个常It彩由0)就是等并数列.如果一个数列，不是从第2项起,而是从第3项或以后起,每一项与它的前一项的您地同一常数.那么这个数列不是等非数列.若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数,但这些常数不掷相等，那么这个数列不是等差数列.对于公差乩需要强询的是它是从第2项起,每一项与其前一项的差.不要把被犍数与战数弄颜倒.2 .等差中项由三个数”.A4组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时A叫做«与h的等差中项,则有2A=“+b.反之，?2A=<+b,则“U，三个数.成等差数列.3 .等差数列的通项公式(I)等差数列的通项公式等差数列的通项公式为O.=H”-M,其中a为首项，d为公差.(2)等差数列通项公式的变形已知等差数列”“中的任意两J(4,“(/mm.V,mn),则(,一-az»m'a,an+(n-m)d.4 .等JMfc列与一次函数的关系由等差数列的通项公式.=*"-1.W，可得。"=册+(。1-办当rf=O时,",=为常数列，当出。时，”“=他+“ZM是关于"的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列4的图象是直线产公+m,“）上一一群均匀分布的孤立的点.5 .等差数刑的单A性由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等基数列的唯调性受公差d影响.当旦）时，数列为递增数列，如图所示：当乐：0时,数列为递减数列,如图所示：当,/=0时，数列为常数列，如图所示.因此.无论公差为何（ft.等差数列都不会是摆动数列.6 .等差数列的性质设0/为等差数列,公差为d，则若m+ir=p（/（nt.it.p.（GjV*）.则a.+。”=。,+%.（2）数列以b0力是常数）是公差为九/的等差数列.（3）若（瓦是公差为差的等差数列，（a与瓦的项数一致,则数列（Za,+以瓦（4,念为常数）是公差为Arf+八"的等差数列.下标成等差数列且公差为m的项位,a+,（Q"GV祖成公差为md的等差数列，5）在等差数列（“）中.若。“=，”.an,=n,mn,则有%+.=0.纣蝶一见£（«91等差数列的基本二的求解】【方法点拨】根据所给条件，求解答!1数列的基本景，即可得【例1】（2022河南商丘高三阶段练习（文）已知a,J为等差数列,若o=100,O100=30.则c的公差为（）A.1B.IC.-1D-2【解时思路】根据等堂数列时应的点都在条11线上这个性质求公差.【解答过程】设%）的公差为乩则d=署署=巧卢=-1.故选：C.【变式I-I(2O22河南安阳高二期中己知等差数列j中，a3+as=18,6=13,则%的公差为()A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用等万数列的通项公式得到关于>d的方程组,从而求得1%的公差.【解答过程】因为j是等差数列，'40*+2d+°J+4rf=18SSiitifaI=3M%+Sd=13,wf1.Id=2'所以SJ的公差为2.故选：B.【变式1-2(2022浙江台州模拟预测)已知数列SJ满足：Vm.neN*,m+11=am+an.fa2022=2022,WJa1=()A.1B.2C.3D.2022【解题思路】令m=b则%+=1.+an,再根据等差数列的定义即可得到%+t-册=a1.=d,即可求出答案.【解答过程】令m=1.,则%+1=%+册，故g+1-a1.,=arV为帝数故数列(/是等基数列.ann-an=ai=d,a2022=5+(2022-1.)d=2022a1.=2022.a1.=1.故选：A.【变式1-3】2022甘南高二阶段练习)首项为-24的等差数列，从笫IO项开始为正数，则公差d的取值范围是().A.d>B.d<3C.d<3D.Rd3【蚱胆思路】根抵给定条件.利用等基数列通顶公式列式求解作答.【解答过程】依题意,令该等差数列为aj.则行a”=-24+(n-1.)d因数列&从第IO项开始为正数,因此；：黑.即僚二HI"将：Hd3,所以公差d的取值范围是g<d3.故选：D.【题型2等差中项】【方法点拨】根据题目条件，结合差中项的定义，即可，解.【例2】（2022陕西i二阶段练习已知=4.h=8,则,b的等差中项为（）A.6B.5C.7D.8【解也思路】利用等差中项的性质进行求解即可【解答过程】设,b的等差中项为m.所以2m=a+b.因为=4,i=8.所以m=6,故选：A.变式2-1】（2022全国高二谡时练习）已知=召%,卜=忑%,则”，的等差中项为（）A3B.2C.yD.y【解题思路】利用等差中项的定义求解.【解答过程】由等差中项的定义得:则。,b的的等差中限为:11b_1-1-=*-*-1«,22故选：A.【变式2-2】SO22四川省高二阶段练习（文）等基数列4的前三项依次为X,2x+1.,4x+2,W1.x的他为）A.5x+5B.2x+1C.2D.O【解时思路】根据等若中项的性质得到方程，解得即可;【解答过程】W：依题:ft2（2x+1.）=x+4x+2,解得x=0：故选：D.【变式2-3（2022浙江高三专题练习设a、m是实数，则F=5”是"m为a和10-a的等差中项”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分也非必要条件【解题思路】利用等差中项的定义判断可得结论.【解答过程】m为a和10-a的等差中项=m=普上=5.因此，“m=5”是F为和10-a的等差中项”的充要条件.故选：C.【司型3等差数列的通项公式】【方法点拨】结合所防数列的递推公式，分析劣洌之闾的艰律关系，转化求解即可.【例3】(2022fiU高二阶段练习)已知数列af1.为等差数列,”4=2,即=-4,那么数列aj的通项公式为()A.an=2n+10B.an=2n+5C.an=+1.D.an=-+5【解题出路】设数列a。的苜项为a,公差为d,列方程纲求出由,d即得解.【解答过程】W：设数列a的首项为处，公差为d,由SS种：。3,=2所以Ia1+6a=-4W=-2所以数列的通项为OjI=8+(n-1)×(-2)=-In+10.故选：A.【变式3-1(2022陕西宝鼎岛二期中)已知等差数列4的前三项为a-1,a+1.,2a+1.,则此数列的通项公式为)A.2n-5B.2n-3C.2n-1.D.2n+1【解题思路】根据等差数列%的的三项为a-1.,a+1.2a+1,由2(a+1.)=(a-1.)+(2a+1),求得«即可.【解答过程】因为等整数列%的附:项为afa+1,2a+1,所以2(a+1)=(a-1)+(2a+1),解得a=2.所以a1=1.,d=2所以a1.t=a1.+(n-1.)d=2n-1.故选：C.【变式3-2】2022全国高一课时全习在等差数列%中,若a7=%如9=2(,则散列%的通项公式为D.无法确定Cn=i+1.【蚱国!.世路】利刖等差数列的通项公式.列式求得数列的基本1.迸而求得具通顶公式.【解答过程】设等差数列af1.)的公差为d.>J!Jn=,+(n-1.)d.因为广，所以I:需T1.解得管=：.“9-NaQ1%+IouZ(%4,8«)(dZ所以t的通项公式为即=a1+(n-1.)d=等.故选:A.【变式3-3(2022河南二模(理)>已知等差数列a,J各项均为正数.a1+a2+a3三12.aia2a348.则数列%t的通项公式为A.2nB.n+2C.3n2D.n【蚱密出路】利用等差数列的性质及通项公式求得首项叮公差，即可得到数列af1.)的通项公式.【裤答过程】设等差数列a,的公差为d.I1.a+a2+a3=12可得:3a2=12«1.'Pa2=%Xa-a2a348.a1-a3=12.Xa1+a3=8Aa1,%是方程N?-8x+12=0的两根，又等差数列%1.各项均为正数，<o=2Gj=6,d-2故数列小的通项公式为4=2+2(n-1.)=2n故选A.If1.S4等差数列的单讨性】【方法点拨】贵断单性的方法I转化为函数，借助曲数的单性，如筋本初等函数的单0性等，研究数列的单1性.利用定义判断，作差比较法，即作差比较“与,的大小：作用比较法，即作商比较“，与”的大小，从而亮断出数到4的单性.【例4】(2022北京,高三阶段练习)己知等着数列SJ单调递增且满足a+a广6,则%的取值范附是>A.(e3)B.(3.6)C.(3.+r)D.(6,+)【解盅思路】设出公差,根据单W1.递增,ft)iJd>O.结合等差数列的性质得到g+a*=2%-3d=6,变形为2a6-fr-3d>0,解不等式求H：答案.【解答过程】因为n)为等差数列.设公差为d.因为数列StJ单调递增.所以d>o.所以a+(-as+%-2%-3d-6,则2a<r63d>0,斜得：a1.,>3,故选：C.(¾4-(2022全国高二课时练习已知点(1,5),(2r3)是等差数列/图象上的两点,则数列art为()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定【解物出路】利用等与数列的图象所在H线的斜率判断.【解答过程】等差数列a1.1.的图象所在向段的斜率k=言=-2<0,则点线呈下降趋势,故数列a1.1.单调递减.故选：B.变式4-2】2022北京商考式烟设ar是公差不为0的无穷等差数列，则”/为递增数列”是“存在正整数愠，当n>N0时，aj1.>0”的(>A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】设等差数列%1.的公差为d.I1.dwO,利用等差数列的通项公式结合充分条件.必要条件的定义判断可得出结论.【解答过程】设等差数列%的公差为d,则d0,记b)为不超过X的辰大塾数.若SJ为单调递增效列，则d>0,若0,则当n2时，an>%0:若%V0.则a”=%+(n-1.)d,由a1,=%+(n-1)d>0可得”>1-1.ZV0=|1-+1,典当n>N0时.att>0.所以，“SJ是递增数列”=>“存在正整数N。，当n>M>时，a>O'：若存在正第数M).当n>/时,an>0.取keV且k>M1,a*>0.IRiiW<0.令a1,=a1.t+(n-k)d<0可得n>k-冬且k-牛>k,UU当n>k-引+1时,a<0,与电设于盾，假设不成立，则d>0.即数列%电递增数列.所以，”aj是递增数列”U“存在正整数M,当n>M>时,an>0'.所以”/)是递增数列”是“存在正整数Mr当n>N0时.a”>0”的充分必要条件.故选：C.【变式4-3】(2021全国5二课时全习)下面是关于公差必)的等曲数列,J的四个结论：pt数列(,J足递增数列：P2：数列叫是递增数列：py.数列隹是递塔数列：”数列包+3M足递增数列.其中正确的为)A.PP2B.PJfPJC.P2,PJD.PhP4【解题世阳公差d>o的等若数列S/足递增数列；数列m册)不定是递增数列；数列恃不一定是通城数列：数列册+3nd)是递增数列.【解答过程】解：设等差数列首项，m内0,则%=“,+("-1卜/=曲+一切.，数列%通增，故切正确：an<br+(a-d)n,当”<等1时,不递增故依错误：生=</+一.当%-d>0时，不递增，故p,错误；nn|«».÷3(n+k-(n+3M)=n-n+3<=4<>0,所以a1.1.+3"d递增，故/正确.故选：D.【型5等差数列的判定与证明】【方法点拨】判断一个兼列是等1婕克的方法一1，定义法，*”,=小常数)(”6.中)是等差数列.地推法苒差中骑4"2”+尸“(,v)：3J是等差数列.(31通项公式法I“=pn+q(p/为*数m,r)(«u)是等差数列.【例51(2022江苏离.阶段练习己知数列时满足0n+=竺暮5N),且处=3.G(iv2(I)求。2，。3，。4；(2)证明：数列忘是等差数列.【解88也路利用赋依法，由递推关系式依次求得。2.。3,:(2)将推通关系式进行变形，得于卜-一I=：,从而汨证.20r-24【解答过程】(I)因为=”(neN),%=3H*|：匚i、1.><a-41464j-486<>j-418所以02=大=，%=置=7。，=百=予<2)W+1=7(neN).所以a”.1-2=吧W-2=泅!榜壮=%,f'Ion+Znn+2a>+2则，=咄1=%1.i=1+a1.1.1-N*an-84<an-2)<.-ZM11I故ZZ=：，a/2aH-24又叫=3.所以=1»1«1-2所以数列b±½甘限为1.公差为:的等差数列.【变式51】(2022全国两三专题练习)在数列%)中,a】=52a11+1an=a11-an+1.求(½,a3：(2)证明：数列?)为等差数列,并求数列%的通项公式：【解题思路】(I)利用赋值法得到关于心.03的方春，斛之即可：<2)利用例数法得到a-机=2.从而证矶J为等差数列，进而求得/的通项公式.I解答过程】(I)因为2a”ian=%一%.1，所以当n=1.时.2%。1=七-%则2&X：=；即：Qz解得%=：，33345当n=2时，2。3。2=。2-。3，则2(=：卬即:。3=白解得。3=，5555所以a?=pa3=*<2)W2anf1.aw=an-a1.t41.所以1.=2且=3«所以数列£是以3为目项,2为公差的等差数列.故工=3+Gi-1)X2=2n+1.HJan=-½(nN,).<nZn+【变式5-2】(2022河南海三阶段练习文>己知数列a71.满足m=1,a-a-i=-+(n2).ann-且a”+】>ar,(I)证明：(W+2为等差数列：(2)求数列aj的通J公式.【解即思路】(I)依SS就可得4-2=a“_i+一,将两边同时平方，整理即可得到a.2+-½-ana11-n'(11-12+-)=4,即可得证；<2)It1.(1)可得%2+一、=4；!-2,再解方程求出时2=(H±JT)z,即可得到斯.再检验即可.【解答过程】(1)解：因为“-ft7=1.+-1.(n2).aK11-1.wfw"-="->+则(厮-f=(x+a)'即4?+大-2=2+-1.+2.所以如2+己一Tz+/)=4.又=1,所以Q1.2+=2所以w+2是以2为首项.4为公差的等差数列.(2)峪例(1可得a=2+-½=4n-2.心.所以1.1.4-(4n-2)an2÷1=0.解得at1.2="二栏"；"二匕4=2n-1±21n(n-1)=(n±n-1)2因为4=1且即.1>每印数列即为递增数列.所以1.1.>0所以册=n±Vn-1.若/=F-ef=舄亏则/+I=焉忑<而N=%,不符合趣度'故1.t=F+n-1.【变式53】(2022全国画三专SS练习)若数列a1J的各项均为正数，对任意"M,1=nn+2+r,t为常数，且2<=2+4.求心的值：(2)求证：数列t为等差数列.【裤四出路】(I)由已知得屈=4%+3f=204+t.两式作差即可求得妇巴的值：a2<2)由吗“=j1.r+2+C*.2=%.1如+3+匕两式相减可得数列(笠竽卜为常数列，迸一步得“+n+z=211+1,所以数列r为等差数列【裤答过程】(I)因为对任意neNWM=,111+2+3令w=1.得通=a1.a3+C令n29得诋=2a4+C一得城-a1.=a2a4-a1a3*即&（。3÷a）=。2（。2+a）所以岩=*=2<2）证明：aj*1.=anan+2÷r或+2=&»述"3+，两式相减得若+2-。"1=0n+1.0n3-nan÷2,a三+2+anan+2=1+ar,41a11+j,1.!Jn=2,an2an.所以数列呼刊为常数列,所以笠竽=誉=2.所以a1.1.+。11+2=2an+.所以数列册为等差数列.IKS6利用等差数列的性崩解题】【方法点拨】对于例的运售恸，可观察已知项和带求项的序号之闾的关系，利用差数列的性质进行求解，这样可以减少运算二,提片运算速度.【例6】2022江苏岛二期中）已知数列a,J为等基数列，a2+a8=8,则%+%+%=（）.8B.12C.15D.24【解踞思路】根据奔走数列的性质汨到=4,计算汨到答案.【解答过程】+。8=2。5=8.故=4,a1+as+a9=3a5=12.故选：B.【变式6-1（2022福建用田高二期中）公差不为。的等差数列aj1.中，th+/=&+%，则Xy的值不可能是（?A.10B.18C.22D.28【解密出路】由等差数列F标和性质可用X+y=11，由此可得x,y所有可能的取值，进而确定Xy所有可能的结果.【解答过程】由等差数列性侦知：若a3+f=a*+ay则x+y=3+8=1.1.又或普需:H:读:M葭喊:M:即忧强X=10J=1xy可能的值为10或18或24或28或30.故选：C.【变式6-2（2022,浙江宁波一模）已知数列%）与%均为等与数列,且知+为=4,as+%=8,则勾+b1=（）A.5B.6C.7D.8【好即思路】根抠等差数列的性质即可求好.【裤答过程】因为<+b5=%5+fo9=8.所以t+A5+5+69=12.即a3+as+bi+b（t=12.根据等差数列的性旗可知+as+bs+9=2a4+2b1=12.所以a1.+7=6.故选:B.【变式6-3（2022广东肇庆高三阶段练习）已知%是各项均为正数的等基数列，且a6+2a7+a。=20.则a”a.的最大值为（）A.10B.20C.25D.50【解题思路】根据等差数列的性质，化陆原式，得到劭+。8=10,用基本不等式求豉值.【解答过程】>.*<+2a7+a10=（a6+0»o）+2a?=2a+2a7=20>.'.a7+a三10»由已知,Wa7>O.aB>0a7-a（号）2=管V=25,当且仅当/=a11=5时等号成立.故选：C.