专题4.7 等比数列的概念（重难点题型精讲）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.7等比数列的概念(重难点题型精讲)一一>一一>一M一一»一一一一MM一一MB一I.等比数列的概念TK地,如果TB列从第2rcg.曼T号电理:二"魁建贬"二次'七数,都么这个敢列叫做琴比款列,这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字tB*不田夕标)符号在取列明1中,钝果±7(e*2."CN)(s-,(new)(9*0)潢盒成立.则称敢列为易比数列索敬夕称为等比数列的公比递推,a.1.,(90.6N*.>2.<iif1.O)Ce41.(¢O.nN,.,0)大麻2 .等比中项如果在“与人中间插入一个数G(GO),使o.G1成等比数列，那么G叫整。与人的等比中项.若G是。马。的等比中项，则E=S所以GT'即G=±,3 .等比数列的通项公式若等比数列。“的首项为4.公比为9,则这个等比数列的通Jij公式是/=0S,WO).4 .等比数列的通项公式与指数函数的关系等比数列&的通项公式4,=0gi可以改写为“吟F”"且神时,等比数列&)的图象是指数型函数产亍q'的图象上一些孤立的点.5 .等比数列的单(性已知等比数列“的首项为“,，公比为g,VA当J或J时.等比数列为递增数列：>>工或1时等比数列为递减数列：IoVgV1.Iq>I(3)当行1时,等比数列他/为常数列(这个常数列中各项均不等于0)：(4)当g)时，等比数列为拨动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).6 .等比数列的性质设4为等比数列,公比为g,则I)若m+n=q,nt.n.pGV.则“a,=<tf,ag.(2)若"M""J>GV)成等整数列，则%,4,.%成等比数列.(3)数列以OIJa为不等于零的常数)仍是公比为g的等比数列：数列I是公比为?的等比数列：数列EJ是公比为的等比数列：若数列儿是公比为“'的等比数列，则数列。“儿是公比为v的等比数列.(4)在数列4中,短隔aw濒取出一项,按原来的朦序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为产.(5)在数列(01J'1.'.连续相邻改项的和(或积)构成公比为/(或g")的等比数列.(6)若数列(是各项都为正数的等比数列,则数列(1.og,wJ<c>O且c1.)是公差为1。&q的等差数列.A一注£M91等比数邦的基本量的求解】【方法点拨】根据所给条件，求解答比数我的基本,即可得【例I】(2022,江西ifii二阶段练习(文>>在等比数列j1.中.2+4=3.<+<h=192,则公比q的值为()A.4B.±4C.2D-±2【解四思路】根据等比数列定义两式相除即可得出公比v.【解答过程】<+,=q(%+%g2)=3,a5+7=q*(a1.+1q2)=192.如q"=；詈=64.q=4.故选：A.【变武1-1(2022.陕西高二阶段练习)已知等比数列(斯中.2=,6=4,则公比q=()A.±4B.±22C.22D.4【解题思路】用基本fit<,q表示胭干信息,计算即可.【解答过程】It1.ttSt.设等比数列%的首项为勺,公比为qh<12=77a6-4.IO可得卜1.=故q，=64,解得q=±21.1gs=4故选：B.【变式1-2】2022甘肃E三阶段练习（理>在等比数列j中,a2ai=M.aj+as=40.W1.a1.=<）A.2B.±2C.2%D-±j【解题思路】根据等比数列的定义,结合等比中建立方程组.可得答案.【解答过程】设a的公比为g，由餐/Ma；K。则;二:侬:.所以IT=2.故选：A.【变式1-3）（2022云南昆明高二期末）在等比数列（a,J中.a1.+a3=2,a3+a5=6,则5=<>A.2B.3C.JD.J【解阳出路】利刖劭+。5=（%+。3）/可得到等比数列a1.t的公比的平方，再利刖%+。3=<J1+a1<?2=2即可版M=最【解答过程】在等比数列aj1.）中，由6a3+a5=（a1+a3）q2=2（,2Wq2=3,所以a1+a3=111+a1q2=4111=2.所以四=故选：D.【题型2等比中项】【方法点拨】根据题目条件,结合等比中项的定义，即可得解.【例2】（2022黑龙江高二期中）在等比数列a,J中.=；,q=2.则aj"的等比中项是OA.±4B.4C.-2D.-4【解也思路】先通过等比数列的通项公式计算a进而可得其等比中项.【解答过程】由已知a4<=a62=（a1（?5）2=GX2s）2=16所以aja1的等比中限是±4.故选：A.【变式2-1（2022宁夏高一期末）若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第2项与第4项的等比中项为（）A.32B.-16C.±32D.±16【解意思路】根据笠比数列的首项和公比可得数列中第2项与第4项，再根据等比中项的定义求斛即可【解答过程】由题,读等比数列为4816,32.,设第2项与笫4项的等比中项为X,Mx2=8×32=256.1.½x=±16.故选：D.【变式>2SO22广东.岛二期中）若数列2,8是等比数列，则实数的值为（）A.4B.-4C.±4D.5【解即思路】由等比中项的性质列方程未得.【解答过程】由已知汨（2=2X8=16,.a=±4.故选:C.【变式2-3（2023全国高三专即练习）数列4为等比数列，1=1.,a5=4.命即p:%=2,命题q:%是由、as的等比中攻，期P是q的（）条件A.充要B.充分不必要C,必要不充分D.既不充分也不必要【解题思路】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.【裤答过程】因为数列a1.t为等比数列,且3=1,a5=4.=2,则色=Aa1.aJW1.a3½a1.,劭的等比中项，即Png：若是4、QS的等比中项,设%的公比为m,则a3=am2>o,因为小=。1%=4,故a3=2.I1.Ppuq.因此,P足q的充要条件.故选：A.【题型3等比数列的通项公式】【方法点拨】结合所给皴列的递推关系，分析数我之间的场律关系，转化求解即可.【例3】（2022湖海高：期中）正项等比数列小满足处=2,a3=8.则其通项公式。”=（）A.2n-1B.2nC.2n*1D.2n*2【解题思路】利用等比数列的通项公式先求得公比q，从而求得【解答过程】因为a1.J是小项等比数列，所以q>0.又因为<=2,3=8.所以qir=虫=4,故q=2,aI所以1,=4q*=2x21*=2".故选：B.【变式3-1(2022,陕西,高二阶段练习(文)在各项为正的递增等比数列Sj中,a1.a2a6=64,a1.+a3+as=21»IWarj=<>.2n+1B.2n,C.3×2n-iD.2X3"T【好四思路】首先根拙;等比数列的通取公式求与/=%=%再利用公比发示4.&.代入方程，即可求得公比,再表示通项公式.【解答过程】数列与1.为各项为正的递增数列.设公比为q且g>1.a1(i2a6=64.aq6=64'O1Q2=4=<J3.TaI+a3+。5=21,+4+4g2=21.WJ(4q2-1.)(q2-4)=0.解得：q=2a1=1.an=aiqn-1.=2n,.故选：B.【变式£2】(2022全国高.课时练习)己知在等比数列a71中，的=4,前三项和S?=12,则数列art的通项公式为()A.a=(-Dn-1-25-nB.an=2s-nC.a=4D.an=4或a”=(-1.)n1.2s-n【解也思路】由%=4和*=12联立解出苜项和公比,通过等比数列的通项公式得到答案.【解答过程】设等比数列aj1.的公比为q(q#0),由题怠得(aiq2=4oa(a=4jc(a,=161.1+aiq+aR=121，叫q=1或0=-:所以%=4或a1.,=16×(-)n"1=(-1.)w-,2s-n.故选：D.【变式3-3（2022山西太原府三期末（理）等比数列tt）中,a3=8,2+a4三20,则4的通项公式为（）A%=2"B.a11=C.%=2"或/D,%=2"或W【解题思路】由已知，结合等比数列的通项公式可得2qz-Sq+2=0求公比,进而写出4的通项公式【解答过程】令公比为q.M题设有a?+%=+%q=+8g=20.所以2qz-5q+2=（2q-1.）（q-2）=0,解得q=g或q=2,经检险得合即设.所以=aqn-3.'Jftan=2nn=/.故选：C.（Bfi4等比数列的单调性】【方法点拨】别断单性的方法，转化为函数,借助的数的单性，如基本初等的数的单货性等，研究数列的学说性.利用定义兴作差比较法，即作差比较与”的大小：作1«比较法，即作商比较小与”“的大小，从而叉断出数列a"的单性.【例4】（2022.陕西高二期中（理）数列4是等比数列，首项为由,公比为g,则a*-1）V0是啜列SJ递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充分必要条件D,既不充分也不必要条件【解题思路】由由（q-1）<0.解研q；0）或t；I,根据等比数列的单调性的,定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即UJ求解得到答案.【解答过程】由已知a（q-DVO,解得g<*:0）或：；：.ana1.q.此时数列an）不一定是递犍数列，所以如（q-1）<。是“数列azj递减”的非充分条件：若数列（ar）为递减数列，可得或；,所以%（q-D<O,所以七（q-IX。是“数列/遢域”的必要条件.所以“40-1）<Or是“数列SJ为速成数列”的必要不充分条件.故选：B.【变式4J】2022辽宁高二期中）设等比数列af1.）的首项为4公比为伙则%为递增数列的充要条件是（）.1>0.q>1.B.ai<0.0<q<1.C.11.gq>0D.11.gq<0【好跑思路】分析可知q>0.分文<0,1>0两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的q的取位范阚,即可得出结论.【解答过程】因为<=%qn,若qv,则数列%为摆动数列.与题意不符，所以.q>0.若<<0,则对任.旗的nN".n<0.由QIIVaII+,=%相得qV1,即OVqVh若附>0.则对任意的nN,.an>0.1.h11<aR+1=<q可褥q>1.此时q>1.所以.g为递增数列的充要条件是G>0,Q>1JJ1<0.0<q<1,当a1>0,q>I时，Igq>0.H1IatIgg>0；当叫<0<0<q<1时gg<0.则ajgq>0.因此,数列加r为递增数列的充要条件是IRg>0.故选：C.【变式42（2022河南高二阶段练习（理）已知等比数列%的公比为g.若<为递增数列且O1.V。，则（）A.q<-1B.-1<q<0C.0<q<1D.q>1【裤西出路】根抵应设等比数列的性质,结合等比数列加项公式确定公比q的范阳即可.【解答过程】他题点，an=aiqn-t.Xa1<0.二要使g为递增数列,则q>0当0<q<1.时.a1.t）为递擀数列，符合麴设；当q>1时，an为递减数列,符合题设:故选：C.【变式43】2022安做宿州高.期中）已知等比数列%,下列选项Ife判断%1为递增数列的是（）A.a,>0.0<q<1B.a1>0.«,<0C.a1<0.q=1D.Qj<0.0<<1（解感思路】根据指数由数单调性和单漏性的性质逐项分析也I«1.【解答过程】对于A,1>0,0<q<1.,则1.t=qn='q"单调通诚，故A不符题息；对于B.>0.q<0,则%=4/-1=21，/会随着”取奇数或信数发生符号改变数列为摆动数列.q故B不符遨意：对于C,1<0,q=1.,则%=%为常数数列，不具在单调性，故C不符触点：对于D.a1.<0,0<q<1.,<0,尸小在R上单调递减，故g=图q1*=幺q"为递增数列,故qqD符合题意.故选：D.【题型5等比数列的判定与证明】【方法点拨】只有定义法、道推法I等比中项法)可用于证明等比数列，通:公式法与“项和公式法只能用于小题中等比数列的判定I在用定义法与道推尚等比中项法)证明等比敷列时*注意”1,0【例5】(2022湖南省高二期中)在数列a1.中,a1三2,<=4an.1-3(n2,neN,).(I)求证：1%-1是等比数列：(2)求数列1的通项公式.【解题思路】(I)结合等比数列的定义证得结论成立.<2)根据(D的结论以及等比数列的通项公式求得正确答案.【解答过程】(I)依即点，数列1%中，如=2,an=4an-1-3(n2,11N,),所以%-1=4(%T-1.)(n>2,nN*),所以数列SH-1是首项为51=1,公比为4的等比数列.<2)It1.(1)得：数列即-1是首项为/-I=I.公比为4的等比数列.所以呢-1=1×4n-i,an=4n,+1.【变式5-1】2022,全国高三专题练习)已知数列aj满足a=1.,a1.1.r=3at1.+2,证明口+an为等比数列，并求SJ的通项公式.【解腮思路】根据时意即可证明+1=3(。“+1).从而确定%+1为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解/的通项公式.【解惇过程】因为4”=3an+2.所以”+1=3(an+1).XaI+1=2.所以数列1+a1.1.是以2为首项，3为公比的等比数列，则a1.,+1=2-3n-1.所以1.t=231*-1.变式5-2（2022,福建省高三阶段练习）已如数列（att满足/+1=gj1.+1，ai=3,bn=an-2.求证:数列%是等比数列:（2）若Cn=-nbn,求数列c1.t中的最小项.【解腮思路】（I）根据等比数列的定义证明；由（1）求得4后可得cr,利用作面的方法汨出Q=Cz，从笫2夜开始cr递增，从而易M收小皈【解答过程】（I）因为i=汨=K=泞=%瓦=<h-2=1.OnOm-2f1.-*-22所以砥是首项为b公比用的等比数列：<2）III（I）得%=）"所以CM=-nbn="n£）”'<0.则=*ZCnZ11当n=1时.=1.c1.=C2；C1.1.当n>2时，2n>n+1>0.V1,又C（IV0，所以CnC>Cn.Cn所以C1.=C2<C3<C4<-即（Cn）nun=Ct=C2=-1.【变式5-3】（2022全国高三专遨练习）在数列%中，已知各项都为正数的数列0"满足571+z+4n+-«n=0证明数列a1.1.+<.为等比数列:若%=占a?=白求E的通项公式.【解即思路】（1）根据等比数列的定义分析即可.<2）由（1）可得1%+.+/的通项公式，构造（每一）"求1g.【解答过程】（1）各项都为正数的数列4满足5%+2+4nr-<=0.+1+n+2=（n41+n）.即，qrF”二1.*n*-5"所以数列（册+册是公比为:的等比数列：（2）因为°=%a2=所以Q+Qz=*<i)知数列+%j是首项为右公比为沙等比数列.所以%+%.1=/XGv,于是“-G)ns="(n-n)=(-n(0,->又因为小_g=0，所以%-尸=0,即册=(3”.【题型6等比数则性质的应用】【方法点拨】对于等比数列的运算同A1.可观察已知项和待求事的序号之间的关系，利用等比数列的性质进行求解，这禅可以3运*量，提高运算速度.【例6】(2021广西高：阶段练习)在等比数列“中，己知3<7=8,则%。9=()A.4B.6C.8D.10【解意思路】用基本量小,q表示出来可以求：或者考虑卜标和公式.【解答过程】在等比数列a71.中，a3a5a7=0g=8,解得恁=2.则如。=城=4.故选：A.【变式61】(2022全国询三专SS练习己知在等比数列ar)中，a2a3a,=1.,678=64,则%等于<)A.-2B.±2C.2D.±|【解跑思路】先根据等比数列的性质褥到心和即.再根据底=叫。7可求褥as的大小,解组时要注意对生的符号的处理.【解答过程】由等比数列的性舫可得。2。3。4=姆=1.,a6a7a=a?=64.,<=ig=%'«5=<1307=%又。5与。3和叫同号,a5=2.故选：C.【变武6-2(2022吉林白山.衡二期末)已知等比数列斯的公比g为整数.且+4=9,a2a3=8,则=()a1÷as4(tyA.2B.3C.-2D.-3【解题网路】由等比数列的性质有<的三三04结合1.I知求出触本畸q再由警学=q即可得答案.u*0备【解答过程】因为<+A=923=14=8.且g为整数.所以%=1.a4=a1q3=8.即q=2.所以±±S=q=2.<1.*a144¼'故选：A.【变式"3】（2020,北京高二期中）等比数列加）中，smaj=-26,a1.7a1.sa9=-2m,则QWOd1.“的值为>A.-2,°B.±2nC.-2wD.±2yn【裤即思路】根总等比数列的性质,即可直接得到结果.【解答过程】因为数列SC是等比数列,Ai11JWa1.*a>aj.ava>a.a4wM也构成等比数列.故（的，甸0On）2=-26×（-2s4）=26u.故可得ara（fatt±23u.又,勿<，?“,=-26,即可得（a，3<0.A11TffJaz<0,同理由8<0，W1.a10<0,也HPaaMat（a10）3<0.故可为a<Hau-23n故选：C.