导数与函数、不等式综合问题.docx

IO1.远程教育网状元班课程年ft高二I学科I数学稿老如I刘燕课程标J1.导数与函数、不等式综合问题一校林卉I二校I黄楠审核王百玲¥'状元I贪【明安码百一、考点突破函数与不等式解答即是高考命遨的重要整型.解答这类题须要用到导数的相关学问.其命超热点常常是与导数学问的综合考查，出现频率较高的双型是蚣值、苞围问咫.单诩性或方程根的探讨等淙合问烟，二、点提示更点：导数的定义和几何意义：和差积商的导致：复合函数的导致.难点：导数与函数单调性、极伶、最值的关系；利用导数解决不等式、函数零点等问题,【将五”与家三7f1.1.二、学问点拨I,导数的定义:,(-v<)=1.)f'%)_jm''''_Iim&)4,-*u,v,-*X->4*t1.2x2 .导致的几何意义：(1)函数F=f(X)在点x0处的导数,().就是曲线y=/(x)在点P(X°.y0)处的切税的斜率：(2)函数S=s(t)在点力处的导数s'°),就是物体的运动方程S=5(0在时刻/“时的瞬时速度；3 .要熟记求导公式、导数的运算法则、发合函数的导致等。尤其剧意：(1.og：)'=!"1.og：和X(<?')=«*1.n«.4 .求函数总调区间的步骤：(1)确定f(X)的定义域(2)求fX)的导数(3令y>Hyyn,好出相应的X的范围.当户0时，f(x)在相应区间上是增函数：当y<o时，fx)在相应区间上是M函数5 .求极值常按如卜步骤：确定函数的定义域：求导致：求方程J=O的根及导数不存在的点,这些根或点也称为可能极值点：池过列表法，检查在可能极伯点的左右两例的符号，确定极值点.6 .设函数f(X)在a,b上连续，在<a,b)内可导，求f(X)在a，b上的大(小)值的步相如下:(1)求f(X)在(a.b)内的极值：(2)判f(X的各极值与f(a>,f(b)比较,其中最大的一个是最大值.最小的一个是G小值，7 .最值(或极值点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。<.状兀兴修Ji【簿更例828H53K适解S1.等缝】实力提升类例1已知函数/(X)=(+A-2f1.2+3a)e1.(xe及).其中0cR(I)当a=0时，求曲线f=/U)在点处的切践的斜率;(II)当w2时，求函数/*)的单调区间与极做。3一点通，(I)把a=0代入f(X)中化简得到f(x)的解析式，求出f'(X，因为曲线的切点为<1,f(1»,所以把X=I代入厂(X)中求出切线的斜率，把X=I代入fX)中求出f(1)的值得到切点坐标，依据切点和斜率写出切线方程即可；<I1.)令f(x)=0求出X的值为x=-2a和x=a-2,分两种状况探讨：当一2a<a2时和当一2a>a2时，探讨(x)的正负得到函数的单WI区间，依据函数的增减性即可褥到函数的足值.答案:当=(耐，/(X)=N/,f()=(2+2x)e1.,V'(1.)三3e.所以曲线)，=/(x)在点(IJa)处的切线的斜率为3e.(11>,(x)=x3+(+2)x-2a3+4aj?*豺'(x)=0,解符*=-2.或r=-2HIaWg知-2w-2.以下分两种状况探讨，(I)若>j,则一2<-2,当X改变时，/'(x),f(x)的改变状况如卜夫:X(-8-2<)-2a(-2ci-2)a-2(-2»+8)+00+/极大值微小值/所以K)在(YO.-2)("-2,+8)内是增函数,在(-2a"-2)内是减函数.函数/(X)在=-2。处取得极大值/(-2«),H/(-2«)=3。叱函数“力在r=。-2处取得极小(-2),且/S-2)=(4-3a)eu1.7(2)若V,则一20>-2,当X改变时，尸(x),f(x)的改变状况如下去:3X(-co.-2)a-2(a-2-2a)-2a(-2a+co)+00+Z极大值X微小值/所以/(X)在(Yoa-2).(-2rt.+8讷是增函数,在(-2.-24讷是减函数。函数/(幻4、=«-2处取价极大值/(0-2),且/S-2)=(4-Srtk2.函数“X兄EX=-2“处取得极小值/(-2。)，1.1.fi-2(i)=3"/点讦：本题主要考本导数的几何意义、导数的运算、利用导数探讨函数的总调性与极值等基础学问，考杳运算实力及分类探讨的思想方法.综合运用类例2已知函数/(x)=F+2xj+Z>(.xeR).JCaJ)eR.(I)当=-与时,探讨函数/(x)的单调性：<11)若函数/(t)仅在X=O处有极值.求。的取值范围：(III)若对于随旗的“e(-2.2.不等式/(.v)M1.在一I,IJ上忸成立，求b的取值范用。一点通，(I)将a的假代入后对函数f(x)诳行求导,当导函数大于0时求原函数的单调递增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间，(II)依据南数f(X)仪在X=O处有极值说明f'(X)=0仅有X=O一个根，从而得到答案.(III)依据函数<x>的单调性求出最大值,然后令最大值小于等于I恒成立，从而求出b的取值范用，答煞(I)fix')=4x,+3av2+4x=x(4x2+3r+4),当=_W时，jt(x)=AX4.r-IO.t+4)=2x(2A-1.)(x-2)t3令f'(x)=O,解得$=0,&=；,x=2.当X改变时，,(x)./(.r)的改变状况如卜表:Xy,0)0吗)£22)2(2,a),()0+0一0+If(X)、微小值Z极大大X徵小值Z所以f(x)在吗)，(2.+)内是地函数，在(F.0),金2)内是减函数.(I1.),(x)=M4xj+3r+4),明显X=O不足方程49+3r+4=0的根.为使/(*)仅在X=O处有极值，必需4/+3ar+4=0成立，即有A=%J-640OQ解此不等式，-a-.这时，f(O)=b是睢一的极值。33因此酒意条件的的取值范用是-式.(I1.1.)的条件e-2,2,可知A=9"-64<0.从而4.d+30r+4>0i3成立.当x<0时，,(x)<0;当x>0时，,()>0.因此函数/(x)在-1川上的最大值是"1)与，(-1)两者中的较大者.为使对曲意的“-2,2,不等式/(x)41在-1,1上恒成立，当且仅当，/(-1.)1b2ci即.在e-22上恒成立.b-2+a所以>Y.因此满意条件的人的取值范附是(-8,Y.点评：本网主要芍查利用导数探讨函数的单两性、函数的最大曲、解不等式等基础学问.考在绘合分析和解决问烟的实力。例3已知除数f(.r)=-x'+8.v,g(.v)=61.nx+11.(D求人外在区间上+1上的最大值尔/)；（三）是否存在实数，儿使得y=/(x)的图象与y=g(x)的图象目且只有三个不同的交点？若存在，求出，”的取值范围：若不存在，说明埋由.一点通，(I)本题考查的是定函数与动区间的问甥，是一元二次函数中一动肯定的问甥，解题时要针对二次函数的对称轴与区间的关系进行探讨,即对称轴在区间上,或是在区间的左边或右边.(11)遇到关于两个函数的图象的交点个数的何明时，一股是构造新函数，将魄”转化为探讨函数的零点向电，通过，数得到函数的最值，把函数的加值同。进行比较,得到结果,答案，(I)fix)=-2+8x=-4)2+16.当f+1.<4,即r<3时,/(x)在"+1上单调递增,/1(1)=/(/+1.)="(f+1.)-+8(+1.)=6+7;当"4r+1.,即344时./Kr)=/(4)=16;当f>4时，/(x)在卜"+1上单调递减，hit)=/()=-+82+6z+7j<3.综上，()=16.3r4.-Z2+8/,/>4(I1.)函数y=(x)的图象与y=g(x)的图做有且只有三个不同的交点,即函数取X)=r(x)-M的图象与X轴的正平轴有且只有三个不同的交点。因'hx)=x2-8x+61.nx+in,所以，x)=2x-8+=228vh6=2(X-1)(X3)(x>O).XXX当Xe(O,I)时，(x)>O,(x)是增函数：当XW(1,3)时,(x)<O,(x)是然函数：当X(3.+)时，o'()>O.Wx)是增函数；当x=1.或x=3时，,(x)O.于是，例X)I(UM=3="1.7.奴.r)t小S=(3)=/«+6In3-15.当X充分接近O时夕(X)<0,当X充分大时(x)>().因此，要使火K)的图象与X轴的正半轴有三个不同的交点，必需且只须即7<m<15-61.n3.奴X)Itf氏=n-7>0,加X)Iti小=m+61.n3-15<0,所以存在实数川使得函数y=与.V=g*)的图象有且只有三个不同的交点,"I的取值范的为(7,15-61.n3)点评，本施上要考查函数的单调性、极值、最值等基本学问,考查运用导致探讨函数性质的方法，考查运算实力，考查函数与方程、数形给合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的实力.思雏拓展类例4设函数呈33?-1.&e,4*=三-3+2,其中K/?,a、b为常数，已知曲线p=(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线/°(D求a、b的值，并写出切埃/的方程：(ID若方程:个互不相同的实根0、一其中为<公，I1.对1.½通的xcA±.«6成立.求实数m的取值范用一点通；(I)利用曲线y=f(x)与y=g(X)在点(2.0)处有相同的切找1.UJ得f(2)=g(2)=0,f'(2)=g,<2)=1.即为关于a、b的方程,解方程即可“（三）把方程f(X)+g(X)=mx有三个E1.不相同的实根转化为I,1:是/一3x+2-J=O的两相异实根，求出实数m的取伯莅眼以及、与实数m的关系，再把f(x)+g<x><m(XI)恒成立何Sfi转化为求函数f(x)+g(x)mx在C、I上的最大值何跑.嫁合在一起即可求出实数m的取(ft范用.答案:(I>f1.(x)3x2+4<tx+b,g'(x)2x-3,由于曲线y=(x)与y=g(x)在点(2.0)处有相同的切我/,故彳!"2)=g(2)=()J'(2)=g'(2)=1.,由此解褥：=-2,=5：切线/的方程：x->,-2=0(II>1.<I>S)f(x)+g(x)=-3.V+2x,依题息得：方程X(X2-3*+2-，H)=O有三个互不相等的根0,0占，故若，事是方程/-3x+2-,"=O的两个相界实根，所以9-4(2-w)>0=w>-：4又对Ki造的xwa,毛，./Ot唯浙WeaT恒成立，特殊地，取X=XI时，."q)+g(X)-mi<成立,即0<-;W="i<0H1.韦达定理知：x1.+X,=3>O.v1x,=2-m>O.故O<.q<.q,对随意的xga;.七,有x-x2Q,x-x1.>0.x>0.则：f(x)+g(.r)-，"X=.v(.v-x1)(x-x,)O；又/(.r1)+g(.v1)-wv1=O所以函数在XWA%上的最大值为0.于是当，<0时对随意的XGh,毛,人立七彩XwMTM成立：综上：，”的取值范围是(一,0).4点评，本题主要考查函数.导数.不等式等基础学问.同时考查绘合运用数学学问进行推理论证的实力,以及函数与方程和特殊与一般的思想.«富状元笔记【万名妙招度的息缚】利用导数求出的数的值(或值域)后，再证明不等式.利用导数解决不等式恒成立问题不等式恒成立何跑,一般都会涉及求参数范1礼往往把变量分别后可以轴化为m>f(x)(或m<f<x>)恒成立，于是m大于f(X)的蚣大值(或m小于f<x)的最小(ft),从而把不等式恒成立问题转化为求困数最值问题，因此，利用V数求函数地做是解决不等式恒成；"可题的一种重要方法。此外.无论是证明不等式，还是解不等式,只要在解题过程中须要用到函数的单调性或最(ft,我们都可以用导致作J1.具来解决.这种蟀避方法也是转化与化归思想在中学数学中的柬要体现。R品域费以M员用后间Saiai5】已知曲线,=玄上的点P(0.0),求过点P的切线方程.错解：因为Iim丝=Iim逅=Iim'_：,所以函数在X=Q处不行导.因此过PAUArmo,v,*02/(Z1.v)2点的切线不存在.正鼎由切线的定义，ArTO时需悔的极限位置为y轴，因此过P点的切践为X=O伏兀演越【冥!A满缪，4)IUrE1.(答题时间：45分疑)«&101远程网HCHNAHxJ.COM,一、选择感1 .设f(X为定义在R上的有函数，当XNO时，f(x)=2'+2x+b(b为常数，期f(1)=A.3B.IC.-I2 .I1.J曲线y=/.y=围成的封闭图形的面枳为1 1C1.A.B.-C.-12433 .函数/")=2'+3x的零点所在的一个区间是A.(-2.-I)B.(-1.0)C.<0.1>4 .曲线Y=-J在点<-.-I)处的切线方程为X+25.如图.一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面.记r时刻五角星露出水面部分的图形面枳为Sa)(S(O)=。)，则导函数y=s'(r)的图像大致为A.y=2x+1B.y=2-C.y=-2-3二、解答卷：1 .设生O,f(x)=X-I-In2A-I2aInx(.r>0)*(I)令F(X)=.xf,(X).探讨X)在(0,+8)内的单调性并求极做；(I1.)求证：当jc>时.IfiW.t>1.n2-2aInx÷1»2 .已知二次函数y=g*)的导函数的图像与直规y=2x平行，且y=g(x)在x=-1.处取得最小值m-1.(m0)<设函数/(X)=电。X(1>若曲战y=/(K)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为I,求m的他；(2>J1.(AG/0如何取值时，函数y=/(X)-AX存在零点，并求出零点.3 .已知X=3是函数/()=1.n(1.+)+2-IOX的一个极值点.(I)求。：(I1.)求一数H(X)的单调区间:(III)若£1跷S=O与函数)，=/5)的图像有3个交点，求力的取伯莅困。美好的结局往往来自于艰难的过程."t3IO1.iS置教育网9chtuh¾kx>/,雪试纯筌案一、选择题1. D因为f(x)为定义在R上的布函数，所以有f(O)=20+2O+b=O,解得b=1.,所以当x0时，f(x)=2x+2x-1.,BPR-I)=-R1尸-(2,+2×1.-1.)=-3.故选D2. A出题急得；所求封闭图形的面枳为1.(XjX')dx=1.X1.-1.XI=-,故选A.34123. B因为f(-1.)=2T-3vO/(0)=2,-()=1.>0,所以选B4. A2/=彳r,所以R=y',=2,故切线方程为y=2x+1.5. A二、斛答题：1 .(I)解：依据求守法则有FCO=I-为竺+网，x>0,XX故尸（八）=,*'*)=x-21.nx+稣x>Q9于是尸'(x)=2=上，>o,XX列表如下：X(U2)2(2+)F,(x)一0+F(X)微小值F(2)/故知RK)在(Q2)内是诚函数，在(2,+8)内是增函数,所以，在X=2处取得微小值F(2)=2-21.n2+2,(【)证明：由。»0知,f(X)的微小值/(2)=2-21.n2+2>0.于是由上表知，对一切X(0,+8),恒有F(X)=Jf()>O°从而当.r>0时，恒有r*)>0,故/(x)在+8)内单调增加。所以当x>1.时，f(x)>/(1.)=0.tPx-1.-1.n2x+2zdnx>0.故当X>I时,恒有X>In2X-2uI11+1.2 .解；(I)设g(x)=0v2+zr+c,则g'(x)=2&r+>:又g'(x)的图像与直戏y=2x平行.2a=2.«=1又g(x)在X=T处取得微小值,-=-1,b=2.'.g(-)=a-h+c=-2+c=m-.c=ni/(x)=-=x+-+2.设P()Fo)XX=2Xg+22y211r+2则=E+(yn-2)：=X：+卜"+?).2y2nf+2=4，,=±乎(2)由y=()-k=(1.-A)x+t+2=0X得(I-A)V+2x+,"=0(*)当A=I时.方程(*)有一解.函数y=(r)-j1.r行一零点x=-£：当女WI时，方程(*)有两解U>A=4-4,M1.-A)>0若，”>0，>1.-,11函数y="x)-丘有两个零点：xJ±*4y=3”*)：若j<0k<-,函数y=(x)-b有两个事点：-2±中-4讯101±正MI-U:m八,2(1-A)k-1.当AKI时，方程(*)有一解=A=4-4"MI-R)=O,J1.=I-1.，函数y=/()-h有一零点X=3 .解：(I)因为/'CO='+2*-*).+x所以(3)=+6-10=0因此=1.604当吗MAQ至+2-。=2卜一4x+3)=2(*-3)(T1.+xx+1.v+1Ih此可知.当Xe(1,3)时./(x)单词递减.当,re(3,+力)时./(x)单调递增,所以,当=16时.X=3是函数/U)=a1.n(1.+x)+x2-IOx的一个极低点.于是，«=16-(I1.)i1.1.<I)知，/(.V)=161.n(1+x)+X2-1Oa,x6(-1.+<x>),f2(*-3)(I)当xw(-I,I)J(3,+8)时，,(x)>0当w(1.3)时，/'(X)<0，所以/C0的值调地区间是(一1,1),(3,+oc)，/(x)的单调城区间是(1,3).(IH)y=h与y=()的图型彳3个交点：等价于f(x)=b有3个实数根：即/(x)8=0仃3个实数根：此时,函数/(x)-6的图象与X轴有3个不同交点.令奴X)=/(x)-Z>=161.n(1.+x)+x2-10x-.则(x)=-+2-IO=2(*T)(t3)(X>_),令"(x)=0,解得x=1.或x=3,'(x),*(x)1.¾x的改变状况列表如下:X(-1)I(3)3G+8)9,(-r)÷00+伊Z极大伯微小小/W(I)为极大值,w(3)为微小值。由表可得y=>(x)的示意图：为使y=w(x)的图您与X轴有3个不同交点,必衢y=e(x)的极大值大于零，微小值小于零-即夕>0.(3)<0,可化为1.61.n2-9->0(><161n2-9,解得1.321.n2-21-><0,U>321.n2-21,321n2-21.<Z7<1.61.112-9.