导数习题 答案.docx

一.解答A1.(共9小愚)1 .已知a>0,函数f()=Inx-ax2.x>0.(I)求fX)的单调区间；(11若存在均属于区!叫1,3)的,6，且B-吟1,使f()=f(>,证明方311.n2<&<呼2 .已知函数fX=XInX-2x+a,其中aWR.(I)求f(x)的单周区间：(2)若方程f(X=0没有实根.求a的取值范圉:(3)证明：1.n1.+21.n2+31.n3+.+n1.nn>(n-1)2,其中*2.3 .己知函数f<x)=ax1.nx(aO).(I>求函数f(X)的单调区间和股值：(11)若m>0.n>0,a>0,证明:f(m)+f(n)+a<m+n)In2f<m+n)4,已知函数fX)=2c'-X(1)求f(X在区间-1.m(m>-1)上的最小值：(2)求证:X>1.n,x>1.n2时,恒有2e'-y-2>(1.+1.n2)x5 .设a为实数，函数f(x>=e,-2x+2a,xR.(I)求f(X的单圜区间及极依；(2)求证：当a>1.n2-I且x>0时.cx>x2-2ax+1.6 .已知函数f(X=In(x+2)-a<x+1.)(a>0>.(1)求函数fX的单调区间：(2)若x>-2.证明：(x+2)x+1.x+27 .已知函数f(x)=In(x+1.)-X.(I)求函数f(X)的单调递减区间；<11>若>-1.,证明：I-击V1.n(x+1.)<x8 .已知函数f()=ax+-(a>0)X(1)当a=1.时,利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0.1内是单询减函数：(2)当x(0.+8)时fx21恒成立，求实数a的取值范围.9 .已知函数f(X-.X(I)当a<0,x1.+-)时，推断并证明函数f(X)的单佣性(2)若对于随意XW1.1,+b),不等式f(X)>0恒成立，求实效a的取值范阻.参考答案与试题解析一.解答(共9小1 .已知a>0函数f(X)=InX-ax2,x>O.(I)求f(X)的单调区间：(H>若存在均展于区间U,3的,B，且B-S1.使f()=f(>,证明1.n3；1.<a<塔.OJ为利用导数求闭区间上函数的最低：利用导致探讨函数的单调性.点：专综合胭。分析:18：由f，(X)+2W中，XE(0«),令3=。，解得,=.列表探讨旎求出f(X)的单周递增区间和单调速战区间.川)由f（八）=f()及的结论却a<21.2a<,从而f()在a,可上的殿小值为f.由6-aZ1.a.1.3,知1.a283.由此能够证明1.n3-1.n2«111253解2答：(D解：F(x)=-2ax=1-,x(O,+).X2当X改变时，r。fX)的改变状况如下表：X(0,导华(号,+CO)/a/a/af(X)+0f(X)个极大i所以,f(X)的单询递增区间是(0,冬).f(X)的单调速战区间是从而fX在a.上的最小值为f（八）.又由B-a21.a.1.,3,知1.a2<3.(f(2)>f（八）>1,1.n2-4a>-avf(2)>>f(3)1.n2-4a>1.n3-9a从而代写点本的考查函数单调区间的求法和利用导致求闭IX间上函数最值的应用,考查化归与评：转化、分类与整合的数学思想,培育学生的抽象概括实力.推理论证实力、运算求解实力和创新意识.2 .1.1.afi(f<x>=x1.nx-2x+a.其中aR.(1)求f(x)的单词区间：(2)若方程f<x>=0没有实极，求a的取值范围：(3)证明：1.n1.+21n2+31.n3+.+n1.nn>(n-1)其中n2.苫.专版分W.不等式的综合：利用导数探讨函数的IRiHi性：数学归纳法.证明鹿：媒合题：转化思想.< 1)利用导数求出函数的极值，然后求f(X)的单园区间：(2)若方程f(X)力没有实根，由(1可汨f<x在x=e处取得微小伯，且f(x)=O没有实根，即可求a的取值范困：< 3)方法一：利用Vx>0,XInX>2x-3恒成立，即可证明1n1.+21n2+31.n3+.+n1nn><n-1)2.方法二：利用数学归纳法验证n=2成立，然后通过假设，证明n=k+1.不等式也成马上可.解：(1)由即意可知：r(X)=Inx-1.令r(x)=0,寿x=e,(1分)则当x<0.e)时，r<x><0,f(X)单调递减；(2分)当XW<e,2)时，f<x>>0,f(X)单调递墙(4分< 2)It1.(1)可得f(X)在X=C处取得微小值且f(X)=0没有实根.(6分)R1.minf(x)=f(c)>0,即a-e>O,解褥：a>c(8分)< 3)方法I：由<2>得，令a=3>e,f(x)=XInN-2x+3>0成立，则Vx>O,XInX>2x-3忸成立(10分)故In1+21n2+31n3n1.nn=21.n2+31n3+n1.nn><22-3)+(23-3)+<24-3)+(2n< 3)=2*(n+2)9tn-n-3(n-1.)=(n-I)2,即窗证.(14分)方法2：数学归熟法(I)当n=2<2>at,In1.+21n2>1.2(3)成立：(4)当n=k<5>时,In1.+21.n2+31n3+k1.nk>(k-1)2<6>成立，当n=k+1.时，In1.+21n2+31.n3+k1.nk+<k+1.)In(k+1.>>(k-1)2+(k+1.)In(k+1.>同理令a=3>e,x1.nx>2x-3.即(k+1.>In(k+1.)>2(k+1.)-3,(10分)则(k-1)2+<k+1.)In(k*1.>>(k-I)2+2<k+1.)-3=k2.(12分)1.½1.n1.+21.n2+31n3+k1.nk+(k÷1.>In(k+1.)>k2.Bf1.In1.+21.n2+31.n3k1.nk>(k-1)2jn=k+1.也成立,综合(1)<2)得：Vh2,In1.+21.n2+31n3+n1.nn>(n-I):恒成立.(14分)本翘足中档遨.考查函数的导致的应用,不等式的综合应用,数学归纳法的陶用.考杳计完实力，转化思想的应用.3 .已知函数f(X)=ax1.nx<a»0).(I>求函数f(x)的单调区间和最值:：11>Zrm>0.n>O.a>O,证明：f(m)+f(n)+a<m+n)1.n2f<m+n)考利用导致探讨函数的单调性：利用导数求闭区间上函数的最值：不等式的证明.点专踪合馥.题分(1)求出r(X).然后让其大干。得到递增区间,小于。得到递减区间,依据函数的析增减性得到函数的极值即可：(2)要证明此结论成立.只倦证f(m)+f(n)+a(m+n)!In2-f(m+n>O,设把不等式左边化简得到ank1.nk+<k+1.)设g(k)=k1.nk+<k+)得到其导函数大于O.g(k>g(1)=0.又-.a>0,n>Q,，左边-右边20,得证.解解：(I.r<x>=a1.nx+a(x>0),令f(x)20,答当a>0时，即InxZ-I=Ine1./.>e-1=x-.+co).CC同理.令f(X>40可徨(0,-.f(X)的调递增区间为1,+co),单调递减区间为(O,-1.由此可知尸f(X)iun=V)=U根大值.当aV0时，令(x)20即InXf-I=Ine1.x<e1U.(0,-.同理,令f(XO可得XE，+8).f(X)单调递增区间为(O,-i.单调递减区间为,+).由此可知y=f(x)=f()=-9此时无最小值.IVKee(11)Es不妨设mn>0,则m=kn<k1.>i-ti=a(m1.nm÷n1.nn÷(m÷n)1.n2-(m÷n)Inn(m+n)J=akn1.nkn+n1.nn+(k+1.)n1.n-7：-1=(k+1.)nakn1.nk+(k+1.)n1.nf=ank1.nk÷(k+1.)1.n-77-r(k+1.)(k+1.)令g(k)=k1.nk+(k+1.)In-z,2,则(k+1.)2(k+1.)'(k)=1.nk÷1.+1.nfJ(k+1.)22k1.nk+1.ng+1)=3(k+1.)XK十1/Z>.g(k)g(I)=0,又.a>0,n>0,，左边-右边式)，得证.点考查学生利用导致探讨函数单调性的实力，利用导数求比区间上函数最值的实力，驾坡评证明不等式方法的实力.4 .已知函数f<x)=2e'-X(1)求f(X)在区间1.1.m1.(m>-1)上的最小值：(2)求证：X>1.n-,x>1.n2时，忸有2ec-2-2>(1.+1.n2)x考.专卷分批解羯利用导致求闭区间上函数的最值：导数在最大伯、最小依问应中的应用.计算题；证明咫。(I)求出f(X)的导困数，令导函数为O求出根，通过探讨根与定义域的关系，推断出函数的单词性，求出函数的最小(ft.(2)将不等式变形，构造新南数g(X).求出gx的号函数，通过推断导南数的符号推断出其单词性,进一步求出其最小tft得证.解(1)当f(X)=2cx-1=0.叫二尾当!D<1.n如r(X)VO,f(X在T，m上单调减,则f(X的最小值为f(m)=2cm-m当m>1.中,(7,1啖上递减,(呜，+8)上述墙，则f()的最小值为f(1.n=I-InA22(2) g()=2ex-2-2-(1.+1.n2)Xg'(x)=2ex-x-I-1.n2=f(x)-1-1112由(1)知当11>>1.ng时，f<x>的最小值为f(1.n-)=1-1.n=1.+1.112所以当x>1.n2时g<x>>0.g(X)在(In2,+«)上总网递增.所以g(x)>g(In2)=2-I(1.n2)2-1.n2>0所以2e'-2-2>(1.+1.n2)x求函数在区间上的最值,常利用在函数推断出函数的利用性,选一步求出函数的M评：竹：证明不等式向超常速过构造新函数，转化为求解数的最值同Sfi5 .设a为实数,函数f()=cx-2x+2a.xR.(1)求f(X)的单调区间及极值：(2)求证；当a>1.n2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.考利用导数探讨函数的极值；分数在最大值、最小侑问题中的应用.点：专计算SS,18：分(1)f(x)=e*-2x+2a,xR.知6=/-2,xR.令f()=O,得x=1.n2.列折：衣探讨能求出f(x)的单调区间区间及极值.<2)设g(x)=e'-x2+2ax-1.xR.于是g'(x)=ex-2x+2a.xR.由(1)知当a>1.n2-1时,g,<x)最小值为g'(1.n2)=2(1-In2+a)>0.于是对随意xR,(X)>0,所以g<x>在R内或调递增.由此能膨证明cx>1.2ax+1.解(1)斛：Vf(X)=et-2x+2a.xR.答：.r<x)=cx-2.xR.令，(x)=0.得x=1.n2.于是当X改变时,F(X1,f(X)的改变状况如下表：X(-<»,1.n2)In2(In2Xe)f<x>0+f(X)单网递减2<17n2+a)单隔递增故f(X的单调递减区间是<-«,In2).单调递增区间是(In2,+-).f(x)在X=In2处取得微小值.微小值为f(In2)=e1.n2-21.n2+2a=2<I-I112+a).(2)证明：设g(x>=cx-2+2ax-1.xR.于地g'(X)=e'-2x+2a.xR.由知当a>1.n2-1时.g'(x)最小值为g,(112)=2<1-In2+a)>0.于是对随意xWR，都有g'(X>0,所以g(X)在R内单调递增.于是当a>1.n2-1.时，对随怠x(0.+-),都有g<x>>g(0).而g<0)=0,从而对随意x(0,+).g<x)>0.UJex-x2+2ax-1.>0.1½cx>x2-2ax+1.点本即考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明,详细涉及到导数的性质、评：函数增战区间的推断、极值的计算和不等式性质的应用.解应时要细致市四，细致解答.6 .已知函数f<x>=In<x+2)-a<x+1.)(a>0>.(1)求函数fX的单调区间：(2)若x>-2.证明：I-S1.n(X+2x+1.利用导数求闭区间上函数的最值:利用导数探讨利用的单调性.综合题。(12a1-a(X)(1)函数f(x)的定义域为<-2.+),(X)a=三x+2x+2IIIa>0,能求出函数f(x)的单调递区间.(2)由知，a=1.时，f(X)=In<x+2)-(x+1.).此时f(x)的单调递增区间为(2,-I),单调递减区间为(1,+8).所以，x>2时.g'(X)=-1.-X=坦F，由此能证明当x>-2时，I-1.nx+2(x+2)2(x+2)2x+2(x+2)x+1.解：(1)函数f(x)的定义域为(-2,+8),(1-2a、一、1ax+1.2a-aG-二)(x)-a=x+2x+2x+2.a>0,-=1-2>-2.aa令r(x)>0,得-2VV,a令，(x)<o,得a所以函数f()的单调通增区间为(-2,匕红)，单调递减区间为(匕在，+8).aa(2) It1.(1>知，a=1.H1.f<x)=!n<x+2)-(x+1.),此时fX)的单调逆培区间为(-2,-1>,单调理M区间为(-1,+8).所以.x>2时，g'()=J_1=x+1市72(711,当x(-2,-D时，g'(><0.当xW(1,+8)时，g'(X)>0.二当X>2时,g(x)g(-1.).即n<x+2)!>0.x+2/.In(x+2)1所以,当x>2时，1(x+2>x+1.考交运笄求解实力，推理论证实有肯定的探咒性,对数学应推实力细致解答.本的考查函数的单调区间的求法，证明不等式.力：考查化归与转化思想.嫁合性强,难度大.要求较高.是高考的咆点.要求时嘤细致审考.7.已知函数f(X)=In(K1)-X.(I>求函数f(X)的单调递减区间;（三）若>-1.,证明：-±<in(x+1.)<x考点专题分花利用导数来闭区间上函数的最值1对用函数的定义域；利用的数探讨函数的单调性.综合时<I>函数f(X)的定义域为(-1,+b>.r(N)由此能求出函数f(X)x+1.的单两递减区间.n)由(I知，x(-1,0)时，f(X)>0,当x(0.F)时，f(X)由此能够证明当x>-1时,<0.故In(x÷1.>-x0.In(x+1.)x.令g()=In(x+1.)+1W1.x+1I-<1.n(x+1.)x解答:-.(2分)x+1.(I)解：函数f(X)的定义域为(7,+8)由r<x>Vo及>-1.得x>0.，当XW<0,+8时，f<x>是诚南敬，UJf(X)的单调递减区间为<0.+8).4<11>证明：由(I)知，当x(-I,0)时，f<x>>0.当x<o,+8)时,r<x><o>Wft.当x>-1时,f(X)f(0).即In(x+1.)-x().In(+1.)x.(6分)令g(x)=In(x+1.)+-TT1x+1.蜘(X)=W(x+1.)2(x+1.)了.(8分).当x<-1.0>时.g'(x)<0.当x<0.+8)时，g,(x>>0.-10当x>-IW.g(X)g(0).即In(x+1.)+-1.0.x+1.,In(x+1.)>1-x+1域上可知，当x>I时.有I-+<1.n(x+1)<x.(12分)点本SS考查利用导数求闭区间上函数的最侑的应用，考育运算求解实力，推理论证实评：力；考查化归与转化思想,对数学处推的要求比较高，有杵定的探究性,粽合性强,难度大是拓考的重点.斛题时要细致审遨,细致解答.8.已知函数f(x)=ax+&(a>0)X(1)'a=1.Br,利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(O,I内是单调减函数：(2)当x<Q,+8时f<>21恒成立，求实数a的取值范围.考的数单调性的推断与证明：函数恒成立问跑.专计算即。题分1)先随意取两个变显，且界定其大小，再作差变形看符号，用意变形到等价旦到析位.：<2)先化筒不等式，f(X)>0,再由分式不等式等价转化整式不等式a1.+1.O恒成立，然后采纳分别行数法求实数a的取值范用即可.解解：(1)随蔻取XI，X2(0.1)且XVX2答：f(x)-f(x2)=(X1+-)-(x2+=(XI-X2)(I-XIXi)=(XI-X2)；j因为X1.VX2，所以X1.X2<0O<X1X2<I.所以X1X2-VO所以f(XI-f(X2)>0.即f(XI)>f(X2).所以f(X在(0,1上是单调减函数.2(2),(0.+8),f(X)=aJ=21.±1.>恒成立，XX等价于当x(0.+*»>时a2.+0惧成马上可,J.aXJ在XW(0»+8)恒成立又A<0,+8).XCX令g<>="Ju-(2)2+-1.=-(-i>2*-X2XXX244故a的取值范用口，+8).4点本Sg对学生的程度要求比较高，有泞定的难度，主要考杳利用函数单调性求函数的最评,i.及不等式的等价转化思想,考查运算实力福中档起.9.已知函数f(xfX(I)当a<0,x1.+8时，推断并证明函数f(x)的单网性(2)若时于随意n1,+g),不等式fX)>0恒成立，求实效a的取值范用.考点专规分心解羯函数恒成立问题：函数单调性的推断与证明.计算题。<1)依据函数单调性的定义说明，设XI，X21.+«).X1.VX2,然后判定f(XI-f(XZ)的符号，即可得到函数的单调性:(2)先用分别常数法把函数分别，再分F和1的大小进行探讨,并利用函数的单蠲性来求f(x)的最小值.即可求得实数a的取值范围.解：(1)当aVO时,设X1X21.+8)X1.VX2、1.x2Xi>X21.+>.X1.VX2，a<O.f(XI)-f(X2)<0.f(XI)<f(X2)所以函数fX在(1.+8)上为墙函数.(6分)(2)函数f(X)=Xd2在(0,爪上是减函数，在F，+«>上是埴函数.X若>1,即a>1.时，f(X)在区M1,+8)上先收后增，f(X)min=f()=2Va1-2.若1.UPO<a1.时，f(X)在区间II,*«)上是地函数.f(x)min=f(I)=a+3.而不等式f<x>>0忸成立，说明a+3>0,得a>3求实数a的取值范围(-3.+8.本即主要考杏利考查了利用导致探讨函数的总网性，以及用函数的值域解决不等式恒成立的条件，屈于中档题.还考杏分别常效法在求用数值域中的应用，分别常数法求函数值域一般适用于分式函数,E1.分子为二次形式，而分母为一次形式的鹿.1.+2x1.+ax2+2x2+af(XI)-f(X2)=x1.x2_(X1.-X2)(xX2-a)