常用逻辑用语典型例题.docx
常用逻辑用语】.命题与其真假推断可以推断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.例1下列语句哪些是命题，是命题的推断其真假.方程a2-2x=0的根是自然数；sin(+S)=Sina+sinQ(,乃是Bfi意角);垂直于同一个平面的两个平面平行；函数y=12x+1是单调增函数;非典型肺炎是怎样传染的？奇数的平方仍是奇数;好人一生平安！解方程3x+1.=0;方程3x+I=O只有一个解;3x+1=0.解析都是命题，其中为真命题.【点评1是疑问句，是感叹句，是祈使句都不是命题，中由于X的值求给，故无法推断此句的真假，因而不是命题.误区警示)含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题.(2)复合命题的真假推断是个难点，当干脆推断不易着手时，可转为推断它的等价命题逆否命题，这是一种重要的处理技巧.例2推断命题：“若a+b7,则g3,且6=4”的真假.解析】其逆否命题为：“若a=3或a=4,则a+b=7”.明显这是一个假命题，原命题为假.2 .四种命题的关系留意：若"，则“，不能写作“k/',因为前者真假未知，而uPnd'是说“若B则/是一个真命题.(2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价.从而四种命题中有两对同其同假.(3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系.例3】写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：(I)VN,若A是完全平方数，则EN;(2)Va,bR,假如a=b,则a2=ab;(3)假如x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;(4)假如a,b都是奇数，则ab必是奇数.(5)对于平面对量a,b,c,若&b=aG则b=c.解析(1)逆命题：v11N,若«N,则A是完全平方数.(真)否命题：N,若a不是完全平方数，则旧N(真)逆否命题：nN,若3N,则n不是完全平方数.(真)逆命题：Va,bRt若a2=ab,则a=b(假)否命题：Va,bR,若ab,则ab.(假)逆否命题：Va,R,若a2a则a)(真)(3)逆命题:若(x-3)(*-7)=0,则=3或7.(真)否命题：若x*3且x*7,则(Jf-3)(x-7)0.(真)逆否命题：若(x-3)(x-7)w,则x3旦x7.(真)(4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数.(假)否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数.(假)逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数.(克)(5)逆命题：对于平面对成&、AG若B=G则&b=ac(真)否命题：对于平面对量ab、c,若&C,则bwc(其)误区警示"P或，'的否定为“绑P旦睇疗；“P旦，'的否定为“梆P或然法.实数Ay=0,则有x=0或y=0,向成&、b满意&b=&。不能得出b=c.3 .St词与复合命题(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有一亲密的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解.逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图.含有逻辑联结词的复合命题真假推断，要以真值表为标准.例4分析卜列命题的构成，并用“A”、"V”或“绑”表示出来:(I)X+1是3+a2-x-1与X3+1的公因式；(2)方程a2=1的解是x=±1.;(3)点(3,4)不在圆2+2-2x+4y+3=0±(4)33.例4分析下列命题的构成，并用“A”、“V”或“稀”表示出来:(1.)x+1.是3+a2-*1与x3+1.的公因式；(2)方程a2=1的解是x=±1.;(3)点(3,4)不在圆2+j2-2x+4y+3=0±(4)33.解析(1)。Aq形式，其中,：x+1电3+2-x-1的因式，q.at+1是a3+1的因式.PVg形式，其中p:方程；v2=1.的一个解是x=1.,<7：方程2=1的一个解是X=-1.(3)穿形式，其中0：点(3,4)在圆北2+/22*+4旷+3=0上.(4)PVq形式，其中。：3>3,q：3=3.误区警示若把方程北2=1的解是x=±1.,写成简洁命题Ra2=1的解是X=1,02=1的解是x=-1,PVg形式，就错了，从真值表推断，P,q都是假命题，但原命题为真命题.例5写出下列命题的否定，并推断真假.(1.)p：有些三角形是直角三角形.(2)p:方程2x+1.=O有一负实根.(3)p:三角形的两边之和大于第三边.P存在实数q<O,使方程A2+2x+q=0无实根.解析(1)狒P：“没有一个三角形是直角三角形”.(假)(2)韩。：“方程2x+1.=0无负实根(假)(3)p：”存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”.(假)(4)。：“对随意实数小0,方程H+2*+q=O都存实数根".(真)4 .充要条件(1)若“尸/'，则。是q的充分条件，q是。的必要条件，即：方了P成立，则确定有Q成立，即使。不成立，q也可能成立；。不成立，则。确定不成汇.(2)区分'力是"的充要条件”，“p的充要条件是，'说法的差异.例6(09四川理)已知a,btc,d为实数，且ed,则“a>Zf是ua-ob-c的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.【答案】B解析I1.1.eb-d变形为a-b>c-d,因为c>d,所以c-d>O,所以a-b>0,B1.a>bt.,.a-c>b-d=>a>b.而Ab并不能推出a-ob-d.所以a>b是a-eb-d的必要而不充分条件.故选B.例7已知p：2-8x-20>0,q.2-2x+1-a2>0.若P是q的充分不必要条件，求正实数&的取值范围.解析解不等式2-8x-20>0得p:A=xx>Gt或<-2.解不等式H-2x+1-a2>0得q：B=xx>+ay或XVIa,a>0.依题意，尸q但q=>p,说明为B.a>0于是，有，1.+"10,且等号不同时取得，解得0<a<3.、1a2正实数a的取值他围是0<a3.5 .反证法假如遇到正面证明一个问题比较困难时，可通过假设结论的反面成立，从假设动身，推证出明显的冲突，从而确定假设不正确，原结论正确.这种方法适合于结论本身为否定形式或含花“至少”“至多”等限制词的状况例8求证：若02+2=2,则。+q2.证明假设p+g>2,则p2+=(P-2+g+0211-(p+2>-×22=2,即炉+/>2,这与题设冲突.因此假设不成S.即。+q2成立.
