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抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线.抛物线的焦半径、焦点弦性质F富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的很多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳,说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例.一、焦半径、焦点弦性质如图，四是过抛物线=2px（p>0）焦点F的弦，AD.比是准线的垂线,垂足分别为仄C,4是卬的中点，”是3的中点.设点彳（均，R、氤B（&,，直线相交y轴于点款0,，则:W3一式匹若：/公IABI=x+x÷p=-÷-(S1.n分3c2d>.-<-OC；C，3杆上WYz-C:32snsinNAMB=NDFC=Rt/;/JJA4V是抛物线的切线;AJK为/分别是N%6和/烟的平分线:（6）AM、1.）Fy轴三线共点，BMCF、y轴三线共点:力、0、。三点共线，B、0、。三点共线：(8)若I/：IBFI=m：，点力在第一象限，为直线力4的倾斜角.则COS=F；初十以为直径的圆及y轴相切，以孙,为有径的圆及y轴相切;以46为直径的圆及准线相切.副V交抛物线于点Q则,。是制V的中点.万h=一万；汨=+:=!气ZiZiIABI=X÷Ja÷p=（为四的倾斜角）：.atf=,c8/-,sinZsinS-1.S3-Sid【证明】设过焦点%,0）的,仿的直线方程为x=”+£代入抛物线方程?=2W得/-2pmy-=Q,因此=一d，y+yz=2pm.另由得在RI中，FRA.CD,有RFI2=iDRRC,而IZWI=Iy1|,IRC=y21.P，且y2<0y=-.2又点力、8在抛物线上，有小=>,ZP11,1.父尸；(MK)'P*因此XiX2-o,o122p2p4p4自+cos1+cosI1y'+yz2pm2一1.I2>yyzMy*pp在直线AB方程*=my+g中令A-=O,1【证法一】依据抛物线的定义，I"RF'I=阅2%x2Tp得T代入上式得,I=IAD|=小+£BF=BCIAB=AF+BF=xxp又IAB=(x1-x)'+(jy1)'=1+'Iyi-yiI=y1.+叭I(h+%):-4mm=1+nfy411fp'+4p2=2(1+/)当办=0时，用=I=丁-=，有Ktansinp11c"1+后=1.+-=r*为直线力4的斜率）RF1-cosCOS同理，HF=RF1"I="+MuE2p1.÷cosSirr【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为=T则PRrP_P1-cos.''=2=1.-cos(+：AB=1FI+IBF=-+jz=.1-cos1+cossin=Sia"+S(w=4OFIIy1.+1.OFIIy1I=(Iy1.I+y乙乙乙乙I),弘必=-6，则M、先异号，因此，IM+M1.=y-JI2,Sd««=，y-yiI=%(+%尸4必必=知4而+46=41+:*1乙_A2sin,又CD=肪ISin=-,ID+|BC=AB=.sinsin，S机电Ag=5(AD+HC)CD=2×ifxi1,(1.11111»5111例1(2019年新课程高考文)设坐标原点为0,抛物线=2*及过焦点的直线交于4B两点、,则PT、F()3 3A.7B-7C.3).34 4【解】设Axxt)，(x,%),则7方77=xx2+y2=-p2=-J.故44选B.【例21(2009年福建理)过抛物线产=2ry(p>0)的焦点尸作倾斜角为45的直线交抛物线于力、夕两点，若线段47的长为8,则=.81.【解】由性质得AB-=Fjn5-=8，：,P=-Q-=4.TT+TT三P【证法一】由小M=彳，且I尸I=汨+今1BF=及+£1,1at1+a+p=-=Xi+卷Xi+j（航+断,（距+合汨+即+夕*必+S（*+即）小+夕吊+。_2?+夕乂+汨）+?夕X+p）P【证法二】由IAFI=I=*:>IBFI=t，J-F=1cos1cos（+）P1÷cos",111_11-cos_1.+cos2,*AFBF12PPp【例31（.2000全国）过抛物线y=af（a>0）的焦点6用始终线交抛物线于A0两点，若线段外及用的长分别是"、q，贝'十1等于（）PQ14.2aB.丁C.aD.一2aa【解】由y=a。得f=1.八（抛物线焦点到准线的距离为由此得+=a2aPQ4a,故选C.ZAMB=ZDFC=RtZt先证明：ZAMBRtZ【证法一】延长加交成的延长线于E,如3,则4"I=IEM,IEC=ADIBE=）+1CE=IBC-AD=BF+AF=ABI.月原'为等腰三角形，乂"是力的中点，.,.f±AE.即/用伤=RtN【证法二】取种的中点用连结MV,则I.WV=（AD+!BCi）=（1./1+1BF）=AfiI，/.,WVI乙乙乙=IANI=IBN.月即为直角三角形，仿为斜边，故/4伤=Rt/.【证法三】由己知得C（一M）、（一§,M），由此得W（一多”J号.,<V2超2卷+22._PP_A_Pvv一YiYz-P：.BM1.AE,即NziM=RtN.【证法四】由己知得夕一今上）、乙1（x+2,2），砺曲曲=（£+（弘一切）（一%）4炉+/4+/y'cik及=一1（一5乂），由此得必（一£1.j）.=v>n-7§）（%+§）+1.%+必,-py丁/、p<y）&.=_力一芳=（'一及）=一国础=XIAi+(由+*J+£y-yy-4+2+2p)+44=巨巫SR2222V.M1.F,故/4份=Rt/.【证法五】由下面证得/仁90,连结成，则同/=M又AD=AF,故/侬Z"W,如图4Z1=Z2,同理/3=/4.*.Z2+Z3=×180=90乙Z三=RtZ.接着证明：NM>RtN【证法一】如图5,由于I4?="I故可设/力折N力加"W=,同理，没/BFC=NBCF=NCFR=而N/Z>+4DFR+4BFC+ZOT=1802(+)=180,即+=90,故DFC=9G【证法二】取功的中点M即做一器吗当乙乙由前知九产，I一切一二PKc1.P1.PP71+2+2:.k甜=k*,AM/CF,同理，B/DF团：.NDFC=/AMB=9Q【证法三】=（p.-）»c（P，%）,.,.-ZF7T=p'÷=O：.Fr1.TF,故4DFC=90.【证法四】由于IRFz=-yiy2=DRIRC|,即谭&ZDRF=NFRC=90：.ADRFs丛FRC：./DFR=/RCF,而/%F+/砒=90：.4DFR+4RFg90：.NDFC=9。J1.例4（2009年湖北文）如I图7,过抛物线V=2px册一（QO）的焦点”的直线及抛物线相交于"、，¥两点，K自M“向准线/作垂线，垂足分别为以此求证：AM、是抛物线的切线【证法一】飞产j/W的宜线方程为，一切=彳（*一及抛物线方程了=2川联立消去X得yy'=2i2j)f整理得了-2yy+ji=0可见=(2”-44=0,故直线4V及抛物线"=2Px相切,同理”也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程尸=2内，两边对X求导，（.力，=（2内）一得2yy,=2夕，y1=,故抛物线=2内在点力（川，M）处的切线的斜率为Am=FsI，"=5.乂k巧w，即是抛物线在点力处的切线，同理用/也是抛物线的切线.【证法三】.过点H（M,%）的切线方程为力产=（*+x）,把"（一多'1.代入%K+必先2PX1.Bj左边=M.2=-=2=PX1.e右边=（一§+汨）=一修+,小，左边=右边，可见，过点/1的切线经过点M,即力”是抛物线的切线，同理ZW也是抛物线的切线.AM、川分别是N姐和N63M的平分线【证法一】延长小/交比的延长线于£,如图9,则/!侬比也有月。8C',AB=BE,.,.NDSf=ZAEB=ZBAM,即/W平分N以昆同理胡/平分NC物.【证法二】由图9可知只须证明直线,，历的倾斜角是直线,W的倾斜角的2倍即可,即=2.且以一人然当）乙乙_,匕-M1一乂2-.tan-Kw一="-Z2；×z-×y_Xh必+必22ptantan凶+%y）2-f一八y-M夕（二一%）PMKP*戏一25+J""y1.+p'%'2tan1tan2pr>2pm2py、2_（_£）2炉一/戈+力先凶+%=tan=2,即月W平分同理4V平分NC物.AM、DF.y轴三线共点，,CF.尸轴三线共点【证法一】如图10,设/加及加'相交于点G,由以上证明知IAD=AF,/用平分故月G也是加'边上的中线,.G是尸的中点.设力及卜轴交于点见以及y轴相交于点G，易知，！=|OF,DI/OF,WIXDDG会XFOGz：.DGi=FGJ,则G也是班的中点.G及&重合（设为点G）,则/原DF、y轴三共点,线同理"从CF、y轴也三线共点.【证法J4"的有线方程为尸一切=令>=0得fj/及y轴交于点G1.(0,全，又加的直线方程为尸一久(万一9，令X=O得卯及y轴交于点6(0,).,.fM炉及y轴的相交同一点6(0,¾,则/原DF、j，轴三线共点，同理用/、CF.y轴也三线共点/.由以上证明还可以得四边形W"石是矩形.0)4、。三点共线，及A。三点共线【证法一】如图11,u=-=-4-=-,Xy必而,必2必2py22pyi2pk<(=-_ppp-YM2儿，则月、0、C三点共线，同理以0、6三点也共线.【证法二】设及X轴交于点。,'：AD/RF/BCJROCOBFOFCBI-I=O1.=IWAF=ABVV1.nI_Ijf,.IIz,z.I.ROI0F又AD)=)AFI,BC=B卜，.=&)RO=0A1.,则0及0重合，即U0、/三点共线，同理、0、8三点也共线.【证法三】设4C及*轴交于点0,RF/HC,2,ICkII应II-II跖II力尸I1PU户11_-AF|+|BF11-211FT+【见证】:.0及。重合，则即G0、/1三点共线，同理、0、夕三点也共线.【证法四】.而=（一5必），3T=（汨，y1.）,.pP/pmyx-y,Py1.Ip2y1.5'1.M=-2=-T-=-÷V=°R1.E、且都以。为端点"、0、。三点共线，同理从0、三点共线.【推广】过定点/（"0）的直线及抛物线/=2日（0>0）相交于点力、&过月、3两点分别作直线/：X=-R的垂线，垂足分别为"、比则从0、*三点共线，B、0、三点也共线，如下图：【例5】（2019年高考）设抛物线=2后>0）的焦点为尸，经过点的直线交抛物线于从夕两点，点C在抛物线的准线上，且极力X轴.证明直线4C经过原点0.【证法一】因为抛物线产=2四（夕>0的焦点为/'（-根，:八%=一d因为8C'*轴，且点C在准线x=一与上，故。（一5%）,乙乙"线的斜率为*'=±d="七2宜线经过原点。.【证法二】如图13,过力作月。_1_/,。为垂足，则：AD/EF/BC连结力C及8相交于点M.酬IGV1.I跖IINF3ADACAB,BC!mIAB由抛物线的定义可知：i/I=I力i,IBF=BCADBFAF*BCIABI=IABINFI.即，是£尸的中点，及抛物线的顶点。重合，所以直线月。经过原点0.COSm-n=用【证明】如图14,过力、4分别作准线/的垂线，垂足分别为D,C,过"作BE1.AD于E,设/I=%I=/”,则AD=AF,IIiC=BF,IAE=ADIBCI=(IB-Ii)t.在Rt/跖中，CoSN三=：+：(=m-nm+n若IAFIBF1.fnt点/在第一象限，为直线盟的倾斜角.则.cos=COSN.BAE=m-nm-3rri【例6】设经过抛物线尸=2小的焦点的直线及抛物线相交于两点力、,IIIAF：BF|=3：1,则直线W的倾斜角的大小为【答案】60或120以"为直径的圆及尸轴相切，以明为直径的圆及y轴相切；以AB为直径的圆及准线相切.【说明】如图15,设C是心的中点,2÷则后的坐标为（一-,f+x'1则点£到9轴的距离为占=I故以力八为直径的圆及一轴相切,同理以加.为自:径的圆及y轴相切.【说明】如图15,设"是/出的中点，作MVJ.准线/于此则I辘=:(/1+BC)=(AF1+BF)=Afi乙乙乙图则圆心J/到/的距离I网=IIAB|,故以/切为直径的圆及准线相切.M交抛物线于点Q,则0是树的中点.22【证明】设/1脸，切），B%;M）,则。（一枭必）,（一5，力），乙22z,Pi+a,v+Xm"?"2bjV("V>设也V的中点为0，则。J)+«1+必¥54_-2"+M+_2jim+"+jW_12,_28p8p2p；点,Q在抛物线y=2px±,即。是J仰的中点.二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）（1序行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图17.【证明】如图17,设抛物线方程为尸=2处（0>0）,宜线,，出X轴,点A的坐标为（即，必），则过力点的切线方程为为r=,（x+幻，直线/的斜率为=A设Jn直线力8到1的角为，则tan=艮,设直线"的斜率为如则4=一x-22夕为*-22y-p设直线/到力的角为2pya_p则tankh_:一K_0(，+")_1+A1%P20%(÷P2)KH-:K-P'tan=tan,又、0,),则=也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的住占.图18【例7】（2019年福建省质检）如图18,从点Ia2）发出的光线沿平行于抛物线=4的轴的方向射向抛物线的点反射后经焦点厂又射向直线/：*一2/-7=0上的点*,再反射后又设回点M则Ab=.【解】/利X轴，点在抛物线上，得的坐标为（1,2）,经过网1,0）点后反射在。点，则。的坐标为（1,-2）,经设J/关于/对称的点为J/,依题意，Q、N故可设。（汨，-2）,由此得£_；3_7=o,解彳.22【另解】若设O关于直线7的对称点为Q,设于直线/对称，由此得呼.JHIa12I5Ia÷1.b-2,解叫18I2227-°t5又M、N、Q三点共线，儿=A,即匚Z射后点、的坐标为（3,-2）,.1/共线.fo=6.Q（4份，由于。、Q关则。的坐标为g,-y）.竺51_2+2J八-0-3,x6.若C（痴见）是抛物线寸=2px（p>0）上的任一点,的直线交抛物线于尔B,则直线初过定点（2什,*22【证明】设/!（：,s）、8（工，t）（s,t,必互不相等：过C引两条相互垂直居ZPZP那么，由IC1.8C得,必一SMTJ,三5ryIwey-三三三三三n2p°2p因展，M-S一t4/旦旦_r(%+s)(必+1)2p2p2p2p.*.4p*=-(M+s)(m+t).,.St=-Aff-(s+tya-y0又直线,伤的方程为=予-*J,整理得，尸犯鲁tS广6S-12p2p把代入得y=2.Y4方一（s+力以一炉s+t2y4一22刘s+t(.-2p-n)-y0令-rp-%=Q,E1.Px=2p+x<i,得尸一%故直线Afi过定点（2p+X11,-/（.）.特殊地，当C是抛物线的顶点时，定点尸的坐标为（2p,0）.【拓展】，（痴R是抛物线=2a（p>0）上的肯定点，直线池及抛物线相交于4、6两点（都异于6,若直线CA>应的斜率M、岛的乘积为定值叫那么，直线检过定点（痴一名，-）.2Z7【例8】（2000京皖春季高考）如图20,设点力和为抛物线yf=Apx（p>0）上原点以外的两个动已知U阳OM1.AB,求点.V的轨迹方程，并明它表示什么曲线.【解法一】点儿在抛物线炉=4"上，22R（V-设水比，乂）,竭!，外），M如的斜率分别为J(-2-，1.<，AW-22IZ1%Z_22Z1.+刀APApAp由。1.1.第得底羔=色2=1y*22.'直线/16方程为，yZ/=T(a,-,即(乂+词(yp)=4p(-1)y.vy»4p4由如1.出，得宜线V方程尸弋产Y设点"(X,力，则X,y满意、两式，将式两边同时乘以一面，并利用式整理得，2+yy-(+)=0【解法二】由性质(2)易知力8经过定点尸(4夕，0),由于加_被那么，W的轨迹以(2仍0)为圆心，以2为半径的圆，去掉坐标原点.其轨迹方程为r+y4px=0(atO).(3渤物线=2px(p>0)的弦命的中点恰好在定直线hX=Bi(>0)上，则线段电的垂直平分线过定点MHr0).【证明】如图22,设力（乂，y）,（x2,y2）»（加，那么”U=2px2OKM:一得"一E=2p（*-A）卜.直线AB的斜率5纥*=-=ZxX-Xi必十必M限.宜线加的斜率%w=；=-P."的直线方程为y-y0=（X-而令X=O,得x=m+p直线力A的垂直平分线恒过定点（m+m0）.【例9】（2019湖南理科高考）若小8是抛物线=4x上的不同两点，盛AB（不平行于y轴）的垂直平分线及>轴相交于点儿则称弦力4是点尸的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定b>2.证明:点尸（龙，0）的全部“相关弦”的中点的横坐标相同：（略）【说明】应用性质，由已知得=2,由定点夕（照，0）得什=%，故加=航,-2.“相关弦”的中点的横坐标为检一2.设直线及抛物线/=2PXS>0）相交于点附与,、B（&,，那么若直线过抛物线对称轴的定点0）,则万力=-2ap,JTi=2;反之若几½=A（定值），则直线恒过定点"（一卷，01若直线及y轴相交于点（0,R,则；+%；.【证明】设过点Ma0）的直线方程为*="+a,代入抛物线方程4=2内寸-2Pmy-Zpb=O,即方程的根凶、.匕是只O两点的纵坐标*.yy-i=-2pb,XMy2=k.,.-2pbk,即则直线1方程为X=my乙P乙P令y=0,得¥=，则直线/恒过定点Mg,0).2p2pa由/的方程X=my+a中，令=0得y1=-,yi+y2=2pmm.1.1.1.m+%'2pmm1-X-,yyzy%-2apayi【解】直线/的截距式方程为四+：=1.ab由上面性质证明可得M及b过抛物线，=2.（p>0）的焦点尸作直线及抛物线交于46两点，且由In=亦得（汨+£乂+今=或一*”-y）+一外=1+/同理，=1+竟.+=2+上+2=2+=2+=2-2=0.my、myimyiy2m1.p）1.1.97o),直线八*=一i,夕为平面上的动点，过作直线/的垂线，垂足为点且仍"o=FP1.求动点的轨迹C的方程；过点厂的宜线交轨迹C于儿6两点，交宜线/于点M已知TZT=I才，F=2加，求+2的值：【略解】动点P的轨迹。的方程为：尸=4箝1.+2=0.(6)定长为1的弦被的两个端点在抛物线=2p±,M是AB的中点，“到y轴的距离为&那么，*的轨迹方程为：4(V+)(2k/)="/,且/力的直线方程为*=如，+瓦代入抛物线方程=2川Wy-2pmy2pb=Q.'.y-yz=2pm,yy2=2pb.乂月4的中点为玳心M),且点"在直线/1上，."+必,/O,K.ju=pm,XS=my#b,?=-»bx011yu-Xo.ABI=F=(M即)'+(乂一必)=(m%+。一研一力厂+(y编:=(1+)(y1-y2)=(1.+ztf)(y1+y2)-4y1y2222=(1+夕4.+8p.=(1+)4+8p(0-整理得，4(yJ+)(2pxo-i)=故中点，”的轨迹方程为：4(/+P1)(2p-/)=p2/.由上可知d=X=8(J；疥+就'令t=y+隹与孔即/=1.则-4+小=/+%小啮得T当OV/V2/?时，d在/，+8)上是增函数,»22F当i即尸。时，"=V+6此时,如=。，即仍y轴.当/22。时，y,f=.-1.-R>9T-=Z£-8户222”/恬*122,当且仅当招=就，即炉时取等号，故d的最小值为年【证法二】当42P时,过力、氏J/作准线X=一名的垂线，垂足为N、BIMM|="相(|加乙乙(AFI+IBF)>ABI=:/.164上式当且仅当I/1.+1.BFI过抛物线的焦点”时取等号，则"的最小值为一号=年乙A乙【说明】经过焦点”的最短弦是通经2夕，因此当弦N6的长/V2p时，不能用证法二证明d的最小值为op【例12长度为a的线段力4的两个端点在抛物线炉=2"（a22°>0）上运动，以/18的中点C为圆心作圆及抛物线的准线相切，求圆C的最小半径.【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点。到V轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦,，步经过焦点/；时，点。到准线的距离为最小值.如图30.圆C的最小半径为号过抛物线y=2px(p>0)的对称轴上的定点0)(e>0),作直线AB及抛物线相交于4B两点,点"是定直线人1.一面上的任一点，则直或AN,MN,M的斜率成等差数列.【证明】设月(M,71)»4(*<+kni=2ks.直线4V,J介，区V的斜率成等差数列.抛物线的一组平行弦的中点共线,且所在直线平行于对称轴或及对称轴重合.2，yb,N1-m,n),由性质有丫通=-2pm,则直线儿¥、8V的斜率为K=FT号七、_必一Xa+m.,._y-n,y2-nKKhy-2r11.,+jW÷ot2p2p2。（必一）I20（.施一）yi+2pmyz2pm2（K-）I2（M-）炉一y-yy-z2”先（必必（匕一）_2（M-"）_2pn_2pn_n（外一兄）y（y-j）yYz-2pmm又.直线机'的斜率为6=A-O-mm【证明】设斜率为k（A为常数）的一组平行线及抛物联立方程组二篙，消去*得务一y+6=0乂+必=?,又M是力£的中点AN=''5'=£则M，M,，M在平行于X轴的口线y=g上./*K当直线4£及X轴垂直（即直线4£的斜率不存在时）,易知M,必，,.仅在*轴上.【例13（2009年陕西卷理20文21）已知抛物线C：y=2xi,直线y=kx+2过V作X平行：交C于力，3两点，”是线段的中点，轴的垂线交。于点M证明：抛物线C在点N处的切线及t证明】如图34,设力（孙2君,B（x,24把六=履+2代入y=2*得2*Ax-2=。图34由韦达定理得M+Xz=JXXa=-1，以=片=亍即N点的坐标为（7g）设抛物线在点'处的切线I的方程为1.（=r（1.令,o4将y=2代入上式得2炉一v+7£=0,q<5.直线/及抛物线C相切,C,mk必、=f-8(-Q)=0，4o解得m=，即/被【说明】其实，也就是及，的平行的弦，它们的中点在过/切中点且及对称轴（X轴）'F行的直线上，它及C的交点M此时的切点就是这些弦的缩点，故过.V点的抛物线。的切线及/出平行.过定点Ps%）作任始终线1及抛物线=2px（p>0）相交于AB两点,过A6两点作抛物线的切线、人，设1”1,相交于点0,则点。在定直线小T【证明】设/15,%）、B（XZ,乃），因为过点。及*轴平行的直线及抛物线只有一个交点,所以立线RB及>轴不平行，故可设月的方程为X-x=my-y.联立方程组；二;鸳（1.，消去XT-“一郎+勿M-Ai)=O2p先=2。（砂一左）乂过力、4两点的抛物线的切线方程为M尸0（x+）和尸0J+也），联立方程组J解得22%先yz-7M一麴y乙P1.PM=-mya-02p【说明】本题第小题就是抛物线的焦点弦的性质M%=一由得行代入得XQ=B)y0-x点Q在直线payoy+po=0上.第小题两条切线的交点C，就走上面抛物线的性质，即点C,必在直线J略.y-yP1.MMAb»-2P)【证明】由题意设力(汨,粉,队X”三，IVAr2,V由炉=2勿得y=针，y=-2。P所以，km=A=因此直线物的方程为什2尸力直线三的方程为什2片»一所以，i+2p=-(x1-Xo),ZpP2+2p=U-b)，上夕P(刘+X)(刘一是)(M+/)(*j-M)刘(武&)2'"=*'+M即28=*+*2所以4W,8三点的横坐标成等差数列.段四的垂直平分线交N轴于点M则段T=【证明】设过焦点网50)的直线力?的方程为过抛物线=2px(p>0)的焦点尸的直线1及抛物线交于A8两点，线xmy-(70),且1(>i,y)、B(x1,M),把x=my+0弋入/=2px,得/=2pmy+,即f-2pmy-ff=Q'y+M=2加，y1J2=-x+=/»(/+/：)+p=2p11+p,B的中点.M的坐标为p11f+-,p11i)AB的垂直平分线方程为ypm=一R(X-Zw-Q令y=0,得"的横坐标为x=p11f+.FM=IX1.三I=p+p=p(z+1.),又IAB=x1.÷x2÷p=2p(f+1).AB!_2(+1)_一8/|=夕(序+1)=2【证法二】设力（x,巧）、B（,Xz,，过力、别作准线的垂线，垂足分别为CD,C（,凶）、。（一条必），则面的中点£的坐标（2»1.t''）»由证法一知必+必2pm,/.H-pni）,所以禽=-2pP.w三三三22又ks*=1.,所以左阳篇=（一加,-=mm：.EF1.AB,又MN工AB,所以研MV乂品'X轴，所以四边形环:也V为平行四边形.)FM=IEN=(AC+瑜1.)=AR)所以阍=2QDP是过抛物线，=2内(p>0)上的肯定点，过P作及X轴平行的直线向，过8的直线为，直线IJ1.X轴，】及曲、分别相交于AB两点,则/的中点在点P处的切线.【证明】设t),则m的方程为y=t,直线n(即OP)的方程为y=yx,设立线/的方程为>=s(s#5)，那么A的坐标为(s,t),B的坐标为(s,卓)，f+论.力8的中点J/的坐标为(t,-),即当1.C)乂过点啮，D的抛物线的切线方程为yt=p(x+)当X=X1.f=SB,y=(f+=年+=2"；：Jyvt2Pt2.2.t可见点在点处的切线上.点P(a,O)(aO)是抛物线/=2Rr(P>0)的对称轴上的一点，过P的直线1及抛物线相交于两点4B,4关于X轴的对称的点为力,又点认一为0),那么/、反。三点共线.【证明】设直线/的方程为X=孙+a,力(汨,则/1(小，一y),联立方程组y2p1.,消去X得x=my-a7-mya=0,那么My2=-2pa,2p乂讨"=(+a,-)»W=(M+a,必)，V(x+z)+(x-+fi)yi22=(9+a)%+(+a)力Mj71.y,j(y,+.),2.1 2P1.I珀2p1M),B(x,必)q/oXa(y+y2)(y+y2)(2p+(凹仍*Q才:MA、三点共线.【例16】给出一个抛物线，依据其性质，用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点.图a图b【作法】1.随意作两条平行弦4A和4艮：2 .分别取4和力抠.的中点V、/V,过MN作直线例3 .作直线3_1.加交抛物线于。、；4 .取。的中点民5 .过E作宜线/处交抛物线于点。.则直线/为抛物线的对称轴，。为抛物线的顶点，如图a6 .过顶点。作两条相互垂宜的弦0IOQ-.7 .设”及对称轴/相交于点&8 .取宓的嵬近。的四等分点£则厂为抛物线的焦点.【说明】1.依据性质，平行弦的中点共线，且及对称轴平行：9 .垂直于对称轴的弦Q的中点在对称轴上，故/为抛物线的对称轴;10 依据性质得收过顶点（20，0）,故6为抛物线的焦点.