《概率论与数理统计》复习题及答案.docx

概率论与数理统计复习题及答案一、填空题1 .已知P(A8)=P（八）,则不与后的关系是独立,2 .已知AS互相对立，则无与耳的关系是互相对立。3 .人8为随机事件，P（八）=0.4,F(B)三0.3.P(A1.8)=0.6,则P(A历=0.3。4 .已知P（八）=().4,P(B)=0.4.P(AUB)=OS,则P(NU耳)=0.7。5 .AB为随机事件，P（八）=O.3,P(B)=0.4,RAw)=O.5,则P(MA)=6 .将枚硬币重友抛掷3次，则正、反面都至少出现次的概率为0.75°7 .设某教研室共有教舞11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教册的概率为一。8,设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次,每次抽1件,抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为-_e69 .3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为，则此密码被译出的534概率为10 .随机变StX能取-1,0,1,取这些值的概率为二2c±c,则常数c=_9一。2481511 .随机变量X分布律为P(X=A)=卷/=123.4.5,则HX>3X<5)=0.4。12.F(x)三0x<-2,0.4-24X<0.是X的分布函数，则X分布律为1x0X-2P104O0J-O,XVo13 .随机变员X的分布函数为广=sink0x%,则P(IXkg)JW一。14 .随机变量X-M1.04.1),P(X<3)=0.975,PX-0.92)=0.025015 .设X-N(3.22),若P(X>C)=P(XC),则C=3°(注：(0)=0.5)16 .设XN(,z),其分布函数为F(X),则有"+w)+R-M)=。17.已知随机变量X的分布律为1111720.20.73”、T,则随机变量函数y=sinX的0.118.已知随机变量X的概率分布为10/y,则Y=2X+I的分布函数为Z0y<-1.F,U)=/-1.y<3-三1>3.19 .若X服从的分布是Af(OJ),则2X+1服从的分布是_f(1,4)_.20 .设XN(29).yN(1.16),且8.丫相互独立，则*+丫_3(35).21 .若X(m,p),YB",p),X1独立，则X+Y服从的分布是B(m+n,p)_。22 .X-P(i),Y-P(2).X.Y独立，则X+Y服从的分布是24+4)一。23 .随机变员X3(5,0.2),则&2X+3)=,ZX2X+3)=3.2°24 .随机变量XU(0.2),则E(-X_3)=_z£_,D(-X-3)=_1._.25 .设随机变成X.X2,X,相互独立，其中X在0,6上服从均匀分布，X】服从正态分布(O.22).X、服从参数为2=3的泊松分布，H1.Y=X1-2X,+3X,则Ey=或»26 .若X.X,.,X”是取自总体的一个样本，则区汽工服从“ft027,设0是。的无偏估计，则。必须满足条件_2心=。_°28 .总体X以等概率)取值12。则未知参数。的矩估计量为一比J。29 .设X.X?X1.t为X的样本，X8(5,/，则关于的矩估计应是30 .设由来自正态总体XN(,0.9)容量为9的简单随机样本，得样本均值X=5,则未知参数的包信度为0.95的置信区间为4.412,5.588_。(附：Ua=1.96)2二、选择题1 .设4,3为两随机事件,且3uA,则下列式子正确的是(A).（八）P(A+B)=P（八）(B)P(AB)=P（八）(C)P(Bh)=P(8)(D)P(B-A)=P(B)-P（八）2 .事件A,/?满足：P(A月)=02'(8)=05尸(A8)=0.8,则P(AJ8)=().（八）0.7(B)0.3(C)0.6(D)0.83 .连续型随机变量分布函数F(X)=卜+4'x>°,其中常数”方值为(C),0,XMO（八）=1,=1(B)=0.fr=1(C)a=1.fr=-1.(D)a=-.b=4 .若"x)=2可以成为某随机变量X的概率密度函数，则随机变量X的可能值充满区间(B),（八）(0,0.5)<B)(0,1)(C)0,+oo)(D)(o,+<x>)5 .当随机变量X的可能值充满区间(A),则/0)=CoSAnJ以成为某随机变量X的密度函数。（八）0.-(B)-.11(C)(0.)(D)-11.-1122246.随机变量X服从参数2=1/8的指数分布，则P(2<X<8)=(D)。(B)fe(B)-fev(C)1.(e4-e,)(D)e-i-e-1.J28J287 .M机变量X服从XN(M)若。增大，则P(IX-"<3b)(D).(C)雌调增大(B)堆调减小(C)增减不定(D)保持不变8 .设随机变量X的概率密度/*)=-,则Y=2X的概率密度是(B).乃(1+广)1 21I（八）(B)=(C)-(D)-arctanV11(1.+4y)11(4+y)11(1.+y*)119 .关于联合分布与边缘分布的关系,以下结论错误的是(C（八）二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布(B)二维均匀分布的两个边缘分布未必是均匀分布(C)边缘分布可以唯一的确定联合分布(D)联合分布可以唯一的确定边缘分布10 .设(XJ)的联合分布函数为(x,y),则其边缘分布函数FX(X>=(B)（八）IimF(x,y)(B)IimF(.v,y)(C)F().y)(D)F(x.0)rfc,y11.随机变量XJ相互独立，且xj1,1.r-f则必有(c).10.20.8)10.20,8)(A) X=Y(B)P(X=Y)=O(C)P(X=K)=0.68(D)P(X=K)=I.12 .关T正态分布的结论中错误的是(C).（八）服从正态分布的随机变量的任线性变换后仍然服从正态分布(B)边缘分布是正态分布，联合分布不一定是正态分布(C)联合分布是正态分布，边獴分布不一定是正态分布(D)正态分布的数学期望决定了密度函数的对称轴，方差决定了密度函数的陡峭程度13 .已知离散型随机变量X服从：项分布，且£X=24。X=I.44,则二项分布的参数,的值为(B).(A) n=4.p=0.6(B) n=6,p=0.4(C)=8"=O3(D)n=24,p=0.114 .已知随机变量离散型随机变S1.X的可能取值为M=-15=0,内=1,HEX=(UZ)X=O.89,则对应于玉,修，8的概率p,0Pa为()。(B) p1.=0.4p2=0.1,p3=0.5(B)p=0.1,p2=0.4py=0.5(C) Pt=0.5,p2=0.1,py=0.4(D)PI=0.4,p2=0.5,py=0.115 .设随机变员*/仆六05°"%,仆力，则下列计算正确的是(C)。（八）E(X)=O.5(B)ZXX)=2(C)E(2X+1)=5(D)D(2X+1)=916 .设随机变量X密度函数为fix)="二：,已知E(X)=I/2,若YP（八）,x其他则下列计算正确的是(D)。（八）E(Y)=2,D(Y)=4(B)D(-2Y-2)-6(C)E(Y2)=4(D)£(r+1.)2=1117.已知总体X服从参数4的泊松分布(2未知)，XpX2XII为X的样本,则(C).（八）,-z1.是个统计量(B),-E是个统计应(C)Xj是一个统计量(D)Xj-DX是一个统计量n/=II-18.设总体XN(.，)，其中已知，,未知。X,X-Xj是取自总体X的个样本，则非统计量是(D)。（八）(X1.+X2+Xx)(B)X1X2+2/(C)rax(X1.X2,X,)(D)7(X12+X+X2),19 .人的体重为随机变量X,E(X)u.D(X)=b,10个人的平均体重记为八()E(Y)=a(B)£(y)=O.Ia(D)D(Y)=b(C)D()=0.01?20 .设X服从正态分布M1.3。，X,X*,X1.j为取自总体X的一个样本，则(B)。-1.1()(B)-N(OJ)3Y_1V-I(C)(D)J=N(OJ)。9321 .设X服从正态分布N（1.,2）,X,X2,X”为X的样本，则C）.-1.（八）N(OJ)2-1.(B)JN(0.1)4(D)(C)铝M(U)7522 .设X服从正态分布，EX=-,EX2=4.X=-YX1.,则X服从（）。n.1.(B) N(-1.1.)(C)V(-.4)(D)jV(-nnn23.从总体XN"m。中抽取样本X,X2X1,以下结论错误的是（B）。（）°ZX服从正态分布n；-1（InTZ（X1.N尸服从三（“）M(C) D<-x)=-En(D) E(-XXJ=24 .设是总体X的方差存在，X1,X,“.,X”为X的样本，以下关于无偏估计量的是（D）«()max(X.,XXJ(B)min(X.,X,XJ、，Z"11(D)X125 .从总体XM4.<)中抽取简堆随机样本X.X2.X3,统计量“III111/1=-X1.÷-X2+-Xv/A=-Xt+-X,+-X,1.,Ai11Ai72Pi=Zx+T2+-v4=-1.+三2+三xs都是总体均值EX=的无偏估计地，则其中更有效的估计量是(C)。（八）JW1.(B)z(C)i(D)/426 .设病是总体X的方差，X1,X2X“为X的样本，则样本方差S?为总体方差(的(C).（八）矩估计量(B)最大似然估计量(C)无偏估计量(D)有偏估计量27 .设(dM)是参数置信度为1.-的曲信区间，则以下结论正确的是(C1（八）参数夕落在区间(4网)之内的概率为(B)参数。落在区间侬)之外的概率为4(C)区间(仇必)包含参数。的概率为1.-Q(D)对不同的样本观察值.区间(外区)的长度相同28 .设。为总体X的未知参数，%口阚<名)为样本统计量，随机区间(知名)是。的置信度为1.-(O<<1.)的置信区间，则有(B)。()P(x<<1=a(B)P(t<<1)=-a(C)O<2)=-a(D)P(<1.)=a29.在假设检验中,从表示原假设.此表示对立假设，则称为犯第类错误的（八）H1.不真，接受”,(B)H1.不真，接受儿(0%不真，接受儿(D)"。不真，接受其30 .总体XN出吟,样本XX?，,X”,假设检验”>：=，Hi.则。的拒绝域为（D）,三、计算题1.某厂生产的100个产品中，有95个优质品，采用不放回抽样，每次从中任取一个，求：（1）第一次抽到优质品：（2）第一次、第二次都抽到优质品：（3）第一次、第二次都抽到优质品、第三次抽到非优质品的概率。解：设A：第i次取到优质品，（i=23）959594(1)P（八）=急=095:(2)P(AA)=粉才0.9020：95945(3) PiA>/V)=O.(W)O一R10()99982 .玻璃杯成箱出包,每箱20只,假设各箱中含O,1只残次品的概率分别为0.8和0.2,一个顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时顾客开箱验货，顾客随机的察看/4只，若无残次品则购买下该箱玻璃杯，否则退1可”试问：顾客购买该箱玻璃的概率。解：设>()=Cjn0.8A=箱中有i只残次品i=OJ3=4只均无残次品卜且已知:P(AJ=O.8.P（八）=O2P(BIA)=1,P(B)=P(AJP(BA)+P（八）P(B1.A)=0.8×1.+0.2×0.8=0.963 .有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1,2,3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选内盒。然后从所选中的盒了中任取球。求：（1）取出的球是白球的概率:(2)当取出的球为白球时,此球来自甲盒的概率.解：8：取到白球，取到黑球：A：甲盒：&：乙盒：内盒<1)取到白球的概率RA)=P（八）P(BIA)+RA)R8A)+P（八）R8A)1I12234=-X+X+X=»63636693(2)取到白球是从甲盒中取出的概率P(AI8)=曳喘警=3=/94 .设一盒中有5个纪念章，编号为1,2,3,4,5,在其中等可能地任取3个,用X表示取出的3个纪念章上的最大号码，求：(1)随机变量X的分布律：(2)分布函数。解：设X为取出的3个纪念章上的最大号码，则X的可能取值为3.4.5：S=4)=三=5>=于是X的分布律为X345P0.10.30.6A(X)=0.X<30.1.3x<40.4.4X<51.v55 .某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度函数,1.(X),x1.(X)f()=0.otherwise(1)试求一个电子管使用150小时不用更换的概率:(2)某一电子设备中配有10个这样的电子管，电子管能否正常工作相互独立,设防机变地丫表示io个电子管中使用15。小时不用更换的个数，求y的分布律。解：(D设电子管的寿命为随机变量X，P(X>150)='x(-v)<Zt='<v=-(2)设10个电子管中使用15。小时不用更换的个数为随机变量y,则依题221意，Y8(10.：),>(F=Jt)=C1.t(一)t=0.1.210,6 .某人有9把钥匙，其中只有一把能打开一门。今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需要试开次数(记为随机变量X的数学期望和方差.解：设X打开门的次数，X可能取值为123,9。P(X=I)=;Q11P(X=2)=-×-=-989八871I9879EX=1.+2×-!-+9-=(1.+9)×-=45-=5,99999£X?=1?×-+2×-+-+9'×-=(+92)×-=»99993DX=EX2-(EX)2=-52=«337.设随机变域X的概率密度为/(x)=ta+bx,Q<x<O,otherwiseEX=0.6i武求：(1)常数亿力：<2)DXi(3)设丫=。、，求EY.解：(1)f(x)dx='(«+bx)dx=(v+-x:)I1.=«+-=I：022于是，a=0.4,=1.20*=匚。但“3+以3(争j+1fx');=寻寻禽DX=EX'"(EX)2=-(0.6)2=-«15015()(3)EY='ze,f(x)dx='(0.4+1.2.v)dv=0.4(e+2)8.某地抽样调杳结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%试求考生的外语成绩在60-84分之间的概率。2136299X+r=1.)=+-=".18961234)912口色0x1.,0y2otherwise36363636>12 .设随机变量（X.Y）的概率密度为/（x,y）=1.W试求：（I）（X,y）的边缘概率密度：（2>P（x+r>i）解:(I)Aa)=/(、"=J：UsMam+*琳=2八*oEO,otherwise加加匚/«)，)去=M+3"XWX4叫W+*?P(X+r>D='<Zr¼+1.xy)dy=,y+:邛?)|"O.otherwise(2)13 .设随机变量（X.丫）在区域O=（x,y）0<x<2-1<y<2上服从均匀分布，试求：（1）随机变量（x.y）的概率密度函数：（2）p（xy）解：（1）因为服从均匀分布，所以其联合密度函数为,、-.0<x<2,-1.<y<2f（.y）=6-。0,其它(2)P(XSY)=JJ/(x.y)dxdy="-<iy=J。>“6314.设二维随机变量(X.Y)的概率为一、e-O<x<f(.y)=O,其他(1)求(XI)的两个边缘密度：2判断(XJ)是否相互独立:(3)求P(X+Yv2);(4)求X的分布函数。解：(1)f(x.y)=O<X<y其它人(X)=E7(%)M=">'Vvx>0e-j,x>0O其他O其他4(加匚=Iye1y>OO其他.A(x)A(y)Hf(x,y),.X与丫不独立;(3) XX+r<2)="1e-y(iydx=-2e-'+e-2(4)Fx(X)=fx(x)(ix=卜去x>0j1.-.x>0O.x01.0x015.设二维随机变量(x,y)具有概率密度/(AO')=心),0.x>O,y>0,otherwise.(1)求常数A；(2)求联合分布函数F(X4)：(3)求边缘密度：并问X.Y是否独立？(4)求P(-1.vXS1.-2<ys2).解：(1)由Jf(x.y)dxdy='<Ae'z,'dxdy=4(-2*)(-ej,)=4=h得A=6。jn川21316(2)当XVO或y<O时，因为/(x,y)=O.所以，'(x,v)=JAJfx,y)dxdy=O.a->O,y>O时，fx,y)=/(a,y)dxdy=工6"Tzrdy=(I-2aX1-,v)：所以，(x.y)=,),.r>O.y>O0.其它(3)边缘密度函数为:、，&小3,>办=2e>0v(-v)=J(x,y)dy=J<>»0.r0小启"3-，>，*0,y0由于AeV)力(y)=/(,v).所以X,Y独立。(4) P(-1.<X1.,-2<Y2)=F(1.2)-F(-1.,2)-F(1.-2)+F(-1.-2)=F(1.,2)=(1.-e'2X-e'),或P(TVX41,-2CyS2)=6eudxj2eirdy=e2,J,ev*=(1.-i-e6)16.设防机变址相互独立，X服从(0,D均匀分布，y股从参数为1的指数分布，试求：(1)随机变量x+y的分布的密度函数：<2),(X+F)o解:(1)因为Zra)=1.0<,v<10.其它又因为另（三）=(X)fy(z-)dr又因为OVXV1.z-x>()z<OBt,人（三）=OOMZM1.时,4（三）=J×e-'d=-e'z1出寸.%（三）=11×e-izx'dx=e'z-ez=ez(e-)0,z0,（三）=1.-e:,()1.e7-DJz(2)因为因为X服从均匀分布，所以m=2,因为y服从指数分布，所以Ey=I故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3/217 .设随机变量(X.Y)具有概率密度C、-(a+y).<X<2.0<y<2.“.”)=180.otherwise求：(1)E(X)(2)ZX+X)解：(1)E(X)=xf(x,y)(1.xdy=*<(x+y)dy=':因为O(X+Y)=E(X+Y)2-(E(X+Y)2这里，由TX与HrJ对称性，故仪丫)=:，E(X+r)=2=663乂因E(X+y)'=1'J：(x+»/Gty)du/y=£J：(x+»4y=6所以D(X+y)=6-(N)2=,=0563918 .设总体X的概率密度列(X0,.I2：IPP-2/X1.-p)P-2p)其中MO<p<J是未知参数，得到总体X的样本值：1,3,0,2,3,3.1,3,(1)求参数的矩估计值：(2)求参数的最大似然估计值。IMI解：(I)又=-£x：=2：EX=2p(1.-p)+2+3(1.-2p)=3-4p=x;=p=±.81.I4<2)1.(p)=P(X=O)P(X=1)2P(X2)P(X=3)4=4p6(1.-p)2(1.-2p)4；In(p)=1.n4+61np+21.n(1.-p)+41.n(1.-2p).(In1.(p)Y=-=()=>2p2-1.4p+3=0;p-p-2pP='乎,因为O<p<T,所以P=0寒舍去，所以P=与F=0.2828°19 .设总体X的概率密度为/(,6)=“'°W,其中。>0的未知参数，0.OtheiyxiseXX?，X”是来自总体的一个样本，（I）求参数。的矩估计量：（2）求参数J的最大似然估计量.解：(1)EX='xf(x)dx=xi,'dx=-=X,户是未知参数。的矩估计量为8=±。I-X(2)构造似然函数1.(O)=11(,=6*.依JT=歹匕户;I-IN取对数：In1.(O)=hi<?+(<9-1)1.n(.v,11)=/IIn+(-1)Inxi；r-今"In1.(O)d=X2=-tx!-Xi(2)记关于的理信区间长度为1.当=i时,即未知参数的最大似然估计值为方=1.n.20 .设总体X服从正态分布N(4.(),X1.XrX、XrI为其样本，武求:(1)的矩估计垃：(2)若5=4,"多大时方能使的90%的置信区间的长度不超过1?(/W=165)解：(1)由矩估计法知EX=Xf=XI_n-S1_nEXSX：÷i=1.X;1.=2×1.65×1=>h(2×2×1.65)2,UJ1144.21 .从一批钉子中随机抽取16枚,测得其长度(单位:厘米)为:2. 142.102.132.152.132.122.132.103. 152.122.142.102.132.112.142.11.假设钉子的长度X服从正态分布N(4OOb,求总体均值的理信度为90¾的置信区间。(保留到小数后四位=1.96.册加=1.645)解：,V=2.215.11=16,1-=0.9=>,=0.1.,=0.01所以4的置信度为9佻的置信区间为：(x±/三)=(2.2I5±1.645x)=(2.2109,2.2191).22 .某大学数学测脸，抽得20个学生的平均分数为1=72,样本方差/=16,假设分数X服从正态分布'(小/),求人的置信度为98%的理信区间。(保留到小数后四位)(附：z20n(1.9)=36.191.z2aw(19)=7.633)解：由题意，/的置信度为98%的置信区间为：华叱卫心匚19×169×I6k(8.3999,39.8271).Ks-I)Z-1-1)136.1917.633)23 .要求一种元件的使用寿命为1000小时。今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时“已知该种元件寿命服从标准差(T=100小时的正态分布，试在显著性水平=0.05卜鹏定这批元件是否合格？(附：ua=1.96)2解：假设/：/=100O,H1:/1(XX);“=25,1=950,CT=100,以>=MXX);统计量焉.啊)'kH三H-,所以，拒绝°,即认为这批元件不合格.24 .设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分，向在显著性水平0.05下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。Z005(35)=1.%.1.OTS(35)=2.0301：ft05(36)=i.6XX3.0025(36)=2.()281解：已知a=36x=66.5.s=15,1.-a=O.95.)=70所以接受假设，即认为在显著性水平下全体考生平均成绩为70分。25 .正常人的脉搏平均为72次/分.某医生测得10例慢性铅中毒患者的脉搏均值为67.4次/分，标准差为5.929.设人的脉搏次数/分近似服从正态分布.(1)取=0.05,是否可以认为铅中毒患者的脉搏均值为72次/分.(2)求铅中毒患者脉搏均值的0.95的巴信区间.(附：=><c5=I96jowj(9)=2.2622,au,(IO)=2.2281)解：(1假设/：=72：Hjww72r2末知，T=XZ区-(_)Sna=0.05tX=67.4,/1=10.$=5.929,J(-D=，(u>25(9)=2.26222<4=I674-刊=2.4534>2.2622.115.929IO所以，W>%"1.1),故拒绝假设，即认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分.(2)S=5.929,=0.05J=67.4,«=10,ta(11-1)=1,j025(9)=2.2622；末知2对于给定置信度1.-=095,的置信区间为：-H67.4-2.2622×5.929io,67.4+2.2622×=(63.16,71.64),所以，置信度095的置信区间为(63.16,71.64).26.某仪器的测量误差服从N(Oq)分布.(1)试求关于口的极大似然估计址:(2)由于长期的使用，使用者发现该仪器在测量时已经产生了系统误差,但不知道误差的波动性有无改变，以往的经验值=2,现记录了仪器的5个测培误差值分别为：3,-5,3,-2,2.请问该仪器误差的波动性较以往有显著变化吗？(=0.05)查表：Z20(c4)=11,143.zj0,w(4)=0.484：提示：清保留到小数后两位。7m0I-IIn(2)=-1.n(2)-1.n(*)0£工；222。ra<51n1.(2)Cn1-2.2令WO=0=b(2)建立假设：HU:a2=2,f,t22统计见：xa11-5；1.-拒绝械：W=x2<2(n-)orz2>i1(n-Q=O2J=12.7,z2=S-？S=25.4GW1)=0.484,z(11-1.)=1.1.1432I)-=(-,0.484k1.1.1.43,+)解：(1)X(x)=r1.-e77,1.(i)三11拒绝原假设，所以认为该仪潺的测量误差的波动性较以往有显著的变化。