全等三角形的提高拓展经典题(教师版).docx

全等三角形的提高拓展训练全三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.找寻对应边和对应角，常用到以下方法：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.有公共边的，公共边常是对应边.有公共角的，公共角常是对应角.有对顶角的，对顶角常是对应角.两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小痢)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的列定方法：(1)边角边定理(S4S：两边和它们的夹角对应相等的两个二角形全等.(2)角边角定理S4):两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等.(3)边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(44S：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个二角形全等.(5)斜边、直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，留意有时会添加协助线.拓展关健点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】已知川?C中,ZA=60,BD、a分别平分ZABC和48,BD>d交于点。，试推断跳、雨的数关系，并加以证明.D（«21如图，点M为正三角形皿的边WJ所在直线上的Itt一点债除外），作3N=60°,射线MN与NaM外角的平分线交于点N,DM与MN有怎祥的数关系？【变式拓展调缜】如图，点M为正方形Ma）的边AB上”一点,MNtDM且与/八网外角的平分线交于点N,M/）与MN有怎样的效关系？【例3】已知：如图，45C。是正方形，AFAAAFAE.求证：BE+D4AE.【例4】以8C的A8、4为边向三角形外作等边AA初、ACE,连结8、%相交于点。求证：。1平分/DO£【例5】如图所示，M灰是边长为I的正三角形，M/X是IN角为12(F的等三角形，以。为Dt点作一个纱的乙MDN,点A八N分别在f1.AC上，求MJWN的周长.AKMM硒形月3C。E中,AfAEtBC+DE>CD,/.ABC+/.AED-ISO9,求证：AD1.CDE板块二、全等与循度【例7】如图，在MftC中,/MC=60p,A/)是/4C的平分线，且AC=AB+BD,求ZAX的度数.4【例8】在等及MN中，AH=ACtIK角/八=20°,在边A上取点，便V)=BC,求/MC.【例9】如图所示，在AABC中，AC-BC9NC=20%又,“在AC上，N在8C上,且清意必饰'=50%Z8M=6(r,求,ZNMB.【例10】在四边形ARCD中,已知AH=AC,ZABD=60,ZADB=760NBDe=2U,求ZDAC的度数.1例11如图所示，在四边形MCO中，NZMC=I2',NC八5=36、ZA8。=48,ZDBC=24,求ZAa)的度数.【例12】在正MBC内取一点。，使。八=,在BC外取一点E,使ZDBE=ZDBC,且BE=BA,求ZfiED.【例13如图所示,ZMCA=M9在MBC中,ZBAC=ZBCA=44,M为SABC内一点，使得ZAMC=16,求NRMC的度数.全等三角形证明经典50题（含答案）1 .已知：AB=4,AC=2,D是BC中点，AD是整数,求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BEvAEvAB+BESP：10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整数,则AD=52 .已知：D是AB中点，ZACB=90o,求证：CD=AB3 .已知：BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F姑CD中点,求证：Z1=Z2证明：连接BF和EFC因为BC=ED1CF=DF,ZBCF=ZEDFo所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。所以BF=EFtZCBF=ZDEFc连接BE.在三角形BEF,BF=EFc所以zebf=zbeFo乂因为Zabc=ZAEDo所以zabe=zaeBo所以AB=AEo在三角形ABF和三角形AEF中，B=AE,BF=EF,ZABF=ZABE+ZEBF=NAEB+ZBEF=ZAEF0所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以NBAF=NEAF(N1.=N2)。4 .已知：Z1=Z2,CD=DE,EF/AB,求证：EF=AC证明:过E点，作EGAC,交AD延长线于G则NDEG=/DCA,ZDGE=Z2XVCD=DE.ADCgGDE(AAS)/.EG=ACVEF/AB.ZDFE=Z1VZ1=Z2ZDFE=ZDGE.'.EF=EG.EF=AC5 .已知：AD平分NBAC,AC=AB+BD,求证：ZB=2ZC证明：在AC上截取AE=AB,连接EDVAD平分NBAC.ZEAd=ZBADZVAE=B,AD=AD，AEDgABD(SAS)ZAED=ZB,DE=DB."AC=AB+BDAC=AE+CE.,.CE=DE.t.ZC=ZEDC.ZAED=ZC+ZEDC=2NC.ZB=2ZC12 .如图，四边形ABCD中,ABtfDC,BE、CE分别平分NABC、ZBCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF./ABE=/FBE,BE=BE,则ABEWFBE(SAS),EFB=A;AB平行于CD,则:NA+ND=180°又NEFB+NEFC=180°,则/EFC=/D;又/FCE=ZDCE,CE=CE,JFCEDCE(AS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD13 .已知：ABED,ZEAb=ZBDE,AF=CD,EF=BC,ABED,AEBD推出AE=BD,求证：ZF=ZC乂有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以:NC=NF4已知：B=CD,ZA=ZD,求证：ZB=ZC证明：设线段AB,CD所在的直线交于E,（当ADVBC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线ABQC的交点）。则：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE（等地加等量：，或等量减等量）所以：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15. P是NBAC平分线AD上一点，C>B,求证:PC-PB<AC-AB作B关于AD的对称点B因为AD是用BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）PC<PB,+B'C,PC-PB'<B'C,BOAe-AB=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16. 已知NABC=3NC,N1.=N2,BE1.AE,求证：C-AB=2BEZBAC=180-(ZABC+ZC=180-4ZCZI=ZBAC/2=90-2ZCZABE=90-Z1=2ZC延长BE交AC于F因为，Z1.=Z2,BE1.AE所以，AABF是等腰二角形AB=AF,BF=2BEZFBC=ZABC-ZABE=3ZC-2ZC=ZCBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知，E是AB中点，AF=BD,BD=5,AC=7,求DC作AG#BD交DE延长线于GJAGE全等BDEAG=BD=5AGFSCDFAF=AG三5所以DC=CF=2A18. （5分）如图，在A45C中，BD=DCf/1=/2,求证：术AD1.BC./延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以:ZDBC=ZftDCB;Z1=Z2;DBC+N1=N角DCB+N2;ZABC=ZACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;ZBAD=ZCAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC19. （5分）如图，平分/汽70,MA1.OP,MB1.OQ,力、3为垂足，AB交OM于点、N.求证：/.OAB=AOBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且NMoA=ZMOB所以MA=MB所以NMAB=NMBA因为NoAM=OBM=90度所以NOAB=90-ZMBZOBA=90-ZMBA所以NoAB=NoBA20. （5分）如图，已知1O"3GNR1.S的平分线与NCR1.的乎分线相交于E,CE的连线交/1尸干D求证：ACh-BC=AB.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，.PABCZPAB+ZCBA=180",又.，AE,BE均为/PAB和NCBA的角平分线ZEAB+ZEBA=90oZAEB=90o,EAB为直角三角形在三角形ABF中，AEIBF,且AE为/FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，NEBC=NDFE,且BE=EF,ZDEF=ZCEB,.三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，.DF=BC.AB=AF=AD+DF=AD+BC21. （6分）如图，/!BC中，力。是Ne43的平分线，HAB=AC+CDt求证：NO=2N3证明：在AB上找点E,使AE=AC.AE=AC,ZEAD=ZCAD,AD=AD/.De=CD=AB-AC=AB-AE=BE.ADEADCoDE=CD,ZAED=ZC.AB=AC+CD,ZB=ZEDBZC=ZB+ZEDB=2ZB22(6分)如图，E、厂分别为线段/1。上的两个动点，且。IC于E,BF1.ACFtAB=CD,AF=CEtBD交AC千点M.(1)求证：MB=MDfME=MF(2)当E、尸两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请赐予证明；若不成立请说明理由.分析：通过证明两个直角二角形全等，即RtDECRtBFA以与垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再依据平行四边形的性质得出结论.解答：解：(1)连接BE,DF.VDE1.ACTE,BF_1.AHF,.,.ZDEC=ZBFA=900,DEI1.BF,在RtDEC和RtBFA中，,AF=CE,AB=CD,RSDEC且RtZXBFA,DE=BF.四边形BEDF是平行四边形.1.MB=MD,ME=MF;(2)连接BE,DF.DE±ACE,BF_1.AC于F,.ZDEC=ZBFA=90,DEaBF,在RtDEC和RtBFA中，.AF=CE,AB=CD,.1.RtDECRtBFA,DE=BF.，四边形BEDF是平行四边形.MB=MD,ME=MF.23. (7分)已知：如图，DCHAB,且OOy1.£,E为AB的中点,(1)求证：AAED&EBC.(2)观看图前，在不添协助线的状况下，除AEBC外，请再写出两个与4的面积相等的三角形.(干脆写出结果，不要求证明)：(I)DCffAE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC,旦NEAD=NBEC。由AE=BE,所以4AEDZEBC0(2) AECACD.ZXECD都面积相等。24. (7分)如图，?!/C中，NA4O90度，AB=ACf加是N/1SC的平分线，3。的延长线垂直于过C点的直线于£,直线CE交A4的延长线于足求证：BD=fICE.证明：延长BA、CE,两线相交于点F.BE±CEZBEF=ZBEC=90"BEFf11BEC中ZFBE=ZCBE,BE=BE,ZBEF=ZBEC.,.BEFBEC(ASA).EF=EC.1.CF=2CE.ZABD+ZADB=90o,ZACF+ZCDE=90o又.NADB=NCDe.zabd=zacfABD和aACF中ZABD=ZAcf,AB=AC,NBAD=NCAF=90°.ABDACF(SA)ABD=CF.1.BD=2CE25、(10分)如图：DF=CE,D=BC,ZD=ZCo求证:26、（10分）如图：AE、BC交于点M,F点在AM上,BEtfCF,BE=CF0求证：AM是AABC的中线。证明：/BEI1.CF,ZE=ZCFM,ZEBM=ZFCm.BE=CF.,.BEMCFMABM=CM.AM是AABC的中线.27、（10分）如图：在AABC中，BA=BC,D是AC的中点。求证：BD1.ACo三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上证明：在AABD与AACD中AB=AC的一点。求证：BF=CFBD=DCAD=AD.,.ABDACD.,.ZADB=ZADc.ZBDF=ZFDC在ABDF与aFDC中BD=DCZBDF=ZFDcDF=DF.,.FBDFCD.BF=FC29、（12分）如图：AB=CD,AE=DF,CE=FBe求证：AF=DEC因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=二角形CDE所以AF=DE30.公园里有一条“Z"字形道路ABCD,如图所示，其中ABHCDt在AB,CD,BC三段路旁各有只小石凳MF,M,KBE=CF,”在8C的中点，试说明三只石凳后凡“恰好在条直线上.证：VAB平行CD（已知）.-ZB=ZC（两直线平行，内错角相等）TM在BC的中点（已知）EM=FM（中点定义）在ABME和ACMF中（第2题）BE=CF（已知）ZB=ZC(EiiiE)EM=FM(已证)J.ABME全等与ACMF(SAS)ZEMB=ZFMC(全等三角形的对应角相等).zEMF=zEMB+ZBMF=ZFMC+ZBMF=ZBMC=180°(等式的性质).E,M,F在同始终线上31 .已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BE夕DF,BE=DF.求证：ABECDF.证明：-.AF=CE.AF+EF=CE+EF/.AE=CF.BEDF.ZBEA=ZDFc又BE=DF.ABE4CDF(SAS)32 .已知：如图所示，AB=AD,BC=DC,E、F分别D是DC、BC的中点，求证：AE=AFo连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰两底角相等得：角ABC=角ADC在结合已知条件证得：ABFWAE-AF33 .如图，在四边形/1BC。中，石是AC上的一点，Z1=Z2,/3=/4,求证：Z5=Z6.因为角I=角2Z3=Z4所以角ADC=角ABC.D又因为AC是公共边，所以S=>三角形ADC哈等于三A<qeJ>c角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以N5=N634 .已知AB4DE,BCIIEF,DtC在719上，AD=CFt求证：AAB32DEF.因为D,C在AF上且AD=CFBE所以AC=DF/1./I又因为AB平行DE,BC平行EF/IADCF所以角A+角EDF,角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等35 .已知：如图，AB=AC,BDAC,CEABy垂足分别为。、EyBD、CE相交于点片求证：BE）=CD.证明：因为AB=AC,所以ZEBC=ZDCb因为BD±AC,CE1.AB所以ZBEC=ZCDbBC=CB（公共边）则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CDU,如图，在AABC中,/1。为N84C的平分线，DE1.ABE,于用求证：。4=DF.AAS证AADEgzADF37.已知：如图，于C,0EJ.71。于E,U1.16于/1,3C=1E.若AB=5,求力。的长？角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACBC=AEABCDAED=B=5F,ME=MFo求证：MB=MC38.如图：AB=AC,ME1.AB,MFIAC,垂足分别为E、IiEIpjvAB=AC.ABC是等腰三角形ZB=ZC乂.ME=MF,BEM和ACEM是直角三角形.,.BEM全等于ACEMAMB=MC40 .在4BC中，ZAC=9(F,AC=BC,直线MN经过点C,且AO_1.MN于。,于心当直线,WV绕点C旋转到图1的位置时，求证：DC组Cf;()DE=D+RE当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗？若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.(I)证明：.ACB=90°,.ZACD+ZBCE=90o,而AD_1.MN于D,BEJ_MN于E,.ZADC=ZCEB=90o,ZBCE+ZCBE=90o,.ZACD=ZCBe.在RtADC和RtCEB中，ZADC=ZCEBZACD=ZCBEAC=CB,.RtADCRtCEB(AAS),.'.AD=CE,DC=BE,.DE=DC+CE=BE+AD;(2)不成立，证明：在AADC和aCEB中，ADC=NCEB=90°ZACD=ZCBEAC=CB,.ADCCEB(AAS),才.AD=CE,DC=BE,E*/.-.DE=CE-CD=AD-BE;41 .如图所示，已知AE1.AB,AF1.AC,AE=AB,BCAF=AC0求证：(1)EC=BF;(2)EC1.BF（I）证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以甬EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F(2)(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证)所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF42.如图：BE1.AC,CF1.AB,BM=AC,CN=AB0求证：(1)AM=AN;(2)AM1.ANo证明：N_.BEJC,CF1.ABZABM+ZBAC=90o,ZCN+ZBAC=900BC.,.ZABM=ZACnVBM=AC,CN=AB.,.ABMNAC/.AM=AN(2).ABMNAC.,.ZBAM=ZNZN+ZBAN=90o.ZBAM+ZBN=90o即NMAN=90°.AM±AN然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF44.如图,已知ACtfBD,EA、EB分别平分NCAB和NDBA,CD过点E,HJAB与AC+BD相等吗?在AB上取点N,使得AN=AC请说明理由ZCAE=ZEAn,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以NANE=ACE又AC平行BD所以NACE+/BDE=I80IfijZANE+ZENB=180所以NENB=NBDEZNBE=ZEBNBE为公共边，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD45、（】0分）如图,已知：AD是BC上的中线，且DF=DE.求证:BE力CF.证明：.AD是中线/.BD=CDVDF=DE,ZBDE=ZCDf.,.BDECDF/.ZBED=ZCFd.,.BEI1.CF46、（10分）已知：如图，AB=CD,DE1.AC,BF1.ACiE,"是垂足，史=8尸.求证：A1.i/CD.证明：VDE1.AC,BF1.AC,ZDEC=ZAFB=OOo,在RtZkDEC和RtZBFA中，DE=BF,AB=CD,.,.RtDEC5RtBFA,AZC=ZA,.AB5CD.47、（10分）如图，已知N1.=N2,N3=N4,求证:AB=CD【待定】48、（10分）如图，已知AC1.AB,DB1.AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.结论：CE>DEo当NAEB越小，则DE越小。证明:过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，旦ADFB为等腰三角形。RTZiBAE中，/AEB为锐角，即AEB<90".DFAEZFDB=ZAEB<90oDFB中ZDFB=ZDBF=（1800-NFDB）2>450RTZXAFB中，NFBA=90°-NDBFV45°NAFB=90°-ZFBA>45o.AB>AF.AB=CEAF=DE.CE>DE49 、（10分）如图，已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证：AE=DE.先证明ABC&aBDC的出角ABC=角DCB在证明AABEgZkDCE得出AE=DE50 .如图9所示，ZABC是等腰直角三角形，NACB=90°,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：ZADC=ZBDE.图9证明：作CG平分NACB交AD于G.ACB=90"ZACG=ZDCG=450ZACB=90nAC=BCZB=ZBAC=45"."ZB=ZDCG=ZACGVCF1.AD.1.ZACF+ZDCF=90oVZACF+ZCAF=900.ZCAf=ZDCF/AC=CBZACG=ZB.,.ACGCBE/.CG=BE-ZDCG=ZBCD=BD.".CDGBDE.,.ZADC=ZBDe