函数的单调性-知识点与题型归纳.docx

1 .单调函数的定义增函数减函数定义一般地.设函数/(*)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个自变量r1.*、.I当A<X,时都有/(%)那么就说函数f(x)在区间O上是增函数当时V4时.都有/(%)>弓),那么就说函数在区间O上是减函数2 .单调性，单调区间的定义若函数丹力在区间。上是增函数或减函数，则称函数f(力在这一区间上具有(严格的)单调性，区间。叫做*力的单调区间.留意：关于菖数单调性的定义应留意哪些问题？(1)定义中用，用具有随意性，不能是规定的特定值.(2)函数的单调区间必需是定义域的子集；(3)定义的两种变式I设随意a.同且a<,那么(D-ZCr)在&3上是增函数；OfCr)在用同上是减函数.CrI-E)x)-娱均)>0=Cr)在&6上是增函数；Gi-Ji)/(汨)-)<O<=>-r)在Iat2>上是减函数.单调区间的表示留意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结.学问点二单调性的证明方法：定义法及导致法(1)定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：（Dtt取Xi,&GD,且莅<对作差ZCrJ一爪面，并适当变形（“分解因式”，配方成同号项的和等）：依据差式的符号确定其增减性.（2）导数法：设函数y=A力在某区间D内可导假如f'>o,则*力在区间。内为增函数；假如f,（力<0,则/1（力在区间内为成函数.留意：（补充）（D若使得f'Cr）=O的N的值只有有限个，则假如F'（力±0,则式力在区间。内为增函数：假如/'<o,则爪力在区间内为减函数.（2）单调性的推断方法：定义法及导致法，图象法，复合函数的单调性（同增异减）,用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1,若/Cr）,武力均为增（减）函数，则fCr）+gCr）仍为增（减）函数.2 .若tr）为增（减）函数，则一/Cr）为减（增）函数，假犹如时有娱力0,则为减（增）函数，须为增（减）函数.3 .互为反函数的两个函数有相同的单调性.4 .尸HgCr）是定义在上的函数，若/Cr）及双力的单调性相同，则其复合函数式式力为增函数；若tr）,双力的单调性相反，则其复合函数/式力为减函数.简称“同增异减”5 .奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.二，例题分析：(一)函数单调性的推断及证明推断下列说法是否正确(1)函数)=2jH-1在(-8,+8)上是增函数.()(2)函数式Ji)=；在其定义域上是减函数.()(3)已知fx)=i,gx)-2t则yfx)-以外在定义域上是增函数.O答案I×例1.(2014北京卷)下列函数中，在区间(0,+«>)上为增函数幽)A.y=1.x+IB.y=Cr-1)，C.y=2D.y=1.ogo.»(x+1.)答案：A.例2.推新函数ZCr)=惜在(-1,+8)上的单调性,-TT1.并证明.法一I定义法设TGr",则ZCr1)-f(3=等一等X1.-12i1_ax一+1-a苞+1与+1Ja÷1._a且二房2i÷1.Ja+1 一1<水小jri-Ji<O,X÷1.×),i+1.>0. 当a>0时，/tri)一/(面<0,即fCii)<f(), 函数7=fCr)在(一1,+8)上单调递增.同理当水0时，)-)>o,即i)>ji)> 函数尸爪力在(-1,+8)上单调递减.法二I导致法1 .推断函数的单调性应先求定义域；2 .用定义法推断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值一作差一变形一判号一定论，其中变形为关键,而变形的方法有因式分解，配方法等：3 .用导数推断函数的单调性简洁快捷，应引起足够的重视(二)求复合函数，分段函数的单调性区间例1求函数尸1.11一足的单调埔区间y=1.1.r='b41,21.1,K1.作出该函数的图象如图所示.由图象可知，该函数的单调地区间是（一8,U.例2.求函数y=1.og1.G-M+3）的单调区间.解析:令u=y-4x+3,原函数可以看作尸Iog1.及u=-4jt÷3的复3合函数.令片3-4H3>0.则X1.或x>3.函数六=Iog（/一+3）的定义域为3)U(3,又=y-4+3的图s的对称轴为1.2,且开口向上，.=V-4x+3在(-8,1)上是减函数，在(3,+8)上是增函数.而函数y=1.ogU在(0,+8)上是减函数，3.y=1.og1.(，一4升3)的单调递减区间为(3,3÷),单调递增区间为(-8,1).留意1求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和，差或复合函数,求单调区间.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：假如爪力是以图象形式给出的，或者/Cr)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.例2.(2)(补充)y=1.ogx-41.og1.x答案，地区间减区间：练习:y=(1.og,x)-1.og,X答案：增区间“城区间：(三)利用单调性解(证)不等式及比较大小已知函数j=1.og+-,若x(1.,2),AA及(2,÷),则OA.fU)<O,f()<OB.ZCrJ<0,U)>0C.,>o,)<OD.tii)>O,)>O【规范解答】V函数FCr)=IogtH=JE(1,+8)上为增函数，且f(2)=0,当汨£(1,2)时，x1)<2)=0,当属£(2,+8)时，)>2)=0,即ZCrJ<0,)X).例1.(2)已知函数M=则不等式I?4z÷3,x0,一?2j÷3,力0,.f(d-4)>(3a)的解集为OA.(2,6)B.(-1,4)C.(1,4)D.(-3,5)【规范解答】作出函数f(力的图象,如图所示，则函数力在R上是单调递减的.由A-4)>f(3a),可得才一4<3&整理得d3a4<0,即(a+1.)(a4)<0,解得一1<水4,所以不等式的解集为(一1,4).留意:本例分段函数的单调区间可以并！(四)已知单调性求参数的值或取值范围(«-2)x,x>2例1.已知函数f()=满足对随意IJjTX<2的实数x后，都有成立，则实数a的取值范围为OA.(8,2)B.8,C,(-oot2卷©【规范解答】函数A力是R上的减函数,fa-2<0,由此解得于是Ta-2×2()-1,.即实数a的取值范围是(-8,I例2.(1)(补充)假如函数j=加+23在区间(-8,4)上单调递增，则实数a的取值范围是答窠一；，04解析当a=0时，/W=21.3,在定义域R上单调递增，故在(一8,4)上单调递增；(2)当a0时，二次函数f(x)的对称轴为直线X1=一因为fCr)在(-8,4)上单调递增，所以水0,且一;24,解得一;Wa<0.综上所述一；WaW0.a44例2.(2)(补充)若Fcr)=V-6"的单调递减区间是(一2,2),则a的取值范围是()A.(-8,0B.-2,2C.2D.2,+«»)答案C解析f'(力=3/-6&若aW0,则一(力20,ZW单调增，解除Ai若a>0,则由f'Cr)=O得X=±1.2a,当jK-yj2a和“区时，f,(x)>0,f(x)单调增，当一而<X2,ZW单调减，力的单调减区间为（一扇河,从而2a=2,a=2.变式：若大力=36打在区间（一2,2）单调递减,则a的取值范围是?点评fCr）的单调递减区间是（一2,2）和x）在（-2,2）上单调递减是不同的，应加以区分.本例亦可用k±2是方程f'W=3?-6a=O的两根解得a=2.例2.（3）（补充）若函数八X）=1°巴,一词在（T-2）上单调递减,则实数”的取值范围是。A.9,12B.4,12C.4,27D.9,27答案：A温故知新P23第9题若函数/('六蜒,卜二以+北施区间2,E)上单调递减；则实数“的取值范围是8,设函数在区间(-2,+oo)上是增函数，那么。的取值范围是答案:1.,+x)10,设函数X)=-(XWa)x-a(2)若”>()且x)在区间(1,W)内单调递减,求”的取值范围.答案:I,转)(五)抽象函数的单调性例1.(补充)已知力为R上的减函数，那么满足A1.1.)<f(1.)的实数X的取值范围是()XA.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)U(0,1)D.(-,-1)U(1,+)答案：C解析，因为A力为减函数，/(I-IXf(I),所以XII>1,则I"I<1且JTO,即x(-1,0)u(o,1).练习Iy=八)是定义在T.1上的增函数，解不等式f(1.-)<(1.-2)答案：(0.1)留意，解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例2.函数/(*)的定义域为(0,+oo),且对一切x>0.j>0都有/(j)=(x)-/(#，当X>1.时，有/(X)>O(1)展/的值：(2)推断/(X)的单调性并加以证明：(3)若/(4)=2,求/(x)在1.16上的值域.答案:单调地；0,4留意；有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习:函数/(x)的定义域为(0,+),且对一切KjeA都有/()+(y)=(+y),当>0时，有/(x)<O(1.)=-.求证：/S)在R上是减函数：求人X)在-3,3上的最大值及最小值.答案：2;-2