函数与方程思想方法.docx

函数及方程的思想方法函数思想，是指用函数的线念和性质去分析问题、转化问时和解决何国.方程思想.是从同题的数收关系入手，运用数学语百格向题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程及不等式的混合组).然后通过解方程(组)或不等式(组)未使何遨茨解.有时,还实现函数及方程的相互转化.接轨.达到解决问应的目的.笛卡尔的方程思想是：实际何图一数学向题一代数向四一方程问题.宇宙世界.充斥着等式和不等式.我们知道.哪里忏等式,啷里就有方程：哪里行公式,哪里就有方程：求值同JS是通过解方程来实现的等等：不等式何逆也及方程是近亲,亲密相关。而函数和多元方程没有什么本质的区分，如函数y=f(x),就可以看作关于X、y的二元方程f(X)-Y=O,可以说，函数的探讨离不开方程.列方程、解方程和探讨方程的特性，都是应用方程思想时须要正点考虑的。函数描述了自然界中数St之间的关系,函数思想通过提出向时的数学持流.建立函数关东型的数学根里.从而进行探讨.它体现了“联系和改变"的斛证唯物主义观点.一般地.函数思想见构造函数从而利用函数的性质解即，常常利用的性质是：f<>.f(x)的单谡性、奇隅性、周助性，外大假和i小值、图像变换等.要求我们斓熟理取的是一次函数、二次函数、M函数、指数函数、对数函数、三角函数的详细特性.在解即中,按长挖掘时口中的总含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性侦，是应用函数思想的关枕.时所给的何懑视察、分析、拊断比较深化、充分、全面时，才能产生由此及俄的联系，构造出函数原型。另外,方程问1S、不等式同咫和某些代数问题也可以转化为及其相关的函数问趣,即用函数思想解答其函数问题.函数学问涉及的学问点多、面广.在概念性、应用性、理解性都有行定的要求,所以是高考中考作的Jft点,我们应用函数思业的几种常见题型是：遇到变f匕构造函数关系解题；有关的不等式、方程、呆小fi和双大值之类的问物,利用函数观,点加以分析；含有多个变量的故学问遨中,选定合适的主变fit从而描示其中的函数关系：实际陶用问遇,翻译成数学语衣,建立数学模型和函数关系式,应用函数性项或不等式等学问解答：等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数,数列何&也可以用函数方法解决.1、再现性JK蛆：1 .方程1.gx+x=3的解所在的区间为.A.<0,1)B.(1.2)C.(2.3)D,(3.+)2 .假如函数r(x)=3+bx+c对于的总实数t.都疔f(2+t)=f<2-0.那么.A.f(2)<f(1.)<f(4)B.f<1)<f(2)<f(4>C.f(2)(f(4)<f(1>0.f(f(2)<f(1.>3 .已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=a(a是常数).A.仲且仅行一个实根B.至多一个实根C。至少一个实根D.不同于以上结论4 «已知Sino+cos0=Q>«(,11),W1.tr,>的(fi是.5 .已知等差数列的前n项和为SM.且SW=Sm(pq.p.qN),则S回=6 .关于x的方程sinx+cosx+a=0有实根，则实数a的取值范困是7.正六极锥的体枳为18.MJ面及底面所成的珀为45“，则此极锥的侧面枳为O8<.建立一个容枳为&/,深为2m的长方体无前水池，假如池底和池瞰的造价标平方米分别为120元和80元，则水池的G低造价为.【筒解】I小睡:图像法解方程，也可代入各区间的一个数(特值法或代入法)，送C；2小JSh函数fG)的对称轴为2,结合其单调性,选A：3小题:从反面考虑,留意应用特例,选B：4小短：设SB=X(X)0),则叵I+叵=0.解出x=2,再用万能公式，选A;5小题：利用日是关于n的一次函数，设S=S3=m,冈=x,则(R.p)、(后，口)、(XM)在同始终线上,由两点斜率相等解得x=0.则答案：0：6小1S：设COSX=t.IGT.1.WIa=Tt,1.所以答案：一.Ik7小理：状高h,由体枳解出h=2回.答案：24回:8小出设长X.则宽曰造价丫=4*120+4/80+可乂801760.省案：1760.U、示茶性"蛆I例I.设Q0.a1.,试求方程1。“(-ak)=Io8(/)有实数解的k的范陆(89年全国砺考【分析】山换底公式进行换底后出现同底,再进行等价转化为方程组,分别参数后分析式子特点.从而选用三角换元法.用三角函数的依城求解.【解】将原方程化为：108±G-ak)=】sdGJ,等价干EKI(a>0.a1.)k=1-×(IBD1)，设IHCSc».0(,0)U<0.目)，则k=f(<)=csc0CtRD|当ee(一百，0)时,f(0)=csc"+ctg0=ct3<k<-h当6G（0,可）时，f（0）=csc0-ctgH=tg06<0,I），故0k1：综上所述.k的收(范假是：k<-1.JO<k<1.【注】求参数的范用,分别参数后变成函数值域的词&,视察所求函数式，引入新的变此转化为三角函数的值域向1S,在进行三角换元时，要留意新的变量的莅困.股地，此种思路可以制决有关不等式、方程、最大值和及小1、参数范国之类的问通.本国还用到了分别散法、三用换元法、等价特化思想等教学思想方法。另一种解邈思路是实行“数形结合法”r将俄方程化为：1.og?(x-ak)=Iogj三等价于-ak=1.=J(-ak>0),设曲战仃；y=-ak,曲线Q：y=1.=J(y>0),如图所示.由图可知.当一ak>a或一a<-tk<O时曲线仃及Cd忏交点，即方程有实解.所以k的取值范视是rk<-1.或0(k<1.还孑r种思路是干脆解出方程的根,然后对方程的根进行探讨.详细过程是：除方程等价变形为XI后,解得：IX,所以1.dak.即回-k)0.通分得HI<0解得k一1或。住(1.所以k的取值范国是：k一1.或0(k<1,例2,设不等式2-1.>m(/-D对满意mI2的一切实数n的取值都成立。求X的取但范围。【分析】此问题由于常见的也维定势易把它看成关于X的不等式探讨.然而若变换一个角度以m为变量,即关于m的一次不等式(Xm-D1.1.(2-1.)<0在-2,2上恒成立的问甥。对比的探人设Mm=(XS-I)1.(2x-1.),则问题转化为求次函数(或总数函数)f<m)的位在一22内恒为负值时参数X应当满意的条件【解】问JS可变成关于Ii的一次不等式：(X三一I)m-(2-D<0在-2,2忸成立，设f(n)=(x-1.)n(2x-1.).解得XG(叵I,H)【注】木题的关键是变换角度，以梦数(1作为自变状而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区划上的值域问题.木题有别于关于X的不等式2-1.>m(3-1.)的解案是一2,2时求M的(ft.关于X的不等式2x-1.>m(X-I)在-2.2上恒成立时求m的植围.一般地,在个含的多个变is的数学问应中,确定合适的变Ja和参数.从而揭示函数关系,使问咫更明朗化.或者含有参数的函数中,将函数自变fit作为代数,而参数作为函数,更具有敏捷性，从而奇妙地解决有关何题.例3.设等型数列aj11的前n项的和为S目,已知am=12.SW>O,S3<0.。求公差d的取值范围;.指出S3、S人、S目中舞一个值最大,并说明理由(92年全国高考)【分析】问利用公式a1及SJ建立不等式，荷联求解d的莅用：何利用SS是n的二次函数，将Sg中哪一个值及大,变成求二次函数中n为何值时SJttd大使的函数呆值何邈，【解】由灯=2£+2<1=12,得到”=】2-24所以Sd=12ad+66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0.SJ=1.3aj+7i=1.3(12-2d)+78d=156+52d<0.解得：-0<d<-3.S1.d=nT+En(n1._0d=n(12-2d)+11(n-1)d=0n-0<5-Q>J3-3C3<5-0)8因为d(0.故n-3(5-0)iHr,SWm大。由-0<d<-36<0(5-0)<6.5,故正整数n=6时n-日(5-0)3蚊小，所以S：最大.【注】数列的通项公式及前11项和公式实ISh是定义在自然数集上的函数,因比可利用函散思想来分析或用函数方法来解决数列间思S-也可以利用方程的思想,设出未知的量,建立等式关系即方程,将同胭进行独式化.从而简浩明快.由次可见,利用函数及方程的思想解决问遨，要求敏捷地运用、奇妙的结合，发掘/学生思维M质的深刻性、独创性.本题的另外思路是寻求ag)0.aJ<0,即：IIId<0iai>aj>>aJ,SJ=BajS得aW<O.由打=6(ad+ad>>0a3)0.所以.在S3、S3、S3中.SS的值E大.例4.如图.AB是阅O的百径，PR垂直于IaO所在平面,C是M周上任一点.设NBAC=1).PA=AB=2r.求异面直线PB和AC的跑离.I分析】r面直践PB和AC的距离可将成求直面PB上随意点到AC的距离的最小值,从而设定变依，建立目标函数而求函函般小值.【解】在PB上任取一点机作W)_1.AC于D,W1.B于II.设MH=X,则MHJ1.平面ABC.AC1.HD,MDJ=d(2r-x)sin0d=(Siny+1.)x-4rsinOXI+irsin。=(sin0+1)x3+三即当X=叵时，MD取最小值IX为两异面直然的距点.【注】本8巧花将立体几何中“异面在线的跑肉”变成“求异面直线上两点之间距禹的呆小值”,并设立合适的变显将同应变成代数中的“函数问题”.一般地,对于求最大值、最小值的实际何题，先将文字说明札化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、Ift要不等式和有关学问进行解答，比如再理性睡组第8题就是典型的例子.例5.已知CABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgAtgC=2+回，又知顶点(:的对边C上的高等于4回，求ZXABC的三边a、b、C及三内角.【分析】已知了一个枳式,考虑能否由其它已知得到一个和式,再用方程思想求帕.IW1.由A、B.C成等差数列，可解B=60°由AABC中。gA+1.gB+tgC=tgAtgBtgC.得tg.÷tgC=tgB(tgAtgC_1)=a(i+囚)设tgA、tgC是方程/一(回+3)x+2+回=0的两根.解得x!=1.x3=2+3设A<C,则tgA=1.,tgC=2+,A=曰,C=日由此简单得到h=8,b=1网.C=I回+4。【注】本题的解答关键是利用“2ABC中tRA+tRB+tRC=tRAtgBtgCn这一条性研得到tgA+tgC,从而设立方程求出tg和tgC的值,使问即得到解决.例6。若(Z-X)3-4(-y)(y-z)=0,求证rx、y、Z成笄差数列.【分析】视察超设.发觉正好是判别式心一Iac=O的形式,因此联想到构造个,元二次方程进行求解.【证明】当x=y时，可得x=z,.x.y、Z成等处数列；当xy时，设方程(Xy)I3一(zx)1.+(y-z)=0,由=(>得T=Id,并易知I=I是方程的根.titJ=冈=1,即2y=x+z.,.x,y,Z成等基数列【注】殷地,映设条件中假如已经具备或经过变形整理后具的/“xJ+x3=i×d×i的形式，则可以利用根及系数的关系构造方程：假如具备bd-4ac0或bd-4ac0的形式,可以利用根的判别式构造元二次方程.这种方法使得等方程同遮用方程思想来解决，体现了尚定的技巧性，也是解麴基本方法中的一种“构造法工例Ic,BC中.求证：8SACOSBcosC。【分析】考虑首先运用三角公式进行变形，结合三角形中有关的性殖和定理，主较是运用“三角形的内向和为180°”.变形后再海过视察式子的特点而选择和发觉J合适的方法解决.【证明】设k=cosAcosBcosC=1cos(A+B)+cos(A-B)cosC=1.cosC+cos(A-B)COSC整理得；COSdC-COS(A-B)cost?+2k=0,即看作关-FCOSC的一元二次方程。：=cos(A-U)-8k0即8kcos(A-B)1：k即cosAcosBcosC注本阳原本是三角问出.引入参数后，通过三角变形，发觉了其等式具有“二次”特点,于是联想了一元二次方程.将问题变成代数中的方程的实解的问题这既是“方程思想”.也体现了“判别式法”、“参数法”.此遮的外外种思路是运用-放缩法”，在放缩过程中也体现了“配方法”，详细解答过程是：cosAcosBcosC三3cos(A+B)+cos(AB)cosC=e*cosC÷cos(A-8) cosC=-EcosC-×3+jcos3(A-B)Jcos(A-B>.例8.设f(x>=1.g.假如当xW-8.1时f()有意义,求实数a的取值范用，1分析】当XGJTMfGngEd有意义的函数何题,转化为1+2+3a>0在XW<-,I上恒成立的不等式间即.【解】由题设可知,不等式1+29+4%>0在W(-8,1上忸成立，W:(0>3+<0>3+a>0ftx<-.1上恒成立.设1.=(1>m,W1.t>E,乂设gk=1+1.+a,其对称轴为1=一日二N+t+a=0在用，+8>上无实根，Rp<3)=(3>3+1+aM),得a>一所以a的取ft意阳是a>一1.【注】对千不等式恒成立，引入新的参数化荷了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和禁调性进行解决何题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思tt!一般地，我们在饼题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紫奈联系,将问题进行相互转化.在解决不等式<0>+()+a>0jxG8,1上恒成立的同翅时,也可运用“分别.数法“：设1=(1？，£目，则有a=-d-w(一8,一日,所以a的取值苞国是a>-g.其中最终得到a的范用,是利用了二次函数在某区间上值域的探讨，也可闽应用“函数思想m、巩Ia性j。，1 .力,程sin2x=sinx在区间(0,2n内解的个数是.A。1B,2C.3D.42 .已知函数f(x)=I23-11,a<b<c,且f（八）>f(c)>f(b).则.A.a<0,b<0,c)0B.a<0,b>0.c>0C.2，3D.2弓+2W23 .已知函数f(X)=Iog目-4x+8>,x60.2的G大值为-2,则a=.jB.jC.2D.44 .已知SEJ是等比数列.且a+a3+am=1.8.aj+a3+aj=-9.S3=aj÷aj+-+aj.那么回Sm等于.A.8B.16C.32儿485 .等差数列(a)中，aj=1.,前n项和为S，已知门)O,S<0,则当n=时，Si最大.6 .对于满意OWPW4的全部实数p,依不等式0+px)4x+p-3成立的X的取值范附是7,若关于X的方程IS-6x+8I=a恰有两个不等实根，则实数a的取ft范围是8 .已知点Aa1.,I)、B(2.3及她物线y=3+nx+2,若她物线及线段RB相交于两点,求实数m的取值范围。9 .已知实数x、y、Z满意等式x+y+z=5和xy+yz+zx=3,试求Z的取位莅围.10 .已知1.g-41.gm1.g1=0,求证：b是a、C的等比中项.11 .设a、$、丫均为锐角,且CO/a+cosB+cos丫+2cosacoscos=I.求证：。+口+丫=兀12 .当P为何(ft时,曲线y3=2px(p0)及楮KIm(x-2j)三+/=I有四个交点.(88年全国高考)13。已知关于X的实系数二次方程t+ax+b=O0两个实效根a、B。证明,邨如IaI<2.IB1.(2,那么2u(4+bf1.1.b1.(4:.假加21.a<4+b且Ib4.那么Ia<2,Ii<2.(93年全国理14。设f(x)是定义在区间(-8,+8)上以2为周期的函数，对keZ,用I目表示区间(2k一1.,2k+1.,已知当XG1.m时,f(x)=3.求f(x)在Im上的解析表达式；.对自然数k,求集合NW='使方程f(x)=ax在IjJ上有两个不相等的实根.(89年全国理)