函数的周期性与对称性.docx

函数的周期性及对需性1、函数的周期性若a是非零常数，若对广函数y=f(X)定义域内的任一变量X点有下列条件之一成立，则函数y=f()是周期函数，且2是它的一个周期，f(x÷a)=f(Xa)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1.(x)f(x+a)=-1(x)2、函数的对称性及周期性性质5若函数y=f同时关于直线x=a及x=b轴对称,则函数f(X)必为周期函数，且T=2-性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)及点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数，且T=2-性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线X=b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4一3.函数F=J(X)图象本身的对称性(自身对称)若f(*+)=±+b)，则f(x)具有周期性;f(a+x)=±f(b-x),则/(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、“+*)=97)。.、，=/3图象关于直线=®+X)；ST)=等称推论1:f(a+x)=f(a-x)>y=的图象关于直线t=“对称推论2、f(x)=f(2a-x)=y=/(X)的图象关于直线X="对称推论3、f(-x)=f(2"+X)Oy=/(x)的图象关于直线x=u对称2、/(+x)+/S-X)=2coj“)的图象关于点对称推论1、/(f1.+x)+/(a-x)=2<=>y=/(x)的图象关于点(.Z>)对称推论2、/(x)+f(2a-x)=劝。y=f(x)的图象关于点(a,6)对称推论3%f(-)+f(2<+x)=2bu>y=f(x)的图象关于点(,b)对称例题分析：1 .设/(x)是(70+9)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当04x41时，/(X)=X,则/(47.5)等于()（八）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.52、(山东)已知定义在K上的奇函数/(x)满意/(x+2)=-"x),则6)的值为()A.-1B.OC.1D.23 .设f(x)是定义在/?上的奇函数，/(1.)=2J(x+1.)=*+6).求”10).4 .函数八X)对于随意实数*满意条件,若/=-5,则/1/(5)=5 .已知/(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关直线_r=1.对称。(1)求/(O)的值;(2)证明“X)是周期函数；(3)若/(X)=Mo<x1.),求xg?时，函数/(*)的解析式，并画出满意条件的函数/(x)至少一个周期的图象。6 .设八力是定义在R上的奇函数，且对随意实数人恒有f(x+2)=-x).当X£0,2时，/U)=2一七(D求证：/U)是周期函数：(2)当“2,4时，求A*)的解析式.巩固练习：1 .函数人力是周期为4的偶函数，当x0,2时，NX)=X-1,则不等式(*)0在一1,3上的解集为().(1,3)B.(-1.DC.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)2 .设函数“力是定义在R上的偶函数，且对随意的XGR恒有Q+D=-1),己知当x0,1时，/J)=-,则：2是函数X*)的周期；函数/U)在(1,2)上递减,在数上递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0：当X£(3,4)时，f(x>='其中全部正确命题的序号是.3 .设定义在R上的奇函数y=f(*),满意对随意fR,都有f(t)=f一力，且XW时，f(*)=一上则f(3)+的值等于()A.-B.-C.-D.-4 .若偶函数y=f(*)为R上的周期为6的周期函数，且满意f(x)=(x+1.)(-a)(-3%3),则一6)等于.5、(1)/(x)=-<1.美于点(!，5对称：/（八）+/(I-X)=;*+224'-I(2) /(X)=卦-2x+1.关于(0.1)对称：/5)+f()=(3)若/(x)=(24-x)设/(x)=0有”个不同的实数根，则.V+2+=.6 .设f(x)是(-8,+8)上的奇函数，+2)=-x),当0这x1.时，)=x.(1)求/(3)的值：(2)当一4W*W4时，求f(*)的图像及*轴所围成图形的面积.7 .设/(x)是定义在(-8,+8)上以2为周期的周期函数，且/(x)是偶函数,在区间2司上，/(x)=-2*-3尸+4.求KW1,2时，/(x)的解析式.8 .设函数/(.V)对航意实数K满意/(2+x)=(2-x),/(7+)=/(7-X)JV(O)=0.推断函数f(x)图象在区间-30,30上及X轴至少有多少个交点.9 .已知函数y=(x)是定义在我上的周期函数，周期7=5,函数y=()(TD是奇函数.又知y=()在0川上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.(1)证明：/+/(4)=0；(2)求y=f(x),xe1,4的解析式；(3)求产"X)在4,9上的解析式.10 .已知,(1)推断/(幻的奇偶性:(2)证明：/(x)>011、定义在-川上的函数y=(x)是减函数，且是奇函数，若fai-«-1)+/(4-5)>0,求实数的范围。12.(重庆文)已知定义域为R的函数是奇函数。(I)求”,/，的值；(II)若对随意的“H,不等式八产-川+/2_1<0恒成立，求A的取值范围。复习题，I.己知数列叫，其前"项和为S.,点g)在抛物线)，=#+1；各项都为正数的等比数列也满意优=仁也=表.<I)求数列U1.也)的通向公式；(II)记C”她，求数列(C1.的前”项和J2.在中，角A、B、C所对的边分别是“、c,且(其中SMM为八8。的面积).(I)求；(1)若b=2,AABC的面枳为3,求.3.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如卜；X12345频率a0.20.45bC(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求c的值;(1【)在(D的条件卜.，将等级系数为4的3件日用品记为演,X,1,等级系数为5的2件口用品记为,，月，现从玉，士,4，鼻，X这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.4 .如图，在三棱惟P-AK中，PAJ.底面ABC,C±C,，为PC的中点，PA=AC=2,BC=I.(I)求证：J"平面PBC:(II)求经过点八WC的球的表面积。5 .已知抛物线f=8(y+8)及.、，轴交点为M,动点PQ在抛物线上滑动，且MPMQ=O(1)求/过中点R的轨迹方程W;(2)点A.8.C.。在W上，A。关J，轴对称，过点。作切线/,且8(7及/平行，点。到A瓜AC的距离为4,4，且4+4=AD,证明：A48C为直角三角形6 .设函数.(1)求/(X)的极大值;(2)求证:1.2e1.nw(w-1.)(ff-2)21.(n2+)(2n+1.)(weN,)(3)当方程有唯一解时，方程g()=/矿(X)+竺二券二=O也有唯一解，求正实数f的值：函数的周期性及对称性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量X点有下列条件之一成立，则函数y=f(x)是冏期函数，且2是它的一个周期。f(x+a)=f(-a)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1.(x)f(x+a)=-1(x)2、函数的对称性及周期性性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a及x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数，且T=2-性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)及点<b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2-性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线X=b釉对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4一3.函数)，=/(*)图象本身的对称性(自身对称)f(x+«)=±f(x+b),则f(x)具有周期性；若/(+x)=±S-幻，则/(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、U÷)=(fc-x)«y=(x)图象关于直线口'+.；S=)=W±薪推论hf(i+X)=f(a-x)o.v=/的图象关于直线V=a对称推论2、/(x)=J'(2a-x)Oy=/(x)的图象关于直线X=对称推论3、/(-a)=f2<+)<=>y=/(x)的图象关于直线X=a对称2、f(a+.r)+J'(b-X)=2cOy=应的图象关于点对称推论1、f(+)+f(a-x)=2b<>y=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)+f(2a-x)=2by=f(x)的图象关卜点(.b)对称推论3、f(-)+f(2a+x)=2be>y=f(x)的图象关于点(4,/，)对称例题分析：1 .设/(x)是(-»,+上的奇函数，f(x+2)=-/(x),当Ox1时，/(x)=X,则/(47.5)等于（八）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.52、(山东)已知定义在K上的奇函数f(x)满意/(x+2)=-(%),则6)的值为()A.-1B.0C.1D.23 .设f(x)是定义在R上的奇函数,/(1)Zf(x+1)=/(j+6)./(10).4 .函数/(X)对于随意实数X满意条件,若/1=-5,则/1/(5)=5 .已知/")是定义在R上的奇函数，且它的图像关直线X=I对称。(1)求/(0)的值;(2)证明/(x)是周期函数；(3)若/(x)=x(0<x1.),求XeK时，函数/'(x)的解析式，并画出满意条件的函数fx至少一个周期的图象.6 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且对随意实数M恒有f(x+2)=-/U).当x0,2时，"x)=2a(D求证：/Cr)是周期函数：(2)当“£2,4时,求f(x)的解析式.解：(1)证明：,.*fx-2)=/,(%),.*.U+4)=-f(x+2)=).”x)是周期为4的周期函数.(2)'.">v2,4,一%4,2>.*.4Xe1.O,2,f(4x)=2(4M(4x)=-Y+6-8.又,：r(4-)=-)=x),-Jfer)=-÷6-8,即f(x)=V-6x+8,x2,4.巩固练习：1 .函数人力是周期为4的偶函数，当x0,2时，NX)=X-1,则不等式(*)0在一1,3上的解集为().(1,3)B.(-1.DC.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)解析：选Cf(*)的图像如图.当xW(1,0)时，由(力>0得X£(1,0)；当x(O,D时，由(x)<0得当Xe(1,3)时，由(必0得%£(1,3).故*(-1,0)U(1,3).2 .设函数Fa)是定义在R上的偶函数，且对随意的*eR恒有f(x+D=f(I),已知当X£0,1时，/V)=",则:2是函数f(x)的周期：函数f(x)在(1,2)上递减，在3)上递增：函数人力的最大值是1,最小值是0：当x(3,4)时，)=1.3其中全部正确命题的序号是.解析：由已知条件:(a+2)=（八）,则尸FJ)是以2为周期的周期函数，正确：当一1.Wx0时0W-r1.,f(x)=f(-)='+,函数"力的图像如图所示：当3水4时，-Kx-4<0,='(-4)=-s,因此正确，不正确.答案：©3 .设定义在R上的奇函数y=f(*),满意对随意feR,都有f(t)f(-t),且x时，x)=-则笊3)+的值等于().-B.C.-D.-解析：选C由r(D=r(-D得Ni+?)="-/)=一/"),所以f(2+。=一1+。=U),所以/U)的周期为2.又£(1)=/(1-1)=/(0)=0,所以3)+=1)+=0-j=-4 .若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满意F(X)=(X+1)(x-a)(-33),则-6)等于.解析：.y=f(x)为偶函数，且N*)=(*+1.)-(*-a)(-3WK3),.*.f(x)=Y+(-a)-a,1a=0.a=i=+1.)G-D(-33).(-6)=(-6+6)=(0)=-1.5、(1)"6=上1.关于点(!)对称：/(.6+/(Ir)=1;a÷22(2) /(X)=*J-2x+1.关于<0.1)对称：/(x)+/(-X)=2(3)若/(X)=/(2)设f(x)=O有个不同的实数根，则.r1.+x2+x11=xi+(2w-xi)+x2+(2a-x2)+x1.t+(2axn)=ta.(当=2女+1时，必有K=2-x1,=>x,=a)6 .设/Ir)是(一8,十8)上的奇函数，/(1.+2)=一八力，当OWxW1.时,f(x)=X.(1)求f(3)的值；(2)当一4W%4时，求f(x)的图像及X轴所围成图形的面积.解:(1)由*+2)=一八力得，x+4)=f(÷2)+2=-÷2)=F3，所以fJ)是以4为周期的周期函数，所以/(3)=/(3-4)=-/(1)=-1.由只力是奇函数及%÷2)=-),得ta-1.)+2=-D=/I1.D,即1+x)=A1-).故知函数y="力的图像关于直线*=1对称.又0W1时，M=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称，则一1Wa0时，f(x)x,则人力的图像如图所示.当一4Wx4时，设FCv)的图像及*轴围成的图形面积为S,则S=4N1=4X=4.7 .设f(x)是定义在(-%+咐上以2为周期的周期函数，且/()是偶函数，在区间2,3上，/(x)=-2(x-3尸+4.求*e1,2时，人工)的解析式.解：当x-3.-2,即-xw2,3,/(x)=J(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4又“x)是以2为周期的周期函数，于是当xw1.2,即-3C-44-2时,¾(x)=(x-4)=>/(X)=-2(.v-4)+3f+4=-2(x-1)2+4(1-2)./()=-2(X-I)"+4<1.r2).8 .设函数/(x)对随意实数X满意/(2+x)=(2-x),f(7+)=(7-)1.I(0)=0.推断函数/(x)图象在区间卜30.3()上及X轴至少有多少个交点.解：由题设知函数/(x)图象关于直线x=2和x=7对称，又由函数的性质得/(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间0.10)上，/(O)=0./(4)=/(2+2)=/(2-2)=/(O)=OI1./(X)不能恒为零，故X)图象及K轴至少有2个交点.而区间-30.30)有6个周期，故在闭区间-3030上幻图象及X轴至少有13个交点.9 .已知函数y=(x)是定义在a上的周期函数，周期7=5,函数F=(r)(-ISxVD是奇函数又知y=/(X)在0川上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5(1)证明：八1)+/(4)=0:(2)求y=(),xw1.,4的解析式；(3)求y=(x)在4.91上的解析式.解：/(.0是以5为周期的周期函数，且在7,1上是奇函数，.(D=-/(-D=-/(5-1)=-/(4).，/(1)+/(4)=O.当xw1.,4时，由题意可设f(x)="*-2)2-5(">0),由f(1.)+(4)=0得a(1.-2)2-5+(4-2)2-5=0,：.a=2,/()=2(-2)2-5(1.x<4).y=/(x)(-1.x1.)是奇函数，./(O)=0,又知y=/(X)在O.I上是一次函数，可设/(x)=kx()x1.)W/(D=2(1-2)2-5=-3,A=-3.二当04x1.时，/(x)=-3a,从而一1.x<0时，fix)=-f(-x)=-3x,故Tx1.时，/(x)=-3x.，当4SxS6时，-1.,v-51.-/()=/(x-5)=-3(.v-5)=-3.v+15.当6vx49时，1.<x-54,/(X)=fx-5=2(x-5)-2i-5=2(a-7)j-5-3+15.4X6/CO=12.(2(x-7)-5.6<x910.已知,(1)推断X)的奇偶性；(2)证明:/(x)>011、定义在-川上的函数y=(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2-!)+/(4a-5)>0,求实数的范围。12.(重庆文)已知定义域为R的函数是奇函数.<I)求。力的值:(II)若对随意的FR,不等式2-川+/(2/2-&)<0恒成立，求A的取值范围。IO(I)偶函数(2)奇函数II(I)偶函数12、复习题：2.已知数列Mn),其前”项和为，点S$)在抛物线>K上；各项都为正数的等比数歹J,满意A&=3也=±.<I)求数列应),也的通项公式；(II)记C=也,求数列的前项和心2 .在AabC中，角八、b、C所对的边分别是“、c,且(其中SMSC为AHC的面积).(1)求；(I1.)若)=2,4ABC的面积为3,求“.3 .某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1.2, 3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345频率a0.20.45bC(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求”，b,C的值；(II)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为内，马，.，等级系数为5的2件日用品记为乂，现从为，XJ弓，,乃这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.4 .如图，在三棱锥P-AK中，>AJ.底面A8C,AC1.BC,H为PC的中点,PA=AC=2,BC=.(I)求证：A”_1.平面。8C:(II)求经过点WABC的球的表面积。5 .已知抛物线i=8(y+8)及)，轴交点为M,动点P,Q在抛物线上滑动，旦MPMo=O(1)求PQ中点R的轨迹方程W；(2)点A,5,C,。在卬上，入。关于F轴对称，过点。作切线/,旦BC及/平行，点。到人8.AC的距离为4"小且4+4=W,证明：8C为直角三角形6 .设函数.(1)求/()的极大值：(2)求证：1.2f1.np(n-1.)(n-2)-21.(fr+7J)(2h+I)(j')(3)当方程有唯一解时，方程g()=w')+Q=尹=O也有唯一解，求正实数r的值；纪习题答案：1、解：(I),当=1时，O1.=E=2当2f1.寸，S.i=(11-1.)2+(11-1.)=-r+1.q=s"fT=3-1，数列6是首项为2,公差为3的等差数列，.=3"-又各项都为正数的等比数列出满意b2=b、q=-,b1.q'=上一田432,解得，(U)由题得T=1×+5×()'+.+(3-4)x(一),11+(3h-1)x(一)"2222T=2×(一)*÷5×(一)+.+(3/j4)×(一)+(3/j)2222©得；7；=1+3睁+(3)+1.+审-"EX犷-"M1.=,+3×1.-11-<3w-,>×",=-3(-r-(311-i)(-r222“12分2、解析：(I)由已知得-H加SinA即女W.J+Cc&sin+cos2A=2c164I=2×+=21+cosA259C4C，4COSA1+cos2A=2coswA+2个252x5250(II)(I)知SMf1.r=3CSinA=3,=2,/.c=5又,.=6'÷c2+2cos.=4+25-2×2×5×-=135.a=12分3、.解:(1)由频率分布表得0.2+0.451,0.351分因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以0.153分20等级系数为5的恰有2件，所以Q1.4分从而0.350.1所以0.10.150.16分(2)从日用品,X-X,%,八中任取两件，全部可能结果(X1,Xj),(X1,X、),(X1,Y,),(X1,Y2),(X2,X5),(X2.Yt),(X,Y2),(xf,),(xj,%),5,匕)共10种，9分设事务A表示“从口用品X-xj,X”X，八中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本领件为(X,X2),(X,Xj,(x,X?),(X，%)共4个，11分故所求的概率P（八）=一=0.412分1()4、(I)证明：因为必!底面4次，BCU底面A8C,所以PA1.BC,又因为AC±C,PAAC=A,所以C，平面PAC,又因为AHU平面PAC,所以BC1.AH.因为PA=AC,是PC中点，所以AH1.PC,又因为PCBC=C,所以AH_1.平面PBC.6分(")S=9412分5、解：(1)明显直线MP的斜率存在且不为0,设为人设PQ的中点/?«)，)，直线的:)，=履-8及/=%v+8)联立解得：P<8A.8Jt-8)同理：.P0的中点，轨迹方程：X2=4.y6分(2)由得：,设C(a,-),(x,-)则444.'."+Xi=Zq乂则1.=则NDAC=NDAB.J1=d,又4+&=0IAo1.则ZDAC=ZDAB=45°.A8C为直角三角形13分6、解：(1)(x)=Af)=0#.t=7.X(0,”)(Te.+)f'<)+O/(X)递增理方值递减从而八X)在他&单调递在IaE单调递减.4分(2)证明：:,2<1.nA<X2分别令X=123.n.-.2<1.n1.1.,2e1.n221,.2e1.nn2.2dn1.+1n2+1.n3+1.nj)1.'+22+3!+n3:.2en(n-)(-2)21121.nn-(-1.)(n-2)21.(+nM2M+1.MneV,)9分(3)由(D的结论：方程有唯一解.,«=1方程g(x)=R"")+,-T=O有唯一解即：-201)-2/工=0(>0)有X唯一解2设G(X)=.r2-2/Inx-2tx=0(>O).,.G,(x)=-(xz-tx-t)X由，G(X)=O则VfT=O设FTxT=O的两根为厢天，不妨设v?.r>0，耳<0<x2X,=r-r+4t+-Jt2+4t.G(x)在(0,引递减，(孙必)递增要使G(K)=F-21.n-2x=OCr>()有唯一解，则G(X1.)=0.即tXj-2/In受-2%=0又XJ-%=0(2)由得：2/In.Vj+v2-/=0即：2In2+A2-1=0X2=I,又与是方程X'TXT=O的根14分