函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.docx

函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组()、同函数的函数的奇偶性与对称性：(奇偶性是一种特别的对称性)1、奇偶性：(I)奇函数关于<0,0)对称，奇函数有关系式“x)+(-x)=O(2)偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式/(-X)=/（八）2、奇偶性的拓展：同函数的对称性(1)函数的轴对称：函数F=/(x)关于X=对称=f+X)=f(-x)/(«+X)=八。一外也可以写成f(x)=f(2t-x)或f(-x)f(2a+x)若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)关于直线x=(a+x)+(b-X)=a1h对称22iE明：设点(X1.y1)在y=上，通过f(x)=f(2a-x)可知，y1.=/(x1)=/(2«-.),即点(2-x1.,y1.)也在>=fx上,而点(XQI)与点(2-x,y)关于x=a对称。得证。说明：关于x=对称要求横坐标之和为2,纵坐标相等。V(a+.到)与(。一苟.N)关于X=对称，；.函数y=/(%)关于X=4对称of(a+x)=f(a-X)YC卬力)与(2-X,M)关于=”对称，函数y=(x)关于*=对称U>(x)=(2-x)V(-x,y1.)1.j(2rt+.r,y1.)关于x="对称，函数y=J'x关于x="对称O/()=(2w+x)(2)函数的点对称：函数y=/(x)关于点(a,h)对称Of(a+a)+f(a-x)=2bIjf关系也可以写成/(2+R+(-x)=2或/(2f1.-x)+(x)-2Z>若写成：.r(+)+3-刈=C,函数y=f()关于点(WeA)对称证明:设点(XQ1.)在y=f(x)上,即通过/(2-x)+f(x)=%可知，f(2<-x1.)+f(x1)2b,所以/(加一3)=乃一/(x)=3-凹，所以点(2a-X1.,2-y)也在=f(x)上，而点(2-芭,2A-X)与(x,)关于协对称得证“说明：关于点(。力)对称要求横坐标之和为2,纵即标之和为4,如(+x)与(a-x)之和为2a,(3)函数y=(x)关于点y=b对称:假设函数关于y=b对称，即关于任一个X值，都有两个y值与其对应，明显这不符合函数的定义，故函数自身不行能关于y=b对称。但在曲线c(x,y)=O,则有可能会出现关于)，=对称，比如圆c(x,y)=/+)门-4=0它会关于y=0对称。(4)复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y=fg(x)为偶函数,则fg(-x)=fg(x)复合函数y=fg(x)为奇函数，则fg(-x)=-fg(x)1.性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,RJf(x+a)=f(-+a);一合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(x+a)=f(a+x)性质3、应合函数y=f(x+a)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=a轴对称.更合函数y=f(x+a)为奇函数，则y=f(x>关于点如,0)中心对称。总结：X的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结，X的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心.总结：X的系数同为为1,具有周期性.(二)、两个函数的图象对称性1、y=f(x)与y=-(x)关于X轴对称。证明：设y=(x)上任一点为(,)则.=(xj,所以y=-/*)经过点(Xf)V(XQJ与(.t1.,-)1.)关TX轴对称,X=/(X1)与J=-f(x)关于X轴对称.注：换种说法:y=f(x)与)，=g*)=-(x)若满意/(x)=-g(x),即它们关于y=O对称。2、y=")与y=(-)关于Y轴对称。证明:设y=(x)上任一点为(x,y)则X=/(七),所以y=(-x)经过点(F,),)(不乂)与(,yj关于Y轴对称，y=/CD与y=/(T)关于Y轴对称。注：因为(一m,X)代入y=f(-x)得y=f(TF)=/(x1)所以y=f(-x)经过点(Tux)换种说法：y=()与y=g(x)=(f)若满意")=g(-x),即它们关于X=O对称.g(-x)=/(-(-x)=fix)3、尸=/(幻与.丫=/(加一工)关于直线*="对称。证明：设1=/()上任一点为(x1.,yt)则X=/(x1.),所以y=/(2-X)经过点(20-x1.,y1)(不X)与(24F加关于轴对称,>=JXX)与y=f(2a-x)关于直线x="对称。注：换种说法：y=(x)与)，=g*)=f(-X)若满意f(x)=g(2-x),即它们关于X=U对称“4、V=/(*)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。证明：设y=f(x)上任一点为(8,y,)则为=八司)，所以y=2a-f(x)经过点(x,2-y1)(J.,)与(.v1.,20->t)关于y=。轴对称，；y=/(x)与V=2a-J'(x)关于直线y=对称.注:换种说法:y=(x)与y=g(x)=2-(x)若满意/(x)+g(x)=2,即它们关丁y=”对称.5、y=F(X)与y=2b-/(2-x)关于点(a,b)对称。证明：设y=(x)上任,点为(X，M)则y=/(8),所以y=2-/Q-x)经过点(2-xi.2b-y1.)(x.)与(勿-N,2-y)关于点(a,b)对称，：.y=f(x)y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称.注：换种说怯：丁=/0)与=8*)=»-/(2«-.。若满意，(.6+京2«7)=2/>,即它们关于点S,b)对称。g(2a-x)2b-f(2a-Qa-x)=2b-f(x)6、Iy=/(-x)与y=/(x-力关于直线X=对称。证明：设y=f(x)上任一点为(.v1.,y1.)则y1=f(X,),所以F=f(-x)经过点(a-.t1.,y1.),y=fS-x)经过点S+*"),；(,)与S+x1.,y)关于直线,y=/(-r)与=f(-力关于直线X=F-对称。三、总规律：定义在R上的函数f=(x),在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条肯定存在。一、同一函数的周期性、对称性间网(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数y=(x),假如存在一个不为零的常数T,使得当X取定义域内的每一个值时，都有*+7)=f(x)都成立，那么就把函数y="x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。假如全部的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。I、周期性：(1)函数y=(x)满意如下关系式，则/(x)的周期为27A、/(.r+T)=-(r)B、/(x+)=-1.-SJf(x+)=-i-/(x)J(X)C、(a+3=1空或x+()=H°(等式右边加负号亦成立)D、其他情形(2)函数.y=(.r)满意/(+x)=("-.r)且/S+x)=fS-x),则可推出/(x)=f(2a-x)=fb+(2a-x-b)=fb-(2<-x-fr)=fx+2(h-)即可以得到.y=八X)的周期为2(b-a),即可以得到“假如函数在定义域内关于垂直丁X轴两条直线对称，则函数肯定是周期函数”(3)假如奇函数满意+r)=-()则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为X=q+2仃仅WZ),依据/(X)=f(x+2T)可以找出其对称中心为(AtO)Gtez)(以上TWO)假如偶函数满意/(x+r)=-(x)则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为g+2k7.0)(e),依据/(x)=(x+2T)可以推出对称轴为x=T+2kT(kez)(以上ThO)(4)假如奇函数)'=八人满意("x)=f(T)(0),则函数F=/")是以4T为周期的周期性函数。假如偶函数)'="*)满意AT+*)=/"-X)(0),则函数y=/”)是以2T为周期的周期性函数。定理1：若函数/W在R上满意s+x)=(-x),I1.(,+x)=0-x)(其中W)，则函数.V=f(x)以2(«-b)为周期.定理2：若函数/(x)在R上满意/(+x)=-(-x),且/(b+x)=-(b-x)(其中aW)，则函数.F=f(x)以2(-»为周期.定理3：若函数/(x)在R上满意+x)=/(-x).且S+X)=-x)<其中w),则函数.y=f(x)以为周期.定理4：若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b都对称，则f(x)是周期函数，2(b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期)。定理5：若函数f(x)的图像关于点(a,c)和(b,c)都成中心对称，则f(x)延周期函数，2(b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期)。定理6：若函数f(x)关于点(a,c)和x=b都对称,则f(x)是周期，4(b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期)。定理7：若函数f(x)满意f(x-a)=f(x+a)(a>O),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。定理8：若函数f(x)满意f(x+a)=-f(x)(a>O)(或f(x+a)=或f(x+a)=-f()则f(x)周期函数，2a是它的一个周期。f()定理9：若函数Jf(X+)=二绥(f(x)W1.a>°)，则f(x)是周期函数，4aI-f()是它的一个周期。若f(x)满意/(x+)=N("x)1.>O),则f(x)是周期函数，2a是它+()的一个周期.